Phép tính vi phân trong các không gian hữu hạn chiều.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG THỊ THU THANH

PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG CÁC

KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: TS. Trịnh Đào Chiến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Phân hiệu Đại học Đà Nẵng

tại Kon Tum vào ngày 18-19 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Phép tính vi phân đóng vai trò quan trọng trong chương trình

Toán đại học nhưng việc chứng minh các Định lí hàm ngược, Định lí

hàm ẩn, Định lí hạng hằng chưa được đề cập đến nhiều nên tôi đặt

mục đích cho mình là tìm hiểu các chứng minh trên. Vì vậy xuất phát

từ nhu cầu này, tôi chọn đề tài : “PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG

CÁC KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU” để tiến hành nghiên

cứu, nhằm làm tài liệu tham khảo và hy vọng tìm ra những áp dụng

hữu ích nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu và nắm được nội dung và chứng

minh các định lí Hàm ẩn, định lí Hàm ngược và định lí Hạng hằng.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

- Phép tính vi phân hàm nhiều biến.

- Chứng minh các định lí Hàm ngược, Hàm ẩn, Hạng hằng.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Định lí Hàm ngược; Định lí Hàm ẩn; Định lí Hạng hằng.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

2

Thu thập, phân tích tìm kiếm các tài liệu và thông tin liên quan

đến việc chứng minh được các định lí hàm ngược, hàm ẩn, hạng

hằng.Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.

Sau khi bảo vệ, được sự góp ý của quý thầy cô trong hội đồng,

đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên,

giáo viên và những đối tượng có quan tâm đến lĩnh vực này.

6. Cấu trúc luận văn.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3

chương:

Chƣơng 1: Tính chất đại số và topo của

n

.

Chương này trình bày sơ lược một số kiến thức cơ sở về đại số

tuyến tính; topo trong không gian

n

, không gian con compact,

không gian con liên thông của

n

.

Chƣơng 2: Vi phân của các hàm nhiều biến.

Chương này trình bày đạo hàm của hàm nhiều biến; các hàm

khả vi liên tục; quy tắc dây chuyền.

Chƣơng 3: Định lí Hàm ngƣợc, định lí Hàm ẩn, định lí

Hạng hằng và một số ứng dụng.

Chương này trình bày định lí hàm ngược, định lí hàm ẩn, định

lí hạng hằng và chứng minh các định lí đó; một số ứng dụng của các

định lí trên.

3

CHƢƠNG 1

TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TOPO CỦA

n

1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.

1.1.1. Không gian vector, tích vô hƣớng

a. Không gian vector

Cho

V

là một tập (mà các phần tử của nó được gọi là các

vector), trên đó được trang bị phép toán cộng các vector

x

và

y

, kí

hiệu

x y 

, và phép nhân của số thực

c

và vector

x

là một vector

được kí hiệu

cx .

Tập

V

cùng với hai phép toán trên được gọi là một không

gian vector (hoặc không gian tuyến tính) nếu thỏa mãn các tiên đề

sau:

(1)

x y y x    .

(2)

x y z x y z      ( ) ( ) .

(3) Có duy nhất vector

0

mà

x 0 x x   , .

(4)

x x 0    ( 1) .

(5)

1x x  .

(6)

c d cd ( ) ( ) x x  .

(7)

( ) c d c d    x x x .

(8)

c c c ( ) x y x y    .

Định lí 1.1.1. Giả sử

V

có một cơ sở gồm m vector. Khi đó một hệ

sinh bất kỳ của

V

có ít nhất m vector, và bất kì một hệ độc lập tuyến

4

tính của

V

có nhiều nhất m vector. Đặc biệt bất kì cơ sở nào của

V

cũng có đúng m vector.

Định lí 1.1.2. Cho

V

là không gian vector m chiều. Nếu W là

một không gian con của

V

(khác

V

) thì W có chiều nhỏ hơn hay

bằng m. Ngoài ra bất kì cơ sở

a ,..., 1 ak

của W đều có thể mở rộng

thành một cơ sở

a ,..., , ,..., 1 1 a a a k k m  

của

V .

b. Tích vô hướng.

Nếu V là một không gian vector, một tích vô hướng trên V là

một hàm tương ứng mỗi cặp

( , ) x y   V V

với một số thực kí hiệu

x y,

thỏa các điều kiện sau với

x y z , , V

và mọi số thực c:

(1)

x y y x , ,



(2)

x y z x z y z    , , ,

(3)

c c c x y x y x y , , ,

 

(4)

x x, 0  nếu

x 0 

Không gian vector V cùng với một tích vô hướng trên V được

gọi là một không gian tiền Hilbert.

Nếu V là một không gian tiền Hilbert, độ dài (hoặc chuẩn) của

một vector được định nghĩa:

1/2

x x x 

,

Ta có:

(1)

x  0 nếu

x 0  .

(2)

c c x x  .

5

(3)

x y x y    .

Tính chất thứ ba được gọi là bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng

thức tương đương với (3) mà ta thường dùng là:

(3’)

x y x y    .

