sử dụng hàm bessel để giải bài toán truyền nhiệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN VẬT LÝ

-----oOo-----

TẠ VU BÍCH NGỌC

Lớp DH5L

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÀNH VẬT LÝ

SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI

BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY

Long Xuyên, 5-2008

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến:

• Ban giám hiệu Trường Đại Học An Giang

• Ban chủ nhiệm Khoa Sư Phạm Trường Đại Học An

Giang

• Hội Đồng Khoa Học và Đào Tạo Khoa Sư Phạm

Trường Đại Học An Giang

• Thầy Hồ Xuân Huy - Giáo Viên hướng dẫn

• Các thầy cô và các bạn trong bộ môn Vật Lý

Đã tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình hướng dẫn, đôn đốc

và tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này.

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU.......................................................................................Trang 1

1. Lý do chọn đề tài...................................................................................Trang 1

2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................Trang 1

3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1

4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1

5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 1

6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2

7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2

8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2

9. Dàn ý của khóa luận..............................................................................Trang 2

PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.........................................Trang 3

1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3

1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6

1.3 Các chuỗi và hệ trực giao....................................................................Trang 9

1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng ............................................Trang 19

CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL

VÀ HÀM BESSEL....................................................................................Trang 22

2.1 Khái niệm hàm Bessel.......................................................................Trang 22

2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel .....Trang 25

2.3 Tính trực giao của hàm Bessel ..........................................................Trang 31

2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel..............................................Trang 31

CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT ................................Trang 41

3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 41

3.2 Các bài toán cho các toạ độ...............................................................Trang 46

3.3 Các bài toán cho biên ........................................................................Trang 56

3.4 Một số bài toán dừng.........................................................................Trang 59

PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 68

PHỤ LỤC 1.......................................................................................Trang 69

PHỤ LỤC 2.......................................................................................Trang 70

PHỤ LỤC 3.......................................................................................Trang 74

PHỤ LỤC 4.......................................................................................Trang 78

1

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Với một số dạng bài toán khi giải bằng phương pháp tách biến Fourier, phương

pháp biến đổi Laplace,...thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp. Học phần

phương pháp toán-lý có những bài tập tương đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm

riêng, phương trình vi phân.

Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách

biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel...Mỗi

phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng.

Đối với một số bài toán biên nhiều chiều nếu sử dụng phương pháp tách biến

Fourier hay phép biến đổi Laplace thì bài toán giải khó khăn hơn. Ta có thể sử dụng hàm

Bessel vào giải bài toán biên trong phương trình truyền nhiệt thì việc tìm nghiệm của bài

toán là đơn giản hơn nhiều.

Phương pháp sử dụng hàm Bessel để giải bài toán truyền nhiệt là một phương pháp khó,

tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhưng

các sách lý thuyết thường ít đề cập đến phương pháp này, không đưa ra các bài tập cụ thể,

làm sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng.Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu

quả bài toán truyền nhiệt cho học phần phương pháp toán lý là rất cần thiết.

Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “ Sử dụng phương pháp hàm Bessel

để giải bài toán truyền nhiệt”.

2.Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt.

• Nghiên cứu cơ sở toán học cho hàm Bessel.

• Sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán phương trình truyền nhiệt.

3.Đối tượng nghiên cứu

• Các bài toán truyền nhiệt .

• Cơ sở lý luận về bài tập vật lý.

• Cơ sở toán học về phương trình Bessel và hàm Bessel.

4.Nhiệm vụ nghiên cứu

• Xây dựng phương pháp hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt.

• Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Bessel.

5.Phương pháp nghiên cứu

• Đọc sách và tham khảo tài liệu.

• Phương pháp toán học.

• Phương pháp phân tích.

• Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.

2

6.Giả thuyết khoa học

Dùng phương pháp hàm Bessel có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt.

7.Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán truyền nhiệt.

8.Đóng góp của khóa luận

• Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.

• Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên.

9.Dàn ý của khóa luận

Phần I: Mở đầu

Phần II: Nội dung

Chương I: Cơ sở lý luận

1.1 Lý luận về bài tập vật lý.

1.2 Các loại bài toán biên.

1.3 Các chuỗi và hệ trực giao..

1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng , trị riêng.

