Phép tính vi phân trong không gian banach.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

PHẠM THỊ LÀNH

PHÉP TÍNH VI PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN

Đà Nẵng, 3/2014

4

Mục lục

Lời cảm ơn! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Phép tính vi phân và tích phân trên không gian hữu hạn

chiều 7

1.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Tích phân đường và hàm thế năng . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Cực trị và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Đạo hàm trong không gian vector 24

2.1 Không gian của các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . 24

2.2 Đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Các tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Định lí giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Đạo hàm bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8 Đạo hàm dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Định lí ánh xạ ngược 53

3.1 Bổ đề co rút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Ánh xạ khả nghịch - Định lí ánh xạ ngược . . . . . . . . . . 54

3.3 Các hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Lời kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Lành

5

Lời cảm ơn!

Lời đầu tiên cho em kính gửi đến quý thầy cô lòng biết ơn sâu sắc trong

thời gian qua đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt cho em những kinh nghiệm

quý báu để em hoàn thành bài khóa luận này.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô Khoa Toán - Trường Đại học

Sư phạm Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy, trau dồi cho em nhiều tri thức

quý giá trong suốt bốn năm học qua. Đó là những kiến thức vô cùng hữu

ích giúp em có thể xây dựng và viết bài luận văn. Em xin cảm ơn thầy

Trần Nhân Tâm Quyền - giáo viên hướng dẫn đã nhiệt tình giúp đỡ, chỉ

bảo em hoàn thành tốt bài khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn tạo điều kiện

giúp đỡ em trong suốt thời gian vừa qua. Nhờ có ba mẹ, các bạn luôn là

nguồn động viên, đóng góp ý kiến mà em mới có cơ hội để hoàn thành tốt

bài luận văn.

Cuối cùng em xin kính chúc tất cả quý thầy cô, mọi người trong gia

đình và các bạn dồi dào sức khỏe, hạnh phúc và may mắn trong cuộc sống!

Em xin chân thành cảm ơn!

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Lành

6

Lời mở đầu

Đại số tuyến tính và giải tích là hai môn học quan trọng và là kiến thức

tiền đề cho sinh viên khoa Toán. Khi tiếp cận với hai môn học này thì

việc học các kiến thức về không gian vector là một điều thiết yếu. Không

gian vector là một không gian cơ bản và quan trọng trong đại số tuyến

tính và giải tích. Nó được dùng nhiều trong các ngành Toán học và cả các

ngành khoa học khác như: Cơ học, Vật lí, Hóa học,.... Bài khóa luận này

nghiên cứu đến phép tính vi phân trong không gian vector, cụ thể là trong

không gian Banach. Nội dung bài khóa luận được trình bày trong 3 chương.

Chương 1: Nêu lên các kiến thức đầu tiên của đại số tuyến tính

và giải tích. Chương này nêu lên định nghĩa đạo hàm riêng và tích phân

đường của các hàm f trên không gian hữu hạn chiều. Ngoài ra, chương này

cũng sẽ đề cập một cách tổng quát đến việc tính đạo hàm riêng nhiều lần

để từ đó xây dựng công thức Taylor trong không gian n-chiều, chứ không

gói gọn trong không gian một chiều đơn giản nữa.

Chương 2: Trong chương này ta sẽ mở rộng các kết quả ở Chương

1 cho các không gian vector định chuẩn, đặc biệt là không gian Banach.

Chương này đi tính đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính rồi từ đây đưa ra

một số tính chất cơ bản của đạo hàm. Hơn nữa, chương 2 cũng có trình

bày một cách mở rộng hơn định lí giá trị trung bình và đạo hàm dưới dấu

tích phân.

Chương 3: Chủ yếu trình bày về tính khả nghịch của các ánh xạ

tuyến tính trong các không gian Banach. Định lí về sự tồn tại ánh xạ

ngược cũng được giới thiệu ở đây. Ngoài ra, chương 3 cũng trình bày định

lí hàm ẩn. Các kiến thức đạo hàm ở hai chương trước là một trong các cơ

sở cần thiết để đưa ra được những phát biểu và chứng minh cho định lí.

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Lành

7

Chương 1

Phép tính vi phân và tích phân trên

không gian hữu hạn chiều

1.1 Đạo hàm riêng

Trước khi xem xét trường hợp tổng quát của một ánh xạ khả vi trong

một không gian bất kì, chúng ta sẽ xem xét trường hợp đặc biệt của hàm,

tức là hàm trên trường số thực. Ta xét các hàm trên R

n

.

Một điểm của R

n được biểu thị bởi x = (x1, x2, ..., xn). Chúng ta thường

dùng các kí tự thường để chỉ điểm nằm trong R

n

. Ngẫu nhiên trong một

số trường hợp vẫn dùng chữ hoa. Nếu A = (a1, a2, ..., an) là một điểm của

R

n

, thì ta viết: Ax = A · x = a1x1 + a2x2 + ... + anxn.

Cho U là một tập mở của R

n và f : U → R là một hàm. Khi đó đạo

hàm riêng của f tại x ∈ U được định nghĩa là:

Dif(x) = lim

h→0

f(x + hei) − f(x)

h

= lim

h→0

f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) − f(x1, x2, ...xn)

h

nếu giới hạn đó tồn tại. Trong đó: ei = (0, ..., 1, 0, ..., 0) là một vector đơn

vị, 0 6= h ∈ R. Đôi khi cũng có thể chỉ đạo hàm bằng kí hiệu:

Dif(x) = ∂f

∂xi

.

Ta thấy rằng Dif là một đạo hàm thông thường mà tất cả các điểm cố

định, trừ biến thứ i.

Một hàm ϕ sao cho mọi vector h ∈ R, h 6= 0 được gọi là o(h), nếu

lim

h→0

ϕ(h)

|h|

= 0.

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Lành

8

Trong đó h = (h1, h2, ..., hn) là một vetor với các thành phần hi

là các số.

Nếu hàm ϕ(h) là o(h) thì ta viết nó dưới dạng:

ϕ(h) = |h|ψ(h),

trong đó

lim

h→0

ψ(h) = 0.

Nếu đặt ψ(h) = ϕ(h)

h

thì h phải khác 0. Do đó ψ được định nghĩa bởi

h 6= 0.

Một hàm f : U → R là khả vi tại x nếu tồn tại một vector A ∈ R

n

sao

cho:

f(x + h) = f(x) + A · h + o(h).

Hay có một hàm ϕ được xác định với mọi h 6= 0 sao cho ϕ(h) = o(h) khi

h → 0 và

f(x + h) = f(x) + A · h + ϕ(h).

Nhìn lại những điều đã có ở trên ta có thể phát biểu: một hàm f : U → R

là khả vi tại x nếu tồn tại một hàm ψ được định nghĩa bởi h sao cho:

lim

h→0

ψ(h) = 0

và

f(x + h) = f(x) + A · h + |h|ψ(h).

Ta định nghĩa gradient của f tại x bất kì là một vector mà tọa độ của

nó là các đạo hàm riêng của f. Nó được kí hiệu là: grad và ta có:

gradf(x) = (gradf)(x) = (D1f(x), ..., Dnf(x)).

Đôi khi dùng kí hiệu ∂f/∂xi để chỉ đạo hàm riêng, và vì thế

gradf(x) = ( ∂f

∂x1

, ...,

∂f

∂xn

).

Định lí 1.1.1. Cho f khả vi tại x và A là một vector sao cho:

f(x + h) = f(x) + A · h + o(h).

Khi đó, mọi đạo hàm riêng của f tại x tồn tại, và

A = gradf(x).

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Lành