Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

„I HÅC € NŽNG

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M 

VÔ THÀ THÒY V…N

LUŠN V‹N TH„C Sž

TN  T€I

PH’P TNH VI PH…N CÕA H€M VECTÌ

V€ MËT SÈ ÙNG DÖNG

CHUYN NG€NH: TON GIƒI TCH

M¢ sè: 8.46.01.02

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc :

TS. HO€NG NHŠT QUY

€ NŽNG - N‹M 2021

Möc löc

LÍI CAM OAN 4

MÐ †U 5

1 Ki¸n thùc cì sð 8

1.1 Nh­c l¤i c¡c ki¸n thùc v· vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Giîi h¤n v  li¶n töc cõa h m vectì mët bi¸n sè . . . . . . . . 15

1.3 ¤o h m cõa h m vectì mët bi¸n sè . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 C¡c quy t­c t¼m ¤o h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 T½ch ph¥n cõa h m vectì mët bi¸n sè . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Sì l÷ñc v· h m vectì nhi·u bi¸n sè . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Mët sè ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì 24

2.1 Ùng döng h m vectì trong c¡c b i to¡n h¼nh håc ành l÷ñng . 24

2.1.1 ë d i cung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 ë cong cõa mët ÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 Vectì ph¡p tuy¸n ìn và . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.4 Vectì tròng ph¡p tuy¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.5 Ph¡p di»n, m°t ph¯ng mªt ti¸p v  ÷íng trán mªt ti¸p 35

2.1.6 ë cong v  ÷íng trán mªt ti¸p cõa ÷íng cong ph¯ng

y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Ùng döng trong nghi¶n cùu tr÷íng vectì . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Tr÷íng vectì v  tr÷íng væ h÷îng . . . . . . . . . . . . 38

2.2.2 Gradian cõa mët tr÷íng væ h÷îng . . . . . . . . . . . 42

2.2.3 Ræta cõa mët tr÷íng vectì . . . . . . . . . . . . . . . 46

2

2.2.4 ivecgi«ng cõa 1 tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Ùng döng trong c¡c b i to¡n vªt l½ . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.1 Vectì vªn tèc, tèc ë v  vectì gia tèc cõa ch§t iºm . 53

2.3.2 Tr÷íng vectì mët chi·u trong vªt lþ . . . . . . . . . . 58

2.3.3 Tr÷íng vectì hai chi·u trong vªt lþ . . . . . . . . . . 61

2.4 Ùng döng trong nghi¶n cùu d¤ng vi ph¥n . . . . . . . . . . . 75

2.4.1 Vi ph¥n cõa h m vectì mët bi¸n sè . . . . . . . . . . 75

2.4.2 Vi ph¥n cõa mët h m vectì nhi·u bi¸n sè . . . . . . . 77

T i li»u tham kh£o 82

3

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi. C¡c sè li»u, k¸t

qu£ n¶u trong luªn v«n l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc ai cæng bè trong

b§t k¼ cæng tr¼nh n o kh¡c.

T¡c gi£

Vô Thà Thòy V¥n

4

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG.

Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH – K38

Họ và tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN

Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY

Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng.

Tóm tắt:

*Những kết quả chính của luận văn:

Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học: “ Phép tính vi phân của hàm vecto và một số

ứng dụng” đã đạt được một số kết quả sau đây:

- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn và

tính liên tục của hàm véc tơ, đạo hàm của hàm véctơ.

- Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính vi phân của hàm vectơ trong nghiên

cứu một số trường vectơ trong vật lý, trong nghiên cứu dạng vi phân trong toán học. Các kết

quả ứng dụng đưa ra trong luận văn khá nhiều.

*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:

Tác giả tìm hiểu và viết luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả mới từ các tài liệu

chuyên ngành về lĩnh vực, được xuất bản bởi các NXB uy tín trong nước và trên thế giới. Các

kết quả thu được chứng minh một cách chặt chẽ và đầy đủ, luận văn do vậy có cơ sở khoa học.

