Ứng dụng số phức để giải một số lớp bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN THỊ LINH

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ LỚP

BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Lương Quốc Tuyển

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1:

TS.PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 2:

PGS.TS.TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

vào ngày 28 tháng 01 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong hệ thống kiến thức được đưa vào giảng dạy cho học sinh THPT, ngoài

những nội dung quan trọng của môn toán như phép biến hình, vectơ và tọa độ,

phương trình và bất phương trình đại số, hàm số, đồ thị và những kiến thức về

phép tính vi phân, tích phân, đại số tổ hợp thì số phức cũng được rất chú trọng

trong chương trình THPT và đã được đưa vào chương trình sách giáo khoa Giải

tích 12 hiện nay.

Do nhu cầu phát triển của nền Toán học về việc giải những phương trình đại

số, số phức đã được xuất hiện từ thế kỉ XIX và đến bây giờ, nó đã giữ một vai

trò rất quan trọng trong sự phát triển của Toán học. Từ khi ra đời, số phức đã

thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ và giải quyết rất nhiều vấn đề đang tồn

đọng trong khoa học và kỹ thuật. Đối với học sinh THPT, số phức là một trong

những nội dung đang còn mới mẻ, khó tiếp cận và với thời lượng được đưa vào

học tập tại lớp không nhiều. Do vậy, học sinh chỉ mới nắm được những kiến thức

sơ cấp nhất của số phức và việc khai thác các ứng dụng của số phức đang còn rất

hạn chế.

Để đáp ứng được những nhu cầu như trên, đòi hỏi giáo viên phải có những

hiểu biết cần thiết nhất, có cách nhìn sâu sắc hơn về các ứng dụng của số phức.

Bởi các lí do đó cùng với sự định hướng của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển,

chúng tôi đã quyết định chọn đề tài “Ứng dụng số phức để giải một số lớp các bài

toán sơ cấp” làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất của số phức và khai thác những ứng dụng của nó để

giải một lớp các bài toán sơ cấp.

2

Là tài liệu tham khảo giúp cho học sinh hệ thống hóa được những kiến thức

cơ bản và nắm được dạng toán quen thuộc để giải quyết các bài toán khó hơn,

phức tạp hơn. Đồng thời giúp cho học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số

phức trong toán học nói chung và trong giải toán nói riêng.

3. Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

• Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

• Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

4. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán đại số trên tập hợp số phức và các dạng toán liên

quan.

5. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là một số lớp bài toán sơ cấp về số phức ở

chương trình toán Trung học phổ thông.

6. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham khảo

dành cho giáo viên và học sinh THPT khi dạy và học những kiến thức về số phức.

Nghiên cứu các bài tập nâng cao về ứng dụng số phức để giải một số lớp các

bài toán sơ cấp nhằm bồi dưỡng các đối tượng học sinh giỏi.

Góp phần nào đó phát triển năng lực giải toán của học sinh, giúp học sinh

khắc sâu kiến thức đã học, nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT.

7. Cấu trúc luận văn

3

Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, luận văn có Lời

cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài

liệu tham khảo.

Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến nội dung chính của

luận văn, bao gồm định nghĩa về số phức, phép cộng và phép trừ số phức, phép

nhân số phức, số phức liên hợp và môđun số phức, phép chia cho số phức khác

0...

Chương 2, đây là nội dung chính của luận văn. Chương này đi vào nghiên cứu

ứng dụng của số phức để giải một lớp các bài toán sơ cấp: Các phép tính về số

phức và các bài toán định tính, chứng minh một số phức là số thực hay số ảo,

tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất, tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng

tọa độ biểu diễn các số phức thỏa mãn một hệ thức cho trước, căn bậc hai của số

phức và phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, ứng

dụng số phức giải hệ phương trình đại số...

Trong suốt quá trình làm luận văn mặc dù được chỉ bảo ân cần, chu đáo song

nó cũng có hạn chế, sai sót. Vì vậy, em mong nhận được sự góp ý quý báu của

các thầy cô để luận văn của em được hoàn thiện hơn.

Chương 2, đây là nội dung chính của luận văn. Chương này đi vào nghiên cứu

ứng dụng của số phức để giải một lớp các bài toán sơ cấp: Các phép tính về số

phức và các bài toán định tính, chứng minh một số phức là số thực hay số ảo,

tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất, tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng

tọa độ biểu diễn các số phức thỏa mãn một hệ thức cho trước, căn bậc hai của số

phức và phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, ứng

dụng số phức giải hệ phương trình đại số...

Trong suốt quá trình làm luận văn mặc dù được chỉ bảo ân cần, chu đáo song

nó cũng có hạn chế, sai sót. Vì vậy, em mong nhận được sự góp ý quý báu của

các thầy cô để luận văn của em được hoàn thiện hơn.

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Xây dựng trường số phức

1.2. Số phức liên hợp

1.3. Mặt phẳng phức

1.4. Môđun và Argument của số phức

1.5. Dạng lượng giác của số phức

1.6. Dạng mũ của số phức

1.7. Khai căn của số phức

1.8. Tính chất của phép toán trên C

1.9. Lũy thừa đơn vị ảo

1.10. Định lý Vi-ét

1.11. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

1.12. Sơ đồ Horner

5

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI

TOÁN SƠ CẤP

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số dạng toán của số phức cũng

như một số dạng toán sử dụng số phức để giải trong chương trình Trung học Phổ

thông.

2.1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính

A. Kiến thức vận dụng

Cho z1 = a + bi và z2 = c + di. Khi đó,

• z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i;

• z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i;

• z1z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i;

•

z1

z2

=

z1z2

|z2|

2 =

(c + di)(a − bi)

a

2 + b

2

=

ac + bd + (ad − bd)i

a

2 + b

2

.

B. Một số dạng toán liên quan

Bài toán 2.1.1. Viết các số phức sau đây dưới dạng a + bi, (a, b ∈ R).

a) z = (2 + i)

3 − (1 + 2i)

3 − (3 − i)(2 − i);

b) z =

1 + i

1 − i

+

3 − i

2 − i

−

1 + 2i

1 + i

;

c) z =

(2 + i)

2

(1 + i)

2(1 − i) − 3(1 + i)

.

Lời giải:

(a) Ta có

6

z = 23 + 3.2

2

i + 3.2.i2 + i

3

− (1 + 3.2i + 3.(2i)

2 + (2i)

3

) − (6 − 3i − 2i + i

2

)

= 8 + 12i − 6 − i − (1 + 6i − 12 − 8i) − (6 − 5i − 1)

= 8 + 18i.

Như vậy,

z = (2 + i)

3 − (1 + 2i)

3 − (3 − i)(2 − i) = 8 + 18i.

(b) Ta có

z =

(1 + i)

2

(1 − i)(1 + i)

+

(3 − i)(2 + i)

(2 − i)(2 + i)

−

(1 + 2i)(1 − i)

(1 + i)(1 − i)

=

1 + 2i + i

2

1 + 1

+

6 + i − i

2

4 + 1

−

1 + i − 2i

2

1 + 1

=

2i

2

+

7 + i

5

−

3 + i

2

=

−1

10

+

7

10

i.

Do đó,

z =

1 + i

1 − i

+

3 − i

2 − i

−

1 + 2i

1 + i

=

−1

10

+

7

10

i.

(c) Ta có

z =

(4 + i

2 + 4i)(1 + i)

−1 − 5i

= −

(3 + 4i)(1 + i)

1 + 5i

= −

3 + 4i

2 + 7i

1 + 5i

=

(1 − 7i)(1 − 5i)

(1 + 5i)(1 − 5i)

=

1 + 35i

2 − 12i

1 + 25

=

−34 − 12i

26

=

−17

13

−

6

13

i.

Như vậy,

z =

(2 + i)

2

(1 + i)

2(1 − i) − 3(1 + i)

=

−17

13

−

6

13

i.

Bài toán 2.1.2. Thực hiện phép tính sau:

7

a) (1 − i)

2012;

b) i

144 − i

73 + i

102 + i

83;

c) 

1 + 7i

4 + 3i

2013

;

d) 1 + i + i

2 + i

3 + ..... + i

2012

.

Lời giải:

(a) Bởi vì 2012 = 2.1006 nên ta có

(1 − i)

2012 =

h

(1 − i)

2

i1006

= (1 − 2i + i

2

)

1006 = (−2i)

1006

= (−2)1006.i1006 = 21006

.(i

2

)

503 = 21006

.(−1)503

= −2

1006

.

Như vậy, (1 − i)

2012 = −2

1006

.

(b) Ta có

i

144 = (i

4

)

36 = 136 = 1;

i

73 = (i

4

)

18i = 118i = i;

i

102 = (i

4

)

25i

2 = 125(−1) = −1;

i

83 = (i

2

)

41i = (−1)41i = −i.

Do đó,

i

144 − i

73 + i

102 + i

83 = 1 + i − 1 − i = 0.

(c) Ta có



1 + 7i

4 + 3i

2013

=



(1 + 7i) (4 − 3i)

(4 + 3i) (4 − 3i)

2013

=



25 + 25i

25 2013

= (1 + i)

2013 =

h

(1 + i)

2

i1006

(1 + i)

= (1 + 2i + i

2

)

1006(1 + i) = (2i)

1006

.(1 + i)

= 22006(i

2

)

503(1 + i) = 21006(−1)503

.(1 + i)

= −2

1006(1 + i) = −2

1006 − 2

1006i.

Như vậy,



1 + 7i

4 + 3i

2013

= −2

1006 − 2

1006i.

8

(d) Ta nhận thấy rằng dãy số 1, i, i2

, i3

, ..., i2012 lập thành một cấp số nhân

gồm 2013 số hạng, có công bội là i, số hạng đầu là 1. Do đó,

1 + i + i

2 + i

3 + ..... + i

2012 = 1.

1 − i

2013

1 − i

=

1 − (i

2

)

1006

1 − i

=

1 − i

1 − i

= 1.

Như vậy,

1 + i + i

2 + i

3 + ..... + i

2012 = 1.

Bài toán 2.1.3. Cho số phức z =

√

3

2

−

1

2

i. Tính các số phức sau:

z; z

2

; (z)

3

; 1 + z + z

2

.

Bài toán 2.1.4. Cho a, b ∈ R\{0}, hãy tính 

a + bi

b − ai2013

.

Lời giải:

Ta có

a + bi

b − ai

=

(a + bi)(b + ai)

(b − ai)(b + ai)

=

ab + a

2

i + b

2

i + abi2

a

2 + b

2

=

(a

2 + b

2

)i

a

2 + b

2

= i.

Suy ra



a + bi

b − ai2013

= i

2013 = (i

2

)

1006i = (−1)1006i = i.

Như vậy,

(

a + bi

b − ai

)

2013 = i.

2.2. Giải phương trình và hệ phương trình đơn giản

A. Kiến thức vận dụng

• Đưa về phương trình bậc nhất theo z, thực hiện các phép tính số phức và

tính z.

• Nếu phương trình chứa z, z, |z|, thì ta đặt z = x+yi. Từ đó, suy ra z = x−yi

và |z| =

p

x

2 + y

2

. Biến đổi hai vế theo x, y và cần bằng phần thực, phần

ảo ở hai vế để tính x, y.

B. Một số dạng toán liên quan