Phép tính vi phân và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ UYÊN LINH

PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG

DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2020

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ UYÊN LINH

PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG

DỤNG

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. HOÀNG NHẬT QUY

Đà Nẵng - 2020

ii

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Tiếp tuyến của đường cong tại một điểm . . . . . . 3

1.1.2 Vận tốc chuyển động của vật . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Xây dựng quy tắc tính đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản . 11

1.2.1 Đạo hàm các hàm số thường gặp . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Đạo hàm của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . 21

1.2.3 Đạo hàm của hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.4 Đạo hàm của hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 Một số trường hợp khác biệt . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.3 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4 Xấp xỉ tuyến tính và phương pháp Newton . . . . . . . . . 32

1.4.1 Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.2 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN 42

2.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.1 Phác thảo đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2 Phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.3 Giải tích với phương trình tham số . . . . . . . . . . 51

2.1.4 Tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.5 Đường cong cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1.6 Tiếp tuyến của đường cong cực . . . . . . . . . . . . 60

2.2 Một số ứng dụng trong khoa học tự nhiên và xã hội . . . . 61

2.2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . 62

2.2.2 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2.3 Ứng dụng trong vật lí, hóa học, sinh học . . . . . . . 73

2.3 Độ tăng theo hàm mũ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4 Một số bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

1

MỞ ĐẦU

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của toán học nói chung và của

Giải tích toán nói riêng. Trong các lĩnh vực khoa học khác, khái niệm đạo

hàm cũng có nhiều ứng dụng đa dạng. Tuy nhiên, những vai trò này của

đạo hàm không được thể hiện rõ nét trong chương trình toán học phổ

thông và các ứng dụng của đạo hàm trong một số lĩnh vực quen thuộc (vật

lý, kỹ thuật, kinh tế. . . ) không được đề cập đúng mức vô tình đã gây ra

sự đơn điệu của khái niệm này và không gây được động lực và niềm đam

mê khi học toán của học sinh. Với những lý do như vậy, dưới sự hướng

dẫn khoa học của TS. Hoàng Nhật Quy, tôi đã chọn đề tài “Phép tính vi

phân và một số ứng dụng” để thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình.

Đề tài dự kiến có hai chương. Chương 1, tôi hệ thống lại các khái niệm

và tính chất liên quan tới phép tính vi phân. Chương 2 trình bày các ứng

dụng của đạo hàm trong nghiên cứu về hàm số, một số lĩnh vực khoa học

tự nhiên và trong kinh tế. Tôi kỳ vọng rằng kết quả nghiên cứu sẽ giúp

tôi hiểu sâu sắc hơn về phép tính vi phân, góp phần nâng cao chất lượng

giảng dạy môn bậc THPT mà tôi đang đảm nhận. Đặc biệt, các kết quả

nghiên cứu được sẽ trở thành tư liệu chính để tôi xây dựng các chuyên đề

tự chọn và các hoạt động trải nghiệm sáng tạo theo yêu cầu của chương

trình phổ thông mới sẽ triển khai bắt đầu từ năm 2020. Luận văn bao

gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, và Tài liệu tham khảo. Nội dung của