Một số phản thí dụ trong giải tích và tôpô

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

PHOMMAVONG CHANTHAPHONE

MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG

GIẢI TÍCH VÀ TÔPÔ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NHỤY

Phản biện 1:

TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2:

PGS.TS. Trần Văn Ân

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

17 tháng 06 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CHƯƠNG 1. Một số phản thí dụ trong Giải tích . . . . . . . . . . . 5

1.1. Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2. Một số phản thí dụ về tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . 8

1.3. Một số phản thí dụ về tính khả vi của hàm số . . . . . . . . . .11

1.4. Một số phản thí dụ về tính khả tích của hàm số và độ đo

Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CHƯƠNG 2. Một số phản thí dụ trong Tôpô . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Các phản thí dụ trong tôpô tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2. Các phản thí dụ trong các tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Các phản thí dụ về ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Các phản thí dụ về tính liên tục đều của hàm số . . . . . . . 23

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Ta biết rằng môn học giải tích và đặc biệt Tôpô đại cương có tính trừu

tượng và khái quát hóa rất cao. Mỗi kết luận thu được đều được dựa trên

các giả thiết nhất định và qua một quá trình suy luận lôgic nghiêm ngặt.

Một câu hỏi đặt ra là liệu các giả thiết được đưa ra có phi mâu thuẫn

không, và nếu ta mở rộng các giả thiết đó, thì kết quả có còn đúng không?

Có làm sai lệch kết quả không? Các giả thiết có là điều kiện cần cho kết

luận hay không? Từ kết luận ta đặt vấn đề ngược lại, thì dẫn đến điều gì?

. . . Cách đặt vấn đề như vậy trong môn Giải tích và Tôpô làm nảy sinh các

phản thí dụ. Hơn thế nữa, nếu ta xây dựng được các phản thí dụ để lật

ngược lại vấn đề thì các phản thí dụ này sẽ giúp chúng ta hiểu biết sâu sắc

hơn điều đang được đặt ra và cho ta biết đâu là giới hạn của các giả thiết

của bài toán. Zazkis và Chernoff (2008) còn cho rằng: "Counterexamples

may help learners read just their perceptions or beliefs about the nature

of mathematical objects" (phản thí dụ có thể giúp người học điều chỉnh

lại những nhận thức hoặc cảm quan của mình về bản chất của những đối

tượng toán học) [6].

Để minh họa cho lập luận trên, ta đưa ra một vài dẫn chứng.

Trong giải tích, đoạn [0, 1] có lực lượng continum và có độ đo bằng 1.

Sau khi ta loại bỏ đi một tập con cũng có độ đo bằng 1, thì tập còn lại

có độ đo không. Nhưng tập con còn lại này còn lực lượng continum nữa

hay không? Tức tập con còn lại này của đoạn [0, 1] có tương đương với

đoạn [0, 1] hay không? Ta biết Định lý Lebesgue nói rằng một hàm số f

khả tích (R) trên một đoạn ∆ ⊂ R khi và chỉ khi tập các điểm liên tục

của f trên ∆ chỉ sai khác với ∆ một tập có độ đo không. Liệu kết luận

này có đúng cho mối liên hệ "liên tục - khả vi" trên một tập hay không?

2

Weierstrass đã xây dựng một thí dụ cho câu trả lời phủ định "triệt để":

Tồn tại một hàm liên tục trên một tập, nhưng không khả vi tại bất cứ

điểm nào trên tập này! Tiếp đến Định lý Banach nói rằng, một ánh xạ co

từ không gian metric đủ (X, d) vào chính nó, tức ánh xạ f : X → X thỏa

mãn điều kiện: tồn tại θ ∈ [0, 1) sao cho

d (f (x), f (y)) ≤ θd (x, y) ∀x, y ∈ X

luôn tồn tại điểm bất động, tức điểm x ∈ X mà f(x) = x. Câu hỏi đặt ra là,

đối với một ánh xạ "gần" với ánh xạ co là ánh xạ không giãn f : X → X,

tức ánh xạ

d (f (x), f (y)) < d (x, y) ∀x, y ∈ X

từ không gian metric đủ X vào chính nó liệu kết luận trên có còn đúng

không? Tức liệu tồn tại điểm bất động x ∈ X cho ánh xạ không dãn này

không? Chúng ta có phản thí dụ trả lời phủ định cho câu hỏi này. Lại nữa,

từ Định lý Uryshon Tietze ta suy ra rằng, mọi hàm liên tục f trên tập con

đóng M của một không gian metric X đều có thác triển (extention) liên

tục trên toàn bộ không gian X, tức tồn tại hàm liên tục

˜f : X → R sao cho ˜f |M = f .

Câu hỏi đặt ra là, kết luận của Định lý Uryshon Tietze có còn đúng

cho ánh xạ liên tục đều hay không, tức nếu f : M → R là hàm liên tục

đều từ tập con đóng M của không gian metric X, thì liệu có tồn tại hàm

liên tục đều ˜f : X → R sao cho ˜f |M = f hay không?

Thật ra ta còn có thể đưa ra nhiều dẫn chứng khác nữa.

Trong tôpô vẫn còn nhiều câu hỏi cần làm sáng tỏ. Ta biết rằng, hợp

một số bất kỳ hoặc giao một số hữu hạn các tập mở là mở, giao một số bất

kỳ hoặc hợp một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng. Câu hỏi đặt ra, liệu

giao một số bất kỳ các tập mở có còn là tập mở, hợp một số bất kỳ các tập

đóng có còn là tập đóng? Câu trả lời của chúng ta là phủ định. Tiếp theo,

3

giao hai tôpô trên một tập X là một tôpô, vậy liệu hợp hai tôpô trên một

tập X có là một tôpô trên X hay không? Ta lại biết, mọi T1−không gian

là T0−không gian, nhưng T0−không gian có là T1−không gian hay không?

Câu hỏi tương tự đối với T1− và T2−không gian, T2− và T3−không gian,

T3− và T4−không gian, . . . Lại nữa, ta biết rằng một tập trong không gian

Euclid hữu hạn chiều là compac khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn, nhưng

đối với một số không gian khác, chẳng hạn như không gian `

∞ (X), điều

này có còn đúng nữa hay không? Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại tập, tuy đóng

và bị chặn trong không gian `

∞ (X), nhưng không compac, v.v . . .

Còn nhiều dẫn chứng khác nữa sẽ liên quan đến các phản thí dụ được

chúng tôi tìm hiểu và giới thiệu trong Giải tích và Tôpô. Theo chúng tôi

hiểu, phản thí dụ trong Toán học là các ví dụ mang tính phản biện. Rõ

ràng rằng, các phản thí dụ có tác dụng khắc sâu sắc kiến thức, bồi dưỡng

tính tích cực, năng động và chủ động, đồng thời phát huy tư duy độc lập,

sự linh hoạt sáng tạo trong khi học Toán. Việc lật lại vấn đề thông qua

các phản thí dụ đối với các định lý và các kết luận xuất hiện trong Toán

học không chỉ giúp ta khắc sâu kiến thức, mà nhiều khi đó là cơ sở để ta

phát hiện ra chân lý mới. Với lý do đó, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên

cứu cho Luận văn của mình là: "Một số phản thí dụ trong Giải tích

và Tôpô ".

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm và xây dựng một số phản thí dụ trong Giải tích và Tôpô nhằm

làm sâu sắc thêm và làm sáng tỏ một số một vài kiến thức về Giải tích và

Tôpô.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Xuất phát từ quan điểm "hoài nghi tích cực", nghiên cứu các bài toán

liên quan đến kết quả đã biết trong Giải tích thực và Tôpô đại cương thông

qua các phản thí dụ.

4

4. Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm các tài liệu liên quan, tổng hợp các vấn đề theo chủ đề đã

chọn, sắp xếp theo trình tự nhất định trên cơ sở chương trình đã được học

trong khoa Toán của trường đại học, trong đó có việc xây dựng thêm các

phản thí dụ mới.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Thông qua việc tập hợp và xây dựng các phản thí dụ trong Giải tích

và Tôpô, sẽ làm sâu sắc thêm các kiến thức về Giải tích Toán học.

