Ứng dụng số phức trong giải toán sơ cấp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

CAO THỊ NGUYỆT HOA

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC

TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp tại Đại học Đà Nẵng

vào ngày 10 tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX, xuất phát từ nhu cầu giải những

phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã góp phần thúc đẩy sự phát

triển của toán học cũng như nhiều ngành khoa học khác. Khái niệm số

phức là một mở rộng của số thực, có những ứng dụng phong phú và hiệu

quả. Bằng công cụ số phức, nhiều vấn đề khoa học và kỹ thuật đã được

giải quyết, đặc biệt số phức có nhiều ứng dụng trong toán sơ cấp. Trong

hình học phẳng, phương pháp số phức có quan hệ mật thiết với phương

pháp vectơ, phương pháp tọa độ; trong lý thuyết số và số học, số phức

góp phần giải quyết được nhiều lớp bài toán.

Trong chương trình toán bậc Trung học phổ thông hiện nay, học

sinh cũng đã được học số phức, tuy nhiên với một thời lượng không

nhiều và nội dung còn khiêm tốn. Nhằm mục đích tìm hiểu các ứng dụng

của số phức, tôi chọn đề tài “Ứng dụng số phức trong giải toán sơ

cấp” cho luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu số phức, trường số phức

- Nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong giải toán sơ cấp

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Cấu trúc trường các số phức

- Các ứng dụng của số phức trong toán sơ cấp

- Số nguyên Gauss

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề

tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu về số nguyên Gauss

2

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

5. Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1: Trường số phức

Phần đầu chương này giới thiệu về lịch sử hình thành số phức,

phần tiếp theo trình bày sơ lược về trường số phức, đủ để làm cơ sở cho

hai chương tiếp theo.

Chương 2: Ứng dụng số phức trong trong giải toán sơ cấp

Chương này sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong việc

giải một số lớp bài toán sơ cấp thuộc chương trình Trung học phổ thông.

Chương 3: Vành các số nguyên Gauss và ứng dụng

Chương này sẽ giới thiệu sơ lược về số nguyên Gauss, một lớp số

phức đặc biệt, cùng những ứng dụng của chúng trong việc giải một số

lớp bài toán sơ cấp thuộc chương trình Trung học phổ thông.

Kết luận

3

CHƯƠNG 1

TRƯỜNG SỐ PHỨC

1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH SỐ PHỨC

1.2. SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

1.2.1. Khái niệm số phức

Định nghĩa 1.1.

Mỗi biểu thức z = +a bi với a b, Œ° ,

2

i =-1 được gọi là một số

phức, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là £, £ ={ z = a + Œ bi a, b R}

Hai số phức z = + a bi , z' = + a' ' b i được gọi là bằng nhau và viết

z z = ', nếu a = = a', ' b b .

Số phức z viết dưới dạng z = + a bi (a b, ) Œ° được gọi là dạng

đại số của số phức z , với a là phần thực, b là phần ảo.

Định nghĩa 1.2.

i) Với mỗi số phức z = + a bi (a b, ) Œ° , số phức - - a bi , kí hiệu là

-z và được gọi là số đối của số phức z , khi đó z z +(- =) 0.

ii) Ta gọi số phức liên hợp của z = + a bi (a b, ) Œ° là a - bi và

được kí hiệu là z.

iii) Mô đun của số phức z = + a bi (a b, ) Œ° là số thực không âm

2 2 a b + và được kí hiệu là z .

1.2.2. Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức z = + a bi , z' = + a' ' b i . Ta gọi

i) Tổng của hai số phức z và z’ là số phức, kí hiệu z + z’ và được

xác định như sau z + z' = a + a' + + (b b i ')

ii) Tích của hai số phức z và z’ là số phức, kí hiệu z z. ' , và được

xác định như sau z.z' ( = aa'- bb') + + (ab' a' ) b i

4

iii) Nếu z = a + ¹ bi 0. Ta gọi thương

z '

z

của phép chia số phức

z’ cho số phức z , là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z , tức là

2

' '

.

z z

z

z z

=

Mệnh đề 1.1.

Tập £ các số phức cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định

như trên là một trường, gọi là trường số phức.

1.3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1.3.1. Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức £ , mỗi số phức z = + a bi được biểu diễn

bởi một điểm duy nhất M(a,b).

Độ dài r = OM

uuuur

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu z .

