Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Ứng dụng đạo hàm tích phân vào giải các bài toán sơ cấp
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–
LÊ SƠN TRÀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2018
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG
Phản biện 1:
TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN
Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc
sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 28
tháng 01 năm 2018
Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đạo hàm và tích phân không xác định là hai phép toán ngược nhau,
chúng thuộc lĩnh vực toán cao cấp nhưng lại liên quan mật thiết và giúp giải
quyết nhiều bài toán sơ cấp. Trước hết việc tìm nguyên hàm cơ bản được
chứng minh bằng đạo hàm, sau đó để tìm nguyên hàm ta thường dùng các
công thức hoặc biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản. Có rất nhiều cách để
tìm nguyên hàm của một hàm số như dùng bảng nguyên hàm cơ bản, đổi
biến số... Tuy nhiên trong một số trường hợp ta có thể dùng đạo hàm để
kiểm chứng nhanh hơn dùng các phương pháp khác. Ngoài ra, đạo hàm và
tích phân còn giúp giải quyết rất nhiều bài toán sơ cấp như bài toán tính
tổng, bài toán giới hạn, bài toán về phương trình, hệ phương trình. . . Với
lý do đó, luận văn này muốn khai thác một ý tưởng chính là dùng đạo hàm
và tích phân để giải một số bài toán sơ cấp. Với sự gợi ý và hướng dẫn khoa
học từ TS Lê Văn Dũng, tôi quyết định chọn đề tài : “Ứng dụng đạo
hàm và tích phân để giải một số bài toán sơ cấp” cho luận văn
thạc sĩ của mình.
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn. Có thể sử dụng luận văn
như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng
quan tâm đến đạo hàm và tích phân.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm, tích phân.
- Ứng dụng đạo hàm và tích phân giải các bài toán sơ cấp.
2
3. Đối tượng nghiên cứu
- Đạo hàm.
- Tích phân.
- Các bài toán sơ cấp giải bằng phương pháp dùng đạo hàm, tích phân.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng
trong giải toán sơ cấp.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực
: Đại số tuyến tính, Giải tích, Lý thuyết Đạo hàm, Lý thuyết tích phân và
các bài toán sơ cấp.
6. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau:
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả trình bày
các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích phân.
Chương 2: Ứng dụng đạo hàm và tích phân giải các bài
toán sơ cấp Chương 2 tập trung phân loại và hệ thống các bài toán sơ
cấp giải bằng phương pháp đạo hàm và tích phân.
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có
y
0
x = y
0
u
.u
0
x
1.2. Các công thức tính đạo hàm
1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm
Với u, v là các hàm số của biến x. Ta có:
(u + v)
0 = u
0 + v
0
(u + v)
0 = u
0 + v
0
(uv)
0 = u
0
v + uv
0
(
u
v
)
0 =
u
0
v − v
0u
v
2
1.2.2. Đạo hàm của một hàm số thường gặp
(ku)
0 = ku0
(u
α
)
0 = αuα−1u
0
1
u
0
= −
u
0
u
2
,(u 6= 0)
√
u
0
=
u
0
2
√
u
,(u > 0
4
1.2.3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
(sin u)
0 = u
0
. cos u (cos u)
0 = −u
0
.sinu
(tan u)
0 =
u
0
cos2u
(cot u)
0 = −
u
0
sin2u
(arcsin u)
0 =
u
0
√
1 − u
2
(arccos u)
0 = −
u
0
√
1 − u
2
(arctan u)
0 =
u
0
1 + u
2
(u)
0 = −
u
0
1 + u
2
1.2.4. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit
(a
x
)
0 = a
x
ln a (a
u
)
0 = u
0
.au
. ln a
(e
x
)
0 = e
x
(e
u
)
0 = u
0
.eu
(logax)
0 =
1
x ln a
(logau)
0 =
u
0
u ln a
(ln x)
0 =
1
x
(ln u)
0 =
u
0
u
1.2.5. Đạo hàm của hàm số ngược
Định lí 1.2.1. Nếu một hàm số liên tục y = f (x) có hàm ngược
x = f
−1
(y) thì hàm số ngược đó cũng liên tục.
Định lí 1.2.2. . Nếu hàm số y = f (x)có đạo hàm y
0
x 6= 0 và có hàm
số ngược x = f
−1
(y)thì hàm số ngược cũng có đạo hàm x
0
y
và xy
0 =
1
yx
0
1.2.6. Vi phân
y = f (x) ⇒ dy = d [f (x)] = f
0
(x) dx.
5
1.3. Các công thức tính tích phân bất định
1.3.1. Tính chất của tích phân bất định
Z
f (x) dx0
= f (x)
Z
kf (x) dx = k
Z
f (x) dx
Z
[f (x) + g (x)] dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Z
[f (x) − g (x)] dx =
Z
f (x) dx −
Z
g (x) dx
d
Z
f (x) dx
= f (x) dx
1.3.2. Sự tồn tại của nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn [a, b]
1.3.3. Bảng tích phân bất định của một số hàm số thường gặp
R
du = u + C
R
u
αdu =
u
α+1
α + 1
+ C,(α 6= −1)
R du
u
= ln |u| + C,(u 6= 0) R
e
udu = e
u + C
R
a
udu =
a
u
ln a
+ C
R
ln udu = u ln u − u + C
R
ln udu = u ln u − u + C
R
sin udu = − cos u + C
R du
cos2u
= tan u + C
R du
sin2u
= − cot u + C
R
tan udu = − ln |cos u| + C
R
R
cot udu = ln |sin u| + C
chudu = shu + C
R
R
shudu = chu + C
thudu = ln (chu) + C
R
coth udu = ln (shu) + C
Nhận xét: Các công thức trên đây được chứng minh bằng tính chất:
Z
f (x) dx = F (x) + C ⇔ F
0
(x) = f (x).
6
1.3.4. Tích phân của hàm số ngược
Định lí 1.3.1. Giả sử f (x) là hàm khả vi và đơn điệu. f
−1
(x) là
hàm ngược của nó và R
f (x) dx = F (x) + C. Khi đóR
f
−1
(x) dx =
xf −1
(x) − F (f
−1
(x)) + C.
1.4. Định lý và công thức liên quan
1.4.1. Định lý Rolle
(xem tài liệu tham khảo [8])
Giả sử hàm số f : [a, b] → R có các tính chất:
a. f (x) là hàm liên tục trên [a, b].
b. f (x)khả vi trên (a, b).
c. f (a) = f (b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f
0
(c) = 0
1.4.2. Định lý Lagrange
(xem tài liệu tham khảo [8])
Giả sử hàm số f : [a, b] → Rcó các tính chất:
a. f (x) là hàm liên tục trên [a, b].
b. f (x)khả vi trên (a, b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a) = f
0
(c) (b − a).
1.4.3. Công thức Euler trên trường số phức
e
ix = cos x + isin x; e
−ix = cos x − isin x
Suy ra
cos x =
e
ix + e
−ix
2
; sin x =
e
ix − e
−ix
2i
.
7
Tổng quát
cos nx =
e
inx + e
−inx
2
; sin nx =
e
inx − e
−inx
2i
.
1.4.4. Công thức khai triển Taylor
Cho f (x) là hàm số xác định và có đạo hàm tới cấp n + 1 tại a.
f (x) = f (a) + f
0
(a)
1! (x − a) + f
00 (a)
2! (x − a)
2 + ... +
+
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n +
f
(n+1) (a)
(n + 1)! (x − a)
n+1
.
a là một số nằm giữa x và a.