Luận văn: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M doc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG…………………..

LUẬN VĂN

Một số vấn đề về modun

extending và modun lifting

trong phạm trù M

1

MỤC LỤC

Trang

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương I. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1 Phạm trù σ[M] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow)

và chiều hollow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Bù giao và bù cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.6 Căn và đế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chương II. Một số tính chất của môđun extending

và môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn

sinh trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting . . . . . . . . . . 28

3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M]

là extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mọi môđun hữu hạn sinh trong

phạm trù σ [M] là lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2

MỞ ĐẦU

Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổng

quát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục

năm trở lại đây. Cùng với môđun extending, người ta còn nghiên cứu

môđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất

có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh. Tuy nhiên trong khi mọi môđun

M đều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại. Xét

một khía cạnh khác, đối với môđun con N của một môđun M, bù giao

của N trong M luôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồn

tại bù cộng của N trong M. Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đối

xứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting.

Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học

ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các tính chất extending

và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số

lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin. Quan tâm đến lớp

các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về

môđun extending và môđun lifting trong phạm trù σ(M)".

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương I. Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sở

liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất...

Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun

extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của môđun extend￾ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối

ngẫu tương ứng.

Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong

phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting.

3

Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi

môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và khảo sát

môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M] là lifting.

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học

cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời

gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không

thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo

của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn

thiện hơn.

Quy Nhơn, 3-2008