Tiểu kết chương 1: Đây là cơ sở lý luận toán học quan trọng, dựa vào đó để giải các

bài toán truyền nhiệt trong phương pháp toán lý.

Chương II: Xây dựng phương trình Bessel và hàm Bessel

2.1 Khái niệm hàm Bessel.

2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel.

2.3 Tính trực giao của hàm Bessel.

2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel.

Tiểu kết chương 2: Chương này hoàn thành việc xây dựng hàm Bessel và phương

trình Bessel để giải bài toán trong phương trình truyền nhiệt.

Chương III. Sử dụng hàm Bessel để giải cho một số bài toán truyền nhiệt

3.1 Các bài toán cho các toạ độ.

3.2 Các bài toán cho biên.

3.3 Một số bài toán dừng.

Tiểu kết chương 3: chương này là ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán

biên trong phương trình truyền nhiệt.

Phần III: Kết luận.

• Kết quả dự kiến đạt dược của việc nghiên cứu đề tài: Hiểu rõ hơn hàm Bessel, có

thể ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán biên nhiều chiều.

• Những đóng góp của việc nghiên cứu đề tài: làm tài liệu tham khảo về một phương

pháp giải hiệu quả bài toán truyền nhiệt trong học phần phương pháp toán lý.

• Kiến nghị.

3

PHẦN HAI: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ:

1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý

Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải

quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa

trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý.

1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý

Xét về mặt phát triển tính tự lực của người học và nhất là rèn luyện kỷ năng

vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học

tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình

dạy học.

- Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá

trình dạy học vật lý người học được làm quen với bản chất của các hiện tượng vật

lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí

nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu

và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra,

trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiểu bài tập

mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải

tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn.

- Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa

vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho

người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các

khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng vật lý.

- Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. Việc

giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự

phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc

trưng cho chúng.

- Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức

của người học vào thực tiễn. Đối với việc giáo dục kỷ thuật tổng hợp bài tập vật lý

có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện thuận lợi để

người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội dung của bài

tập phải đảm bảo các yêu cầu sau:

• Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang học.

• Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong

thực tiễn.

• Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế.

• Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với

các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có sẵn dữ

4

kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các sách báo tra

cứu hoặc từ thí nghiệm.

- Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý

nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh

chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập này, trong

qua trình giải, người học sẽ có được kỷ năng, kỷ xảo vận dụng các kiến thức của

mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong tự nhiên, trong kỷ thuật và

trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải đòi hỏi người học phải sử dụng

kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử dụng những kết quả quan sát thực tế

hằng ngày.

- Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật

lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm

tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và

ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là

phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiện trì, vượt khó, ý chí và nhân cách

của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn

khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập.

- Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến

thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người

học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.

1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý

1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý

+ Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời

đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá

trình giải một bài toán thực chất là tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện

tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ

có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối

liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ

tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời

giải đáp cho bài toán đặt ra.

Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là:

1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức

vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho.

2. Sự tiếp tục luận giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết

luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho.

+ Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả

lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác

lập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều

kiện cụ thể nào của bài toán?

+ Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp nhưng vẫn cần

có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối cùng.

5

1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý

Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý người ta

thường sử dụng hai phương pháp sau:

− Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất phát là các

đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì

tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành

những công thức tương ứng, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn

toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong.

Như vậy, phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành

những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải

các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lời giải cho bài toán phức tạp trên.

− Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận không bắt

đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó nêu trong đề bài. Dùng

công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần đến công

thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm.

Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân

tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để

hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn

của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật

lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta

mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.

1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý

Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách

khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt

động chính trong các bước, đó là:

Bước 1:

• Tìm hiểu đề bài.

• Đọc ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.

• Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.

• Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ

liệu cần thiết.

Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải

tìm.

• Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý

của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công

thức có liên quan.

• Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái

phải tìm

• Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối

liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra được cái

cần tìm.

Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm.