Ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

____________________

NGUYỄN MINH HOÀNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC

BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 1: TS. Nguyên Duy Thái Sơn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học

họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại :

Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng

Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI

khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số. Mặc dù sinh sau nhưng

số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành toán học như đại số, giải tích , lượng

giác, hình học…

Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc với số phức khi học đến lớp

12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới

biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số

phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp

khó.

Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức trong

việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù

hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trường trung học phổ

thông nên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số phức trong các bài

toán sơ cấp”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng toán

thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng như thi học sinh giỏi. Phân tích

cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử dụng số phức

để rút ra ưu, nhược điểm trong từng cách giải.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp

phổ thông : đại số, giải tích, lượng giác, hình học.

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có

nhiều kinh nghiệm trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu ôn thi cao

đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học…

2

4. Phương pháp nghiên cứu

- Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên

internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin và tập hợp các bài

toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài.

- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học.

5. Ý nghĩa khoa học

Xây dựng được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi

toán ở bậc trung học phổ thông. Góp phần thiết thực cho việc dạy và học toán ở nhà

trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và học sinh.

6. Cấu trúc luận văn

Dự kiến cấu trúc của luận văn gồm:

Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản

Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác, đại số

Chương 3: Ứng dụng của số phức trong hình học

Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn. Tuy nhiên do thời gian và trình độ có

hạn, chắc chắn luận văn sẽ không thể tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận

được sự chỉ bảo tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân

thành cảm ơn!

3

CHƯƠNG 1

SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách

giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH Bologne

(Ý) tên là Scipione del Ferro ( 1465-1526) đã biết cách giải phương trình 3 x p q   x ,

nhưng ông không hề công bố, người ra nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh.

Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học

trò ông là một nhà toán học ít tên tuổi là Antonio Mario Fior.

Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập.

Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giả

30 phương trình bậc 3 trong 2h. Ngược lại , Fior cũng nhận thách thức sẽ giải 30

phương trình bậc 3 do Tartaglia đặt ra.

Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách

mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng cuộc thi

giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình mà

Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải được một phương trình mà

thôi vì vậy chi sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa

tiệc liên tiếp. Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy

thưởng.

Cardano (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3

trong trường hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn gặp

ngay Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ

hội nhơ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3. Cardano phải

thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo

chí. Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách

giải trước Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố

trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545.

4

Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển sách

của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cải vã giữa hai

người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất

hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phương trình bậc 3

cả Tartaglia và Cardano đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2

của số âm thì cả hai đều cho là vô lý.

Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm 1501,

đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành

thầy giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết

học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách

“Nghệ thuật lớn giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày

cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự

nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.

Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là

nhà toán học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học người

Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức. Năm 1560

R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc

3: 3 x m n   x và ông chỉ ra rằng phương trình trên có 3 nghiệm thực nếu 2 3

n m là âm.

Trong trường hợp này công thức của Tartaglia-Cardano không dùng được vì trong

trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại vào thời đó chưa ai

vượt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn dùng công thức trên nhưng

tìm cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương trình 3 x   15x 4 , ông làm việc với

các số có dạng a b  1 như đối với số thực, ông nhận xét rằng 2 1   là căn bậc 3

của 2 121   và công thức Cardano-Tartaglia đã cho ông kết quả x  4 là một nghiệm

của phương trình 3 x   15x 4 , còn các nghiệm khác có được là nhờ ba căn bậc 3 của

2 121   . Điều này đưa ông đến chỗ tìm được các qui tắc tính toán đối với số phức.

Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức.

5

Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo

không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng

ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại

lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng

ảo- đó là nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường

như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật”.

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss( năm 1831) . Vào thế kỷ

XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng

ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái

niệm logarit cho số phức bất kì (1738) , còn Moa-vrơ nghiên cứ và giải bài toán căn

bậc tự nhiên đối với số phức (1736).

Sự nghi ngờ đối với số ảo ( số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là

C.Wessel đưa sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong

công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được

gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.Argand￾người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có

thứ tự ( ; ), , a b a R b R   được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837).

Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1) , tức là đơn

vị “ảo” được lí giả một cách hiện thực.

Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững

chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh

chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số

phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.

1.2. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC

Xét tập 2 R R R x y x y R    * {( , ) | , }

Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi :

1 2

1 2

x x

y y

  

 

6

Ta xây dựng các phép toán trên R2 như sau: 2

1 1 1 2 2 2     z x y z x y R ( ; ), ( ; )

Phép cộng : 1 2 1 2 1 2 z z x x y y     ( , )

Phép nhân: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z x x y y x y x y . ( , )   

Định nghĩa 1.2.

Tập R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập

số phức C, phần tử ( , ) x y C  là một số phức.

Kí hiệu C* để chỉ tập hợp C\{(0;0)}.

Định lý 1.2.2.

(C,+,.) là một trường ( nghĩa là trên C với các phép toán đã định nghĩa có các

tính chất tương tự trên R với các phép toán cộng nhân thông thường)

1.3. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1.3.1. Xây dựng số i

Xét tương ứng : {0}

( ;0)

f R R

x x

 



Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh.

Ngoài ra ta cũng có: ( ,0) ( ,0) ( ,0); ( ,0)( ,0) ( ,0) x y x y x y xy    

Vì là song ánh nên ta có thể đồng nhất ( ,0) x x 

Đặt i  (0,1) thì 2

i      (0,1)(0,1) ( 1,0) 1

và z x y x y x y x yi        ( , ) ( ,0) (0, ) ( ,0) ( ,0)(0,1)

Từ đó ta có kết quả sau:

Định lí 1.3.1.

Mỗi số phức 2 z x y R   ( , ) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

z x yi x y R    , , trong đó 2

i  1.

Biểu thức x yi  được gọi là dạng đại số của số phức z x y  ( ; )

Kí hiệu : x z  Re( ) gọi là phần thực của số phức z

y z  Im( ) gọi là phần ảo của số phức z

Chú ý

Số phức z a i   0 có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là

a i a R C     0

7

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( còn gọi là số thuần ảo) :

z bi bi b R i i i        0 ( ); 0 1 1

Số 0 0 0 0   i i vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức z a bi a b R z a b i a b R       ( , ), ' ' ' ( ', ' ) gọi là bằng nhau nếu

a a b b   ', '. Khi đó ta viết z z  '

1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức

Xét mặt phẳng Oxy . Mỗi số phức z bi a b R    ax ( , ) được biểu diễn bởi điểm M

có tọa độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức

z bi a b R    ax ( , ) . Ta còn viết M a bi ( )  hay M z( ).

Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực.

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo.

1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức

a. Tổng của hai số phức

Định nghĩa 1.3.3.

Tổng của hai số phức z a bi a b R z a b i a b R       ( , ), ' ' ' ( ', ' ) là số phức

z z a a b b i      ' ' ( ')

Tinh chất của phép cộng số phức:

Tính chất kết hợp:

( ') '' ( ' "), , ', " z z z z z z z z z C       

Tính chất giao hoán:

z z z z z z C      ' ' , , '

Cộng với 0:

z z z z C       0 0 ,

Với mỗi số phức z a bi a b R    ( , ) , nếu kí hiệu số phức   a bi là zthì ta có:

z z z z       ( ) ( ) 0

Số z được gọi là số đối của số phức z.