Góc định hướng j = (Ox, ) OM

uuuur

, với M ¹ 0 , tạo bởi tia Ox và vec

tơ OM

uuuur

được xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của 2p . Góc j

được gọi là acgumen của số phức z và kí hiệu Arg z( ) . Trường hợp

M º 0, ta quy ước acgumen của z là bất kỳ. Số phức z viết dạng

z = + r(c i osj j sin ) gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.3.2. Nhân chia số phức ở dạng lượng giác

Mệnh đề 1.3.

Cho hai số phức ở dạng lượng giác z = + r i (cosj j sin ) và

z' = + r i '(cosj j ' sin '). Khi đó

i) zz' = r.r i '[cos(j+j ') + + sin (j j ')]

ii) [cos( ') sin ( ')]

' '

z r

i

z r

= j -j + - j j , nếu z ' 0 ¹

1.3.3. Căn bậc n của một số phức z

Mệnh đề 1.4.

Cho số phức z ¹ 0 và *

nŒ• . Có n căn bậc n đôi một khác nhau của

số phức z.

5

Mệnh đề 1.5.(Công thức Moivre)

Cho số phức z = + r i (cosj j sin ) và *

n NŒ . Ta có

i) [ (cos sin )] (cosn sin ) n n n

z = r j + i j = + r j j i n

ii) Các căn bậc n của z là

2 2

cos sin , 0,1,2,..., 1 n n k k

z r i k n

n n n n

Ï ¸ È ˘ Êj p ˆ Ê ˆ j p

= Ì ˝ + + + = - Í ˙ Á ˜ Á ˜ Ó ˛ Î ˚ Ë ¯ Ë ¯

1.3.4. Dạng mũ của số phức

Định nghĩa 1.4.

Với mọi số thực a , đặt cos isin i

e

a

= + a a . Như vậy mọi số phức z

khác 0 có môđun r và acgumen a được viết

i

z re

a

= gọi là dạng mũ

của số phức z. Khi đó các công thức của phép nhân và chia số phức ở

dạng lượng giác, được viết ở dạng mũ là

(cos sin ) i

z r i re

j

= j j + = ,

'

' '(cos ' sin ') ' i

z r i r e

j

= j j + =

' ( ')

. ' . ' . ' , i i i

z z r r e e r r e

j j j j+

= =

( ')

'

.

' '

i

i

i

z re r

e

z r e r

j

j j

j

-

= =

1.4. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, cho mỗi số phức

z = + a bi tương ứng với một điểm M (a b, ) có hoành độ a , tung độ b

và ngược lại điểm M (a b, ) được gọi là ảnh hay điểm biểu diễn số phức

z = + a bi , số phức z = + a bi gọi là tọa vị của điểm M (a b, ). Phép

tương ứng trên là một song ánh từ tập hợp £

các số phức lên tập các điểm trong mặt phẳng tọa độ. Mặt phẳng tọa độ

Oxy mà trên đó biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức £.

Từ song ánh trên, mỗi số phức z = + a bi được đồng nhất với

vectơ OM

uuuur

có điểm đầu là góc tọa độ O và điểm cuối là M(a, b), và ta

cũng đồng nhất số phức z = + a bi với vectơ u = (a b, ) r

.

Do sự đồng nhất số phức z = + a bi với điểm M(a,b), hay với vectơ

6

u = (a b, ) r

, nên từ nay về sau ta không phân biệt số phức z = + a bi với

vectơ u = (a b, ) r

, hay số phức M với điểm M.

1.5. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC

Đường tròn tâm M0

bán kính R > 0 là tập hợp các điểm cách M0

khoảng không đổi R. Xét trong mặt phẳng phức thì mô đun M M- 0

là

khoảng cách từ M đến M0

, vì vậy có thể xem: M - = M R 0

là phương

trình đường tròn tâm M0

, bán kính R.

1.7. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG

Định nghĩa 1.5

Cho dãy số thực ( ), 1, n

u n = • , thoả mãn

2 1 . . 0 n n n

u p u q u + + + + = , với p, qŒ ¹ R q , 0 (1)

Ta gọi phương trình

2

k + pk q + = 0 là phương trình đặc trưng của

hệ thức (1) nói trên.

Mệnh đề 1.7.

Cho dãy số thực ( ), 1, n

u n = • , 0

u và 1

u đã được xác định. Gọi 1

z,

2

z là

hai nghiệm phức của phương trình đặc trưng của 2 1 . . 0 n n n

u p u q u + + + + = .

