Về môđun và vành s- nội xạ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ DIỄM CHI

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1:...........................................

Phản biện 2:...........................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng

vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài.

Lý thuyết vành và môđun là một trong những lý thuyết toán học đã và

đang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

Vào những năm 1960, 1970 của thế kỷ trước, tầm quan trọng của môđun

nội xạ trong lý thuyết môđun nói riêng và trong đại số nói chung được nhiều

nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Một trong những nghiên cứu của lý

thuyết này là việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ”. Lý thuyết môđun s-nội xạ

ra đời và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành s-nội xạ.

Trước tiên, chúng tôi xin đề cập đến môđun nội xạ. Khái niệm môđun

nội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940. Theo đó, một môđun M được gọi là

N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M

đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M. Môđun M được gọi là nội

xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N. Không chỉ đưa ra khái niệm

môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi

nào thì một R-môđun M là nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn

Baer" và được phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mỗi iđêan

phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng

cấu g : RR → MR.

Từ khi tiêu chuẩn Baer ra đời, môđun nội xạ được mở rộng theo hai

hướng. Một là mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc. Hai là mở rộng

theo tiêu chuẩn Baer.

Trong mở rộng thứ nhất đó, nhiều người đã nghĩ đến việc mở rộng đồng

cấu R-môđun từ môđun con đặc biệt hơn là môđun con của môđun con suy

biến Z(N) của NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào MR.

2

Vấn đề này được nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu và tìm hiểu.

Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đã đưa ra khái niệm về môđun s-N-nội xạ.

Trong đó khái niệm s-N-nội xạ được định nghĩa: "Một R-môđun phải M

được gọi là s-N-nội xạ nếu mỗi đồng cấu R-môđun f : K → M, với mỗi

đơn cấu ι : K → N tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong

đó K là môđun con của môđun con suy biến của R-môđun N. Song song

với đó ông cũng đã đưa ra các khái niệm về s-nội xạ và s-nội xạ mạnh.

Đặc biệt hơn là ông đã đưa ra một số tính chất về s-nội xạ của các môđun

trên vành SI, vành GV, vành PF,...

Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun s-nội xạ, vành

s-nội xạ và được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn GS. TS. Lê Văn

Thuyết, tôi mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun và vành S- nội xạ" để

nghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng.

2. Mục đích nghiên cứu.

Tìm hiểu và nghiên cứu kỹ các tài liệu có nguồn gốc khác nhau để lĩnh

hội các kiến thức liên quan về môđun và vành s-nội xạ, chứng minh cụ thể

các tính chất của môđun s-nội xạ, làm rõ thông qua một số ví dụ.

Hi vọng luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một số học

viên cao học, cho các sinh viên toán các năm cuối.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-nội xạ.

Luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, các tính chất quan trọng

của môđun và vành s-nội xạ và đưa ra các ví dụ minh họa.

4. Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là thu thập các bài báo khoa học, các

3

sách của những tác giả có liên quan đến môđun và vành s-nội xạ, đồng thời

tham gia trao đổi các kết quả đang nghiên cứu với các bạn học viên cùng

nhóm, với thầy hướng dẫn và với các bạn khác.

5. Bố cục đề tài.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia

thành hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun con

cốt yếu, môđun nội xạ,...và một số vành liên quan: vành Nơte, vành nửa

hoàn chỉnh, bất biến Morita, vành giả Frobenius,...

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Chương này được chia làm

ba phần. Phần thứ nhất trình bày định nghĩa, các ví dụ về môđun s-nội

xạ. Phần thứ hai trình bày các tính chất của môđun s-nội xạ. Phần thứ ba

trình bày về tính chất s-nội xạ của môđun trên các vành đặc biệt.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun,

môđun nội xạ, môđun và vành Nơte, môđun con suy biến và không suy

biến và một số vành liên quan.

Ta quy ước vành được cho là kết hợp có đơn vị, khác 0 và mọi R-môđun

phải hay trái đều là unita. Ta cũng quy ước là các R-môđun là R-môđun

phải. Khi nào M là R-môđun trái thì sẽ đề cập thêm.

1.1. Các kiến thức cơ bản về vành và môđun

Sau đây là một số định quan trọng của đồng cấu môđun.

Định lý 1.1.1. Mỗi đồng cấu của các môđun phải

α : AR → BR

đều có thể phân tích được α = α

0

ν trong đó đồng cấu

ν : A → A/Ker (α)

là toàn cấu chính tắc, còn α

0

là đơn cấu xác định bởi:

α

0

: A/Ker(α) 3 a + Ker (α) 7→ α (a) ∈ B.

Đơn cấu α

0

là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu.

Hệ quả 1.1.2. Cho α : AR → BR là đồng cấu R-môđun. Lúc đó:

A/Ker (α) ' Im (α).

Định lý 1.1.3. Nếu B ≤ AR và C ≤ AR, thì:

(B + C) /C ' B/B ∩ C.

Định lý 1.1.4 Nếu C ≤ B ≤ AR thì:

A/B ' (A/C) / (B/C).

5

Cho MR và N ≤ M. N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn

tại một môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P. Lúc đó ta nói P là

môđun con phụ của N trong M. Từ định nghĩa ta suy ra:

N là hạng tử trực tiếp của M

⇔ ∃P ≤ M

M = N + P và N ∩ P = 0

Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e

2 = e. Hai

phần tử lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao nếu ef = fe = 0.

Tập {e1, e2, ...en} ⊂ R gọi là tập đầy đủ các lũy đẳng trực giao từng đôi

một nếu

eiej = 0 (i, j = 1, 2, ..., n, i 6= j)

và

1 = e1 + e2 + ... + en

Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M, ký hiệu K≤eM,

trong trường hợp với mọi L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0.

Đơn cấu: f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im (f) ≤eM. Môđun

con A của B là cốt yếu nếu và chỉ nếu phép nhúng A ,→ B là đơn cấu cốt

yếu.

Bổ đề 1.1.7. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ

nếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K.

Cho N là một môđun con của M. Nếu N0 ≤ M là cực đại với tính

chất N0 ∩ N = 0 thì ta nói N0

là một M-phần bù của N. Theo bổ đề

Zorn ta có thể thấy nếu N ≤ M, thì tập

{K ≤ M| K ∩ N = 0}

chứa một phần tử cực đại N0

.

6

Một môđun con K được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con

H của M sao cho K≤eH thì suy ra H = K.

Cho A và A0

là các môđun con của MR. Khi đó A0

gọi là M-phần bù

cộng tính (hay còn gọi tắt là M-phần phụ) của A, nếu

(*) A + A0 = M

(*) A0

là môđun con cực tiểu thỏa mãn A + A0 = M, nghĩa là,

với mọi B ≤ M [A + B = M và B ≤ A0 ⇒ B = A0

].

Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con

là 0 và M. Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan là 0

và R.

Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn, nghĩa là:

M = ⊕

A

Tα (∗)

với (Tα)α∈A

là một tập các môđun con của M thì (*) được gọi là một phân

tích nửa đơn của M, và khi đó môđun M được gọi là nửa đơn. Vành R

được gọi là vành nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửa đơn.

Cho MR và X ⊆ M. Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu

rR (X) và được xác định như sau:

rR (X) = {r ∈ R/xr = 0, x ∈ X} .

Cho A ⊆ R. Linh hóa tử trái của A trong M là:

lM (A) = {r ∈ M/xa = 0, a ∈ A} .

Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR (x) hay lM (a). Với những

linh hóa tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu

R trong lR, rR mà chỉ viết l, r.

Đế phải của môđun MR được ký hiệu là soc (MR), nó là tổng các