Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ ÁNH TUYẾT

PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học:TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 2: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 5

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phép tính vi tích phân là một trong những lĩnh vực nghiên cứu

quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất của giai đoạn cuối

thế kỷ XVII của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz. Do nhu

cầu phát triển của kỹ thuật và các ngành khoa học khác mà phép tính

vi phân ngẫu nhiên được ra đời.

Phép tính vi phân ngẫu nhiên đã giải quyết nhiều vấn đề lớn

trong các ứng dụng khoa học, trong nông nghiệp, công nghệ, kỹ

thuật…Với thực tế những đại lượng biến đổi ngẫu nhiên, những hàm

với biến ngẫu nhiên không thể áp dụng được các kỹ thuật tính toán

của phép tính vi phân thông thường mà phải sử dụng một công cụ

hoàn toàn mới đó là phép tính vi phân ngẫu nhiên. Đó là lý do mà tôi

chọn đề tài “ Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng” làm đề tài

tốt nhiệp bậc cao học của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là nghiên cứu phép tính vi

phân ngẫu nhiên, xây dựng cách tính vi phân của các hàm ngẫu

nhiên, sau đó ứng dụng lý thuyết này vào việc khảo sát các quá trình

ngẫu nhiên.

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa các cơ sở lý

thuyết liên quan đến phép tính vi phân ngẫu nhiên, sau đó minh họa

một số bài toán giải được bằng cách tính vi phân của các hàm ngẫu

nhiên và cuối cùng là ứng dụng lý thuyết này trong việc khảo sát các

quá trình ngẫu nhiên như quá trình dừng bậc hai, biểu diễn phổ của

quá trình dừng bậc hai, …

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu cách xây dựng

phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của chúng trong việc khảo

sát các quá trình ngẫu nhiên như quá trình dừng bậc hai, quá trình

Markov, biểu diễn phổ của quá trình dừng.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi đang sử dụng là thu thập

tài liệu liên quan đến luận văn từ các sách chuyên khảo, các tài liệu

cập nhật trên internet. Sau đó, chúng tôi xử lý tài liệu và biên soạn lại

theo trình tự dự kiến của luận văn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn có ý nghĩa khoa học trình bày phép tính vi ngẫu nhiên

một cách chuẩn xác theo quan điểm hiện đại của toán học ngày nay.

Phép tính vi phân ngẫu nhiên được ứng dụng tốt trong thực tế vì nó

sát với thực tế của các vấn đề đang xảy ra là phần lớn mang yếu tố

ngẫu nhiên.

3

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính

của luận văn gồm 3 chương

Chương 1. Các kiến thức cơ sở.

Chương 2. Phép tính vi phân ngẫu nhiên.

Chương 3. Một số ví dụ và ứng dụng của phép tính vi phân ngẫu

nhiên.

4

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT

1.1.1. Độ đo (Measure)

a. Khái niệm

 Đại số và ���� – đại số

Đại số

Cho tập hợp Ω. ℱ0 là lớp các tập con của Ω. Ta nói ℱ0 là đại số trên

Ω nếu nó thỏa mãn :

- Ω thuộc ℱ0

- Với mọi A thuộc ℱ0 thì A ∈ℱ0, ( A = Ω\A)

- Với mọi A, B ∈ℱ0 thì A ∪ B ∈ℱ0

���� – đại số

Cho tập hợp Ω, ℱ là lớp các tập con của Ω. Ta nói ℱ là ����- đại số trên

Ω nếu nóthỏa mãn :

- Ω thuộc ℱ

- Với mọi A ∈ℱ thì A ∈ℱ

- Với mọi {A }n n∈+

⊂ℱ thì n

n

A ∈ +

∈



  và khi đó (Ω,

ℱ) được gọi là không gian đo được. A thuộc ℱ ta nói

A là tập ℱ - đo được.

5

 Độ đo

Một độ đo μ trên một ���� – đại số H là một tập hợp cho tương

ứng mỗi phần tử S của một σ-đại số H với một giá trị μ(S) là một số

thực không âm hoặc vô hạn và thỏa mãn các tính chất sau đây:

- Tập hợp rỗng có độ đo bằng không: μ(∅) = 0,

- Độ đo là σ -cộng tính: nếu E1, E2, . . . là các tập chứa

trong σ - đại số H, đếm được và không giao nhau

từng đôi một, và nếu E là hợp của chúng, thì độ đo

μ(E) bằng tổng

k 1

µ

∞

=

∑ ( Ek), nghĩa là:

k k

k1 k1

( E ) (E )

∞ ∞

= =

µ =µ  

Nếu μ là một độ đo trên σ - đại số H, thì mọi phần tử của σ -

đại số được gọi là μ - đo được, hay đơn giản là đo được. Một bộ gồm

tập hợp Ω, một σ - đại số trên Ω và một độ đo μ trên H được gọi là

một không gian đo, ký hiệu là (Ω, H, μ). Cặp (Ω, H) được gọi là một

không gian đo được.

b. Các tính chất của độ đo (Properties of measures)

Tính chất 1. Cho μ là một độ đo trên σ - đại sốH. Khi đó ta có:

1/ Nếu E ∈H, F ∈H và E ⊂ F thì μ(E) ≤ μ(F).

2/ Nếu E ∈H, F ∈H và E ⊂ F, F ∖ E ∈H, | μ(E) | < ∞ thì μ(F

∖ E) = μ(F) − μ(E)..