Khi đó số hạng tổng quát

n

y của dãy số được xác định bởi

1 2

n n

n

y = + a z b z trong đó a, b được xác định theo 0

u và 1

u .

7

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương này sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong việc

giải một số lớp bài toán sơ cấp thuộc chương trình Trung học phổ thông.

2.1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

2.1.1. Các bài toán chứng minh tính chất hình học.

Ví dụ 2.2.

Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho

trước, tìm tam giác có tổng bình phương các cạnh lớn nhất?

Giải: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R

cho trước, không mất tính tổng quát, giả sử tâm O của đường tròn chính

là góc tọa độ O của mặt phẳng phức, khi đó: A = B = = C R .

Ta có 2 2 2 2 2 2 AB + BC +CA = 3( ) GA + + GB GC (với G là trọng tâm của

tam giác ABC ), vì vậy 2 2 2 AB + + BC CA lớn nhất khi chỉ khi

2 2 2 GA + + GB GC lớn nhất.

Mà

2 2

GA = G - A = (G - A)(G - A) = G.G + A.A - + (G.A G A. )

2 2 GB = G - B = (G - B)(G - B) = G.G + B.B - + (G.B G B. )

2 2 GC = G -C = (G -C)(G -C) = G.G + C.C - + (G.C G C. )

( )

2 2 2 2 2 2 2 AB + BC +CA = 3 G + + A B + C - È ˘ G A + B +C + G( ) A+ + B C Î ˚

G là trọng tâm tam giác ABC nên A+ B + = C G3 do đó

A + B + = C G3 . Vì vậy

2 2 2 2 2 2 2 GA +GB +GC = 3G +3R -3G.G-3G.G = - 3 3 R G lớn nhất

¤ 2

G nhỏ nhất ¤G nhỏ nhất ¤G O= , hay trọng tâm G trùng với

tâm của đường tròn ngoại tiếp, khi đó tam giác ABC là tam giác đều, và

tổng bình phương các cạnh là lớn nhất và bằng 2

3R .

8

2.1.2. Các bài toán dựng hình

Ví dụ 2.6. (Dựng đa giác đều 17 cạnh)

Giải: Tính độ dài cạnh đa giác đều 17 cạnh:

Giả sử đa giác đều 17 cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị. Khi đó cạnh

của đa giác đều là 2sin

17

a

p

= (vì R = 1 ).

Xét số phức

2 2

os isin

17 17

z c

p p

= + là nghiệm của phương trình 17

z - =1 0

Ta có: 17 16 15 14 2

z -1 = (z -1)(z + z + z +...+ z z + +1) và z ¹1 nên z

là nghiệm của phương trình 16 15 14 2

z z + + z +...+ z z + + =1 0 (1)

Vì 17

z =1 nên 17 k k

z z

- -

= , do đó (1) có dạng

2 3 8 1 2 3 8

z z z ... z z z z z ... 1 - - - - + + + + + + + + + = -

· Đặt

1 2 2 4 4 8 8

1

u z z z z z z z z

- - - -

= + + + + + + +

3 3 5 5 6 6 7 7

2

u z z z z z z z z

- - - -

= + + + + + + +

vì

1 1 2 2 222

cos sin cos sin 2cos

17 17 17 17 17

z z z i i

z

- p p Ê p ˆ Ê p p ˆ Ê ˆ

+ = + = + + Á - ˜ + Á- = ˜ Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

tương tự

2 2 4

2cos

17

z z

- p

+ = ,

4 4 8

2cos

17

z z

- p

+ = ,

8 8 16 2cos

17

z z

- p

+ = ,

3 3 6

2cos

17

z z

- p

+ = ,

5 5 10 2cos

17

z z

- p

+ =

6 6 12 2cos

17

z z

- p

+ = ,

7 7 14 2cos

17

z z

- p

+ =

vậy nên 1

2 4 8 16 2 cos cos cos cos 0

17 17 17 17

u

Ê ˆ p p p p

= + + + > Á ˜ Ë ¯

2

6 10 12 14 2 cos cos cos cos 0

17 17 17 17

u

Ê ˆ p p p p

= + + + < Á ˜ Ë ¯

Ta có 1 2 u u + = -1; 1 2 u u. = 1 2 4(u u + ) 4 = - suy ra 1 2 u u, là nghiệm