Hàm giá trị thực nào trên một không gian vector V mà thỏa

các tính chất (1) - (3) được gọi là một chuẩn trên V. Chuẩn được

cảm sinh từ tích vô hướng ở trên là một ví dụ của một chuẩn, chuẩn

này được gọi là chuẩn Euclide, nhưng có nhiều chuẩn khác không

được cảm sinh từ tích vô hướng. Trên

n

ta còn sử dụng chuẩn sup

được định nghĩa:

x  max ,...,  x x 1 n .

Chuẩn sup thường dùng tiện hơn chuẩn Euclide. Ta chú ý rằng

hai chuẩn này trên

n

thỏa bất đẳng thức:

x x x   n .

1.1.2. Ma trận

a. Ma trận

Định lí 1.1.3. Nếu A là ma trận cỡ

n m

, và

B

là ma trận cỡ

m p 

thì:

A B m A B . . 

b. Phép biến đổi tuyến tính

6

Cho

V

và

W

là các không gian vector,

T V W : 

được gọi

là một phép biến đổi tuyến tính nếu với mọi

x y, V

và với mọi

c

ta có:

(1)

T T T x y x y        .

(2)

T c cT  x x    .

Định lí 1.1.4. Cho không gian vector

V

có cơ sở

a a 1

,..., m

và không gian vector

W

. Khi đó bất kì m vector

1

,..., m b b

trong

W

,tồn tại duy nhất một biến đổi tuyến tính

T V W : 

sao cho

với mỗi i,

T a b  i i   .

c. Hạng của ma trận

Định lí 1.1.5. Với ma trận

A

bất kì, hạng các hàng bằng hạng

các cột.

Các phép biến đổi sơ cấp đối với các hàng là:

(1) Đổi chỗ hàng

1

i

và

2

i

của

A

(

1 2 i i 

).

(2) Thay hàng

1

i bởi phép cộng hàng

1

i

với tích

c

với

hàng

2

i

(

1 2 i i 

).

(3) Nhân hàng

1

i

với số thực



khác 0.

Các phép toán trên có thể thực hiện cho các cột. Ta có kết quả

sau:

Định lí 1.1.6. Ma trận

B

thu được khi thực hiện các phép

biến đổi sơ cấp trên các hàng hay các cột của ma trận

A

thì

rank A rank B  .

7

d. Ma trận chuyển vị

Cho một ma trận

A

có cỡ

n m

, chuyển vị ma trận

A

ta

được một ma trận

D

cỡ

m n 

mà các phần tử của

D

được xác

định bởi:

d a ij ji



. Khi đó ta kí hiệu ma trận

D

là

tr A .

e. Nghịch đảo của ma trận

Định nghĩa 1.1.7. Cho

A

là ma trận cỡ

n m , B

và

C

là các

ma trận cỡ

m n 

. Ta nói

B

là nghịch đảo trái của

A

nếu

. B A I 

m

và

C

là nghịch đảo phải của

A

nếu

. AC I 

n

.

Định lí 1.1.8. Nếu

A

có một nghịch đảo trái

B

và một nghịch

đảo phải

C

thì chúng duy nhất và bằng nhau.

Định nghĩa 1.1.9. Nếu

A

vừa có nghịch đảo trái vừa có

nghịch đảo phải thì ta nói

A

là khả nghịch. Ma trận duy nhất vừa là

nghịch đảo trái vừa là nghịch đảo phải của

A

gọi là ma trận nghịch

đảo của

A

, kí hiệu

1 A



.

Định lí 1.1.10. Cho

A

là ma trận cỡ

n m

. Nếu

A

khả

nghịch thì

n m rank A  

.

Định lí 1.1.11. Cho

A

là ma trận cỡ

n m

. Giả sử

n m rank A  

thì

A

khả nghịch.

Định lí 1.1.12. Nếu

A

là ma trận vuông và

B

là một nghịch

đảo trái của

A

thì

B

cũng là nghịch đảo phải của

A.

8

1.1.3. Định thức

a. Định thức

Đinh nghĩa 1.1.13. Một hàm được cho bởi mỗi ma trận

A

cỡ

n n 

tương ứng một số thực kí hiệu là

det A

, được gọi là một hàm

định thức nếu nó thỏa các tiên đề sau:

(1) Nếu

B

là ma trận tạo thành khi chuyển đổi hai hàng của

A

thì

det det B A   .

(2) Với mỗi

i

, det A là một hàm tuyến tính theo hàng thứ

i

(3)

det 1 n

I  .

Định lí 1.1.14. Cho A là ma trận cỡ

n n  .

(a) Nếu

E là ma trận sơ cấp có được khi chuyển đổi các

hàng

1

i

và

2

i

thì

det . det A. E A  

(b) Nếu

E'

là ma trận sơ cấp có được bởi phép thay hàng

1

i

bằng phép cộng nó với c lần hàng

2

i

thì

det '. det A. E A 

(c) Nếu

E"

là ma trận sơ cấp có được khi nhân hàng

i

của

A

với số thực



khác 0 thì

det ". det A. E A  

(d) Nếu

A

là ma trận đơn vị

n

I

thì

det A 1. 

Định lí 1.1.15. Cho ma trận vuông

A

. Nếu các hàng của

A

độc lập tuyến tính thì

det 0 A 

; nếu các hàng của

A

phụ thuộc

tuyến tính thì

det 0 A 

. Vì thế, một ma trận

A

cấp

n n 

có hạng n

nếu và chỉ nếu

det 0 A 