Môđun và vành giả qgp - nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ HẠNH VÂN

MÔĐUN VÀ VÀNH GIẢ QGP – NỘI XẠ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 15 tháng

12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong một vài năm gần đây, một số tác giả đã quan tâm

nghiên cứu các trường hợp tổng quát của lớp môđun p-nội xạ, gp￾nội xạ (xem [10, 13, 14]). Theo các tác giả, một môđun N được

gọi là giả M-p-nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, bất kỳ

đơn cấu α ∶ A → N mở rộng được đến một đồng cấu M → N. Một

môđun M được gọi là giả qp-nội xạ nếu M là giả M-p-nội xạ.

Một R-môđun phải N được gọi là giả M-gp-nội xạ nếu với bất

kỳ đồng cấu 0 ≠ α ∈ End(M), tồn tại n ∈ N sao cho α

n ≠ 0 và mỗi

đơn cấu từ α

n

(M) → N mở rộng tới một đồng cấu từ M → N.

Một môđun M được gọi là giả qgp-nội xạ nếu M là giả M-gp-nội

xạ. Trong luận văn này, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu nhiều hơn về

các tính chất của môđun giả gp-nội xạ, đặc trưng của các môđun

giả p-nội xạ và các vành tự đồng cấu của giả P-nội xạ, GP-nội

xạ. Lớp môđun nội xạ và các trường hợp tổng quát của nó là một

trong những công cụ hữu ích để nghiên cứu các lớp vành: vành

tựa Frobenius, vành chính quy von Neumann, V -vành,...

Có thể nói lý thuyết về môđun và vành giả qgp-nội xạ và

các đặc trưng của nó đang là đề tài thu hút nhiều tác giả ở

trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Vì vậy tôi chọn đề tài:

"Môđun và vành giả qgp-nội xạ" để làm luận văn tốt nghiệp

của mình.

Luận văn gồm 3 chương:

2

ˆ Chương 1. Những kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lại một số kiến

thức cơ bản của môđun và một số kết quả liên quan làm cơ

cở lý thuyết cho chương 2 và chương 3.

ˆ Chương 2.Môđun và vành giả qp-nội xạ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định

nghĩa và tính chất của môđun và vành giả qp-nội xạ, mối

quan hệ giữa vành giả P-nội xạ phải và môđun giả qp￾nội xạ và tác động của nó trên vành tự đồng cấu. Cho

S = End(M). Nếu S là một vành giả P-nội xạ phải thì M

là giả qp-nội xạ. Ngược lại, nếu M là một môđun giả qp-nội

xạ và M sinh Ker(s), với mọi s ∈ End(M) nào đó thì S là

một vành giả P-nội xạ phải.

ˆ Chương 3. Môđun và vành giả qgp-nội xạ

Chúng tôi trình bày một số định nghĩa và tính chất

của môđun và vành giả qgp-nội xạ. Mối liên hệ giữa vành

giả GP-nội xạ phải và môđun giả qgp-nội xạ và tác động

của nó trên vành tự đồng cấu, các iđêan cực đại cũng đã

được nghiên cứu. Nếu S là một vành giả GP-nội xạ phải

thì M là giả qgp-nội xạ. Ngược lại, nếu M là giả qgp-nội

xạ và tự sinh thì S là một vành giả GP-nội xạ phải.

3

2. Mục đích nghiên cứu

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4. Phương pháp nghiên cứu

5. Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1. Kiến thức cơ bản

1.1. Môđun và môđun nội xạ

1.2. Một số khái niệm và kết quả khác

Chương 2. Môđun và vành giả qp-nội xạ

2.1. Định nghĩa, ví dụ và một số tính chất khác

2.1.1. Định nghĩa và ví dụ

2.1.2. Một số tính chất khác

2.2. Môđun giả qp-nội xạ trên vành tự đồng cấu

Chương 3. Môđun và vành giả qgp-nội xạ

3.1. Định nghĩa, ví dụ và một số tính chất khác

3.1.1. Định nghĩa và ví dụ

3.1.2. Một số tính chất

3.2. Môđun giả qgp-nội xạ trên vành tự đồng cấu

và các iđêan cực đại

Kết luận

Tài liệu tham khảo

4

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn này, vành R luôn được giả thiết là

vành kết hợp có đơn vị 1 ≠ 0.

1.1 MÔĐUN VÀ MÔĐUN NỘI XẠ

Định nghĩa 1.1.1. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M ≠ 0

và mọi A ≤ M [A = 0 hay A = M], nghĩa là M ≠ 0 và M chỉ có

hai môđun con là 0 và M.

(2) Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của

môđun M nếu A ≠ 0 và ∀B ≤ M [B < A ⇒ B = 0].

(3) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực

đại của môđun M nếu A ≠ M và ∀B ≤ M [A < B ⇒ B = M].

Định nghĩa 1.1.2. (1) Cho (Tα)α∈A là một tập các môđun con

đơn của M. Nếu M = ⊕

A

Tα là tổng trực tiếp các môđun con đơn

này thì M được gọi là một phân tích nửa đơn.

(2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân

tích nửa đơn.

(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR)

nửa đơn.

Định nghĩa 1.1.3. Cho A ≤ M và f ∶ A → N là đồng cấu. Đồng

cấu f mở rộng đến đồng cấu từ M vào N nếu tồn tại đồng cấu

f ∶ M → N sao cho f∣A = f.

Định nghĩa 1.1.4. Cho QR là một môđun. Lúc đó Q được gọi

là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f ∶ K → M, với mọi