Về ý nghĩa thực tiễn, đây có thể là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt bổ ích cho học viên

cao học ngành Toán Giải tích và các độc giả quan tâm về lĩnh vực hàm véctơ và ứng dụng.

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

TS. HOÀNG NHẬT QUY VŨ THỊ THÙY VÂN

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: The differential calculus of vector functions and some applications.

Major: Mathematical analysis.

Full name of Master student: VU THI THUY VAN

Supervisors: PhD. HOANG NHAT QUY

Training institution: The University of Danang, University of Education.

Summary

* The main results of the thesis:

The research topic of the Master of Science thesis: “The differential calculus of vector

functions and some applications” has achieved the following results:

- Systematized a number of concepts and results related to vectors, vector functions, limits and

continuity of vector functions, derivatives of vector functions.

- Presenting some applications of vector functions and differential calculus of vector functions

in the study of some vector fields in physics, in the study of differential forms in mathematics.

The application results given in the thesis are quite numerous.

* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:

The author researches and writes the thesis based on the reference to new results from the

documents specialized in the field, published by prestigious domestic and international

publishers. The obtained results are rigorously and fully demonstrated, thus the thesis has a

scientific basis. In terms of practical significance, this can be a useful reference in Vietnamese

for graduate students majoring in Analytical Mathematics and interested readers in the field of

vector functions and applications.

Supervior’s confirmation Student

PhD. HOANG NHAT QUY VU THI THUY VAN

MÐ †U

1. Lþ do chån · t i:

Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n håc phê thæng, chóng ta ¢ th§y nhi·u b i to¡n

h¼nh håc ph¯ng v  h¼nh håc khæng gian ÷ñc gi£i quy¸t bði c¡c cæng cö cõa

vectì. Ngo i c¡c ùng döng trong h¼nh håc, vectì cán câ ùng döng trong vªt

l½ v  nhi·u l¾nh vüc kh¡c núa. H m vectì l  sü mð rëng kh¡i ni»m vectì

b¬ng c¡ch °t t÷ìng ùng méi gi¡ trà t ∈ I ⊂ R vîi mët vectì trong m°t

ph¯ng ho°c trong khæng gian (v  têng qu¡t hìn l  mët vectì trong khæng

gian vectì n o â). Khi â méi vectì câ thº xem l  mët h m vectì h¬ng. Câ

thº nâi h m vectì l  sü k¸t hñp cõa lþ thuy¸t v· ph÷ìng ph¡p tåa ë, vectì

v  lþ thuy¸t h m sè. Vîi sü hé trñ cõa c¡c cæng cö m¤nh cõa gi£i t½ch nh÷

ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n, h m vectì trð n¶n húu hi»u trong

c¡c ùng döng trong h¼nh håc, vªt lþ v  kÿ thuªt. D÷îi gâc ë to¡n håc, vi»c

nghi¶n cùu h m vectì cho chóng ta c¡i nh¼n mîi, ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn mîi,

tø â t¼m ÷ñc nhúng líi gi£i hay cõa c¡c b i to¡n, c¡c ùng döng húu ½ch

cõa lþ thuy¸t to¡n håc nâi chung v  lþ thuy¸t v· ph²p t½nh vi ph¥n nâi ri¶ng

trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau.

M°c dò ph²p t½nh vi ph¥n nâi chung v  ph²p to¡n ¤o h m nâi ri¶ng câ

nhi·u ùng döng trong to¡n cao c§p v  trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau. Tuy

nhi¶n, nhúng vai trá n y cõa ¤o h m khæng ÷ñc thº hi»n rã n²t trong

ch÷ìng tr¼nh to¡n håc phê thæng. Vi»c ùng döng cõa ¤o h m trong mët sè

l¾nh vüc quen thuëc (vªt lþ, kÿ thuªt, kinh t¸ . . . ) khæng ÷ñc · cªp óng

mùc væ t¼nh ¢ g¥y ra sü ìn i»u cõa kh¡i ni»m n y v  khæng g¥y ÷ñc ëng

lüc v  ni·m am m¶ khi håc to¡n cõa håc sinh. Vi»c nghi¶n cùu kh¡i ni»m

5

ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì câ thº em l¤i sü mîi m´ trong ph÷ìng