6. Cấu trúc và cách tổ chức của luận văn

Luận văn sẽ có hai chương như được phản ánh trong nội dung phần mở

đầu. Chương 1: Một số phản thí dụ trong Giải tích và Chương 2: Một số

phản thí dụ trong Tôpô.

Mở đầu

Chương 1. Một số phản thí dụ trong giải tích

1.1. Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số.

1.2. Một số phản thí dụ về tính liên tục của hàm số.

1.3. Một số phản thí dụ về tính khả vi của hàm số.

1.4. Một số phản thí dụ về tính khả tích của hàm số và độ đo Lebesgue.

Chương 2. Một số phản thí dụ trong tôpô

2.1. Các phản thí dụ trong tôpô tập hợp.

2.2. Các phản thí dụ trong các tiên đề tách.

2.3. Các phản thí dụ về ánh xạ liên tục.

2.4. Các phản thí dụ về tính liên tục đều của hàm số.

Kết luận

Tài liệu tham khảo

5

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH

1.1. Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số

Phản thí dụ 1.1 Dãy số bị chặn nhưng không hội tụ.

1. Đặt vấn đề. Cho dãy số {xn} ⊂ R.

Dãy số {xn} được gọi là hội tụ đến x ∈ R nếu với mọi ε > 0 cho trước,

tồn tại n0 ∈ N sao cho |xn − x| < ε ∀n ≥ n0.

Dãy số {xn} được gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho |xn| ≤ M,

∀n ≥ 1.

Dễ dàng chứng minh được rằng: Nếu {xn} hội tụ đến x ∈ R thì {xn}

bị chặn.

Thật vậy, vì xn → x nên |xn| → |x|. Chọn ε = 1, ta có số tự nhiên n0

thỏa mãn ||xn| − |x|| < 1, hay|xn| < |x| + 1, ∀n ≥ n0.

Đặt M = max {|x| + 1; |xn| : 1 ≤ n < n0}, ta được |xn| ≤ M, ∀n ≥ 1.

Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có đúng không? Tức là nếu dãy số {xn}

bị chặn có suy ra nó hội tụ không?

2. Mệnh đề 1.1 Tồn tại dãy số bị chặn nhưng không hội tụ trong R.

Phản thí dụ 1.2 Dãy số {un} hội tụ về 0 nhưng chuỗi số P

∞

n=1

un phân

kì.

1. Đặt vấn đề. Cho dãy số {un}

∞

n=1. Ta lập dãy số mới

6

S1 = u1

S2 = u1 + u2

..................

Sn =

P

∞

k=1

uk

..................

Thiết lập dãy tổng riêng {Sn}

∞

n=1 với Sn =

P

n

k=1

uk và gọi tổng hình thức

P

∞

n=1

un là một chuỗi số.

Nếu lim

n→∞

Sn tồn tại và {Sn} hội tụ đến S thì ta nói chuỗi số P

∞

n=1

un hội

tụ và định nghĩa P

∞

n=1

un = S.

Nếu dãy {Sn} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số P

∞

n=1

un phân

kì.

Ta có thể chứng minh được: Nếu chuỗi P

∞

n=1

un hội tụ thì dãy số un hội tụ

đến 0. Thật vậy, giả sử P

∞

n=1

un = S. Khi đó un = Sn − Sn−1 → S − S = 0

khi n → ∞.

Câu hỏi: Điều ngược lại có đúng không? Tức là nếu dãy số un → 0 có

suy ra chuỗi số P

∞

n=1

un hội tụ không?

2. Mệnh đề 1.2 Tồn tại dãy số {un} hội tụ về 0 nhưng chuỗi số P

∞

n=1

un

phân kì.

Phản thí dụ 1.3 Chuỗi số hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.

1. Đặt vấn đề. Chuỗi số P

∞

n=1

un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

số P

∞

n=1

|un| hội tụ.

Ta có thể chứng minh được: Chuỗi số P

∞

n=1

un hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.