Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức.

1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

Sinh viên thực hiện: Khổng Hoàng Khương

Lớp: 09 ST

Giáo viên hướng dẫn: TS. Trương Công Quỳnh

Đà Nẵng, tháng 5/2013

2

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU.................................................................................................................3

Chương 1: Cơ sở lý luận................................................................................................5

I. Tóm tắt lý thuyết.......................................................................................................5

II. Một số định lý .........................................................................................................8

Chương II: Ứng dụng đạo hám chứng minh các bất đẳng thức cơ bản ...................9

I. Bất đẳng thức mở đầu..............................................................................................9

II. Bất đẳng thức Cauchy............................................................................................9

III. Bất đẳng thức Cauchy mở rộng .........................................................................11

IV. Bất đẳng thức Isena ............................................................................................12

V. Bất đẳng thức Holder ...........................................................................................13

VI. Bất đẳng thức Bernoulli......................................................................................14

Chương III: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức. ........17

I. Bất đẳng thức một biến..........................................................................................17

1. Hàm số f(x) cho dưới dạng tường minh .............................................................17

2. Hàm số f(x) không cho dưới dạng tường minh ..................................................19

II. Bất đẳng thức nhiều biến.....................................................................................23

1. Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.................................23

2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến .......................30

3. Biến đổi về bất đẳng thức có chứa các biểu thức “đồng dạng” ..........................37

4. Một số phương pháp khác ..................................................................................39

Chương VI: Dùng các phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức .............45

I. Ứng dụng định lý Lagrange trong chứng minh bất đẳng thức ...........................45

II. Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức ..........................................46

KẾT LUẬN...................................................................................................................52

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................53

3

LỜI MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ở hầu

hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học. Không những thế nó còn là bài

toán hay và khó nhất trong các đề thi.

Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để

làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó. Chủ đề này thường dành

cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.

Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có nhiều

phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán mà

chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi. Một trong những

phương pháp khá hiệu quả là ứng dụng các tính chất của đạo hàm. Không có một thuật

giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua ví dụ để học sinh rèn luyện để

tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể và từ đó tìm thấy

sơ đồ giải riêng cho mình.

Vì những lí do trên tôi chọn đề tài: “Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng

thức” nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm

trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

II. Mục đách nghiên cứu

Với những lý do như ở trên em chọn đề tài này nhằm mục đích sau:

- Làm sáng tỏ cơ sở khoa học của phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất

đẳng thức.

- Trang bị đầy đủ hơn cho phương pháp giải quyết một số bài toán chứng minh

bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biếu thức.

4

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán chứng minh bất

đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biếu thức.

- Phạm vi: Đề tài được áp dụng trong chương trình toán lớp 12, ôn thi Đại học,

Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi toán.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nhắc lại các kiến thức về đạo hàm.

- Xây dựng quy trình giải toán bằng phương pháp sử dụng đạo hàm.

- Thực hành.

V. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận.

- Tổng kết kinh nghiệm.

- Thực nghiệm.

VI. Kết cấu của bài:

Ngoài phần mở đầu thì bài viết gồm có 3 chương:

- Chương I: Cơ sở lý luận.

- Chương II: Ứng dụng đạo hàm chứng minh các bất đẳng thức thường gặp

- Chương III: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.

- Chương IV: Dùng các phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức.

Bài viết này được hoàn thành nhờ sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của cô Phan Thị

Quản. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đến cô. Do kinh nghiệm,

kiến thức, thời gian còn hạn chế nên bài viết sẽ khó tránh khỏi những sai sót. Em rất

mong nhận được ý kiến tham gia đóng góp của các thầy (cô) giáo và các bạn để bài

viết được hoàn thiện hơn.

5

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

( ; ) x0  a b

. Nếu tồn tại giới hạn

(hữu hạn)

x

y

x x

f x f x

x x x 









  0

0

0

lim ( ) ( )

lim

0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

y = f(x) tại

0

x

Kí hiệu:

( ) 0

'

f x

2. Định nghĩa đạo hàm một bên:

Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm

0

x

, kí hiệu là

( ) 0

' 

f x

được định

nghĩa:

x

y

f x

x 





  



0

0

'

( ) lim

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm

0

x

, kí hiệu là

( ) 0

' 

f x

được định

nghĩa:

x

y

f x

x 





  



0

0

'

( ) lim

3. Định nghĩa đạo hàm trên một khoảng, một đoạn:

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên

khoảng đó.

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [a;b], nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b)

và có đạo hàm bên phải tại a và đạo hàm bên trái tại b.

Khi đó, hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x tuỳ ý thuộc khoảng (a;b), kí hiệu f’(x)

hay y’.

4. Ý nghĩa đạo hàm: