Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
NBV VD VDC tích phân sở nam định 2021 đáp án
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Chương 3. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Tuyển chọn câu hỏi VD-VDC của các trường THPT thuộc sở Nam Định năm 2021.
Vấn đề 1. Nguyên Hàm – Tích Phân
Câu 1. (THPT Giao Thủy C-Nam Định) Cho hàm số f x liên tục trên và
9 2
1 0
d 4, sin cos d 2.
f x
x f x x x
x
Tính tích phân
3
0
I f x x d .
A. I 6. B. I 4. C. I 10. D. I 2.
Lờigiải
Chọn B
Xét 9
1
1
d 4
f x
I x
x Đặt t x tdt dx 2
Đồi cận 1 1
9 3
x t
x t
Suy ra
3 3 3
1
1 1 1
I f t dt f x dx f x dx 2 2 4 2 1
Xét 2
2
0
I f x x x sin cos d 2
Đặt t x dt x sin cos
Đồi cận
0 0
1
2
x t
x t
Suy ra
1 1
2
0 0
I f t dt f x dx 2 2
Từ 1 và 2 suy ra
3
0
I f x x d 4.
Câu 2. (THPT Giao Thủy C-Nam Định) Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn
và . Tính bằng:
A. . B. . C. . D. .
Chọn A
Từ giả thiết .
Ta có: .
, đặt
Nên
.
Câu 3. (THPT Giao Thủy -Nam Định) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 1;
và thỏa mãn 3 xf x f x x x f x ' 2 ln với mọi 3 x f e e 1; , 3 . Tính f e .
A. 3 e 1. B. 3 2e . C. 3 e . D. 3 e 1.
Đáp án
f x
3 f x f x x x x 1 1 , f 0 0
2
0
d
2
x I xf x
1
10 1
20
1
10
1
20
3 f x f x x x x f 1 1 , 1 0
1 1 1 1
3
0 0 0 0
1 1 d 1 d 1 d d
20 40 f x x f x x x x x f x x
2
0
d
2
x I xf x
d d
d d 2
2 2
u x u x
x x v f x v f
2 2 2 1
0 0 0 0
2 1 2 2 d 4 1 2 d 2 d 4 d
2 2 2 2 10 0
x x x x I xf f x f f x f x f t t
2 4 x f x xf x x x xf x ( ) 2 ( ) ln ( )
2
4 3
( ) 2 ( ) ( ) ln 1 x f x xf x f x x
x x
2 3
( ) ( ) ln 1 f x f x x
x x
2 3
( ) ( ) ln d 1 d f x f x x x x
x x
2 3 3
( )ln ( ) ( ) d d f x x f x f x x x x C
x x x
2
f x x ( ) ln x C
x
2
2
( ) ln ( ) ln
f x x x x C x C f x
x x
.
3
3 3 0 ( ) = ln
x f e e C f x
x
3 f e e ( ) = .
Câu 4. (THPT Giao Thủy B-Nam Định) Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn
2021 x f x f x xe . Tính
1
1
I f x dx
?
A. 1
1011e
. B. 1
2022e
. C. 1
e
. D. 1 2e
e .
Lời giải
Lấy tích phân 2 vế :
1 1
1
1
( 2021 ) x f x f x dx xe dx
Đổi biến
1 1
1 1
f x dx f x dx I ( ) ( )
Vậy
1
1
2022 x I xe dx
Chọn A
Câu 5. (THPT Thiên Trường - Giao Thủy - Nam Định) Cho hàm số f x liên tục trên và có một
nguyên hàm là hàm số 1 2 1.
2 g x x x Khi đó 2
2
1
f x dx bằng
A. 2
3
. B. 4
3
. C. 4
3
. D. 2
3
.
Lời giải
Chọn C
1 1 2 2 2 2 ( ) 1 1 1 1 2 2 f x dx x x C f x x x C x f x x
Do đó 2 2 2 3
2 2
1 1 1
4 1
3 3
x f x dx x dx x .
Câu 6. (THPT Vũ Văn Hiếu - Hải Hậu - Nam Định) Cho hàm số
2 3 khi 1
5 khi 1
x x y f x
x x
.
Tính
2 1
0 0
I f x x x f x x 2 sin cos 3 d d 3 2
.
A. 71
6
I . B. I 31 . C. I 32 . D. 32
3
I .
Lời giải
Xét tích phân 2
1
0
I f x x x sin cos d
.Đặt t x t x x sin d cos d
Đổi cận
x 0
2
t 0 1
Ta có
1 1 1 1 2
1
0 0 0 0
d d d 9 5 5
2 2
x I f t t f x x x x x
Xét tích phân 1
2
0
I f x x 3 2 d .Đặt 3 2 2 d d d
2
d t
t x t x x
Đổi cận
x 0 1
t 3 1
Ta có
3 1 3 3 3 3
2
2
0 1 1 1 1
d d d d 1 1 1 1 1 10 22 3 2 3 3 18
2 2 2 2 3 2 3 3
x I f x x f t t f x x x x x
Vậy 2 1
0 0
I f x x x f x x 2 sin cos 3 3 2 9 31 d d 22
.
Câu 7. (THPT An Phúc - Hải Hậu - Nam Định) Cho hàm số
3 2 1
3 4 1
x x khi x y f x x khi x
.
Biết tích phân 2 3 1
2 2
0
4
tan ln 1
cos 1
f x e xf x a I dx dx
x x b
với a b, và a
b là phân số tối
giản.
Tính giá trị biểu thức P a b .
A. P 21. B. P 33. C. P 45 . D. P 77 .
Lời giải
Chọn A
Ta có 2 3 1
2 2
0
4
tan ln 1
x x=J+K
1
f x e xf x
I d d
cos x x
.
+) 3
2
4
tan
x
f x J d
cos x
. Đặt 2
1 t x dt dx tan
cos x
. Đổi cận 3; 1 3 4
x t x t
.
Suy ra
3 3 3 3 4 2
3
1 1 1 1
2 3
2 2
x x J f t dt f x dx x x dx .
+) 2 1
2
0
ln 1
1
e xf x
K dx
x
. Đặt 2
2 2
2 ln 1
1 1 2
x x dt t x dt dx dx
x x
Đổi cận x e t x t 1 1; 0 0 .
Suy ra
1 1 1 1
2
0 0 0 0
3 4 3 5 2
2 2 2 4 4
dt dx x K f t f x dx x x
Vậy
5 17 3
4 4
I J K . Do đó
17
21
4
a
P a b
b
Câu 8. (THPT B Hải Hậu - Nam Định) Cho hàm số
3 2 1
3 4 1
x x khi x y f x x khi x
.
Biết tích phân 2 3 1
2 2
0
4
tan ln 1
cos 1
f x e xf x a I dx dx
x x b
với a b, và a
b là phân số tối
giản. Tính giá trị biểu thức P a b .
A. P 77 . B. P 33. C. P 45 . D. P 21.
Lời giải
Ta có 2 3 1
2 2
0
4
tan ln 1
x x=J+K
1
f x e xf x
I d d
cos x x
.
+) 3
2
4
tan
x
f x J d
cos x
. Đặt 2
1 t x dt dx tan
cos x
. Đổi cận 3; 1 3 4
x t x t
.
Suy ra
3 3 3 3 4 2
3
1 1 1 1
2 3
2 2
x x J f t dt f x dx x x dx .
+) 2 1
2
0
ln 1
1
e xf x
K dx
x
. Đặt 2
2 2
2 ln 1
1 1 2
x x dt t x dt dx dx
x x
Đổi cận x e t x t 1 1; 0 0 .
Suy ra
1 1 1 1
2
0 0 0 0
3 4 3 5 2
2 2 2 4 4
dt dx x K f t f x dx x x
Vậy 5 17 3
4 4
I J K . Do đó
17
21
4
a
P a b
b
Câu 9. (THPT C Hải Hậu - Nam Định) Cho hàm số
3 4 0
2 3 0
x khi x
y f x x x khi x
. Tính tích phân
2
0
I xf x x sin 3cos 1 d
A. 0 . B. 14
3 . C. 5
3
. D. 3
13 .
Lời giải
2 2 2
0 0 1
1 1 sin 3cos 1 d 3cos 1 d 3cos 1 d
3 3 I xf x x f x x I f x x
2
3
1
1 14 2 3 d 4 d
3 3
I x x x x x
.
Câu 10. (THPT Thịnh Long - Hải Hậu - Nam Định) Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa
mãn 1
0
f x dx 3 và 5
0
f x dx 6 . Tính tích phân 1
1
f x dx 3 2
.
A. I 3 . B. I 2 . C. I 4 . D. I 9 .
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
1 1 3
1 2
1 1 2
3
f x dx f x dx f x dx I I 3 2 3 2 3 2
2 2
3 3
1
1 1
1 3 2 3 2 3 2
3 I f x dx f x d x
.
Đặtt x 3 2 suy ra
2 1 5; 0 3
x t x t .
Do đó
5
1
0
1 2
3 I f t dt .
1 1
2
2 2
3 3
1 3 2 3 2 3 2
3 I f x dx f x d x
Đặt t x 3 2 suy ra
2 1 1; 0 3
x t x t .
Do đó
1
1
0
1 1
3 I f t dt . Vậy 1 2 I I I 3
Câu 11. (THPT Tô Hiến Thành - Hải Hậu - Nam Định) Có hai giá trị của số thực a là 1 a , 2 a
( 1 2 0 a a ) thỏa mãn 1
2 3 d 0
a
x x . Hãy tính 1 2 2
2
1
3 3 log a a a T
a
.
A. T 26 . B. T 12 . C. T 13 . D. T 28 .
Lời giải
Chọn C
Ta có: 1
2 3 d
a
x x 2
1
3 a
x x
2 a a3 2 .
Vì 1
2 3 d 0
a
x x nên 2 a a 3 2 0, suy ra
1
2
a
a
.
Lại có 1 2 0 a a nên 1 a 1; 2 a 2 .
Như vậy 1 2 2
2
1
3 3 log a a a T
a
1 2
2
2 3 3 log 1
13.
Câu 12. (THPT Trần Quốc Tuấn - Hải Hậu - Nam Định) Cho hàm số 2
e 1 khi 0
2 3 khi 0
x x
f x
x x x
liên tục trên và
1
1
f x x a b c d = e 3
, a b c Q , , . Tổng a b c 3 bằng