ph¡p ti»p cªn kh¡i ni»m n y, mang l¤i gâc nh¼n mîi trong ch÷ìng tr¼nh to¡n

håc phê thæng. Ngo i ra, · t i công ÷ñc ký vång s³ l  cì sð º x¥y düng

c¡c chuy¶n ·  o s¥u v  mð rëng c¡c kh¡i ni»m to¡n håc phê thæng nh¬m

¡p ùng d¤y håc ph¥n hâa theo ành h÷îng cõa ch÷ìng tr¼nh gi¡o döc phê

thæng n«m 2018.

Vîi nhúng lþ do nh÷ tr¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS. Ho ng

Nhªt Quy, tæi ¢ chån · t i Ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì v 

mët sè ùng döng º thüc hi»n trong luªn v«n Th¤c s¾ cõa m¼nh

2. Möc ti¶u nghi¶n cùu:

- H» thèng l¤i c¡c ki¸n thùc cì b£n v· vectì.

- Ph¡t biºu kh¡i ni»m h m vectì v  c¡c ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m

vectì nh÷: h m vectì, t½nh li¶n töc cõa h m vectì, ¤o h m, ph²p t½nh vi

ph¥n cõa h m vectì trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n húu h¤n chi·u.

- Ùng döng cõa ph²p t½nh ¤o h m cõa h m vectì trong nghi¶n cùu

mët sè mæ h¼nh vªt lþ.

3. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu:

3.1. èi t÷ñng nghi¶n cùu

Trong luªn v«n n y, chóng tæi nghi¶n cùu mët sè v§n · cì b£n v· ph²p

t½nh vi ph¥n cõa h m vectì nh÷: h m vectì, t½nh li¶n töc cõa h m vectì,

¤o h m, ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì trong khæng gian tuy¸n t½nh ành

chu©n húu h¤n chi·u v  ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì.

3.2. Ph¤m vi nghi¶n cùu

· t i nghi¶n cùu thuëc chuy¶n ng nh gi£i t½ch to¡n håc. Cö thº, · t i

s³ h» thèng hâa c¡c c¡c ki¸n thùc v· vectì , kh¡i ni»m h m vectì, t½nh ch§t

li¶n töc cõa h m vectì, ¤o h m cõa h m vectì, ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m

vectì trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n húu h¤n chi·u v  ùng döng

cõa ph²p t½nh vi ph¥n cõa h m vectì.

4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Thu thªp, têng hñp, h» thèng c¡c t i li»u li¶n quan ¸n nëi dung

· t i luªn v«n.

- åc, tra cùu t i li»u tham kh£o, nghi¶n cùu khoa håc mët c¡ch

logic v  h» thèng.

6

- Trao êi, th£o luªn, tham kh£o þ ki¸n cõa ng÷íi h÷îng d¨n.

5. Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i

K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa · t i gióp tæi hiºu s¥u s­c hìn v· ph²p t½nh

vi ph¥n cõa h m vectì, gâp ph¦n n¥ng cao ch§t l÷ñng gi£ng d¤y mæn bªc

THPT m  tæi ang £m nhªn.

°c bi»t, c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ÷ñc s³ trð th nh t÷ li»u ch½nh º tæi

x¥y düng c¡c chuy¶n · tü chån v  c¡c ho¤t ëng tr£i nghi»m s¡ng t¤o theo

y¶u c¦u cõa ch÷ìng tr¼nh phê thæng mîi s³ triºn khai b­t ¦u tø n«m 2020.

6. C§u tróc luªn v«n

Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong 2 ch÷ìng. Ch÷ìng 1 d nh º

tr¼nh b y l¤i mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n v· vectì, h m vectì, giîi

h¤n li¶n töc cõa h m vectì v  ¤o h m cõa h m vectì. Ch÷ìng 2 l  mët sè

ùng döng cõa h m vectì trong vi»c nghi¶n cùu mët sè mæ h¼nh vªt lþ li¶n

quan v  nghi¶n cùu d¤ng vi ph¥n trong to¡n håc.

7