Về môđun và vành s-cs

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HOÀNG OANH

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S-CS

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1:...........................................

Phản biện 2:...........................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer nghiên cứu đầu tiên vào năm

1940. Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của nó

đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn

cấu f : PR → QR, với mọi PR, QR, mỗi đồng cấu γ : PR → MR tồn tại

R-đồng cấu γ : QR → MR sao cho γf = γ.

0

/P

f

/

γ



Q

~ γ

M

Đơn cấu µ : M → N được gọi là bao nội xạ đối với môđun M (ký

hiệu là E(M)) nếu N là nội xạ và µ là đơn cấu cốt yếu. Nếu MR nội xạ

thì với mọi môđun con A của M ta có A≤eE(A)≤⊕E(M) = M. Từ tính

chất này người ta đưa ra khái niệm môđun CS hay còn gọi là môđun mở

rộng.

Môđun M được gọi là CS nếu mọi môđun con của M cốt yếu trong

một hạng tử trực tiếp của M. Rõ ràng, môđun nội xạ là CS. Các kết quả

về môđun CS được nghiên cứu và viết đầy đủ trong quyển sách “Extending

modules” (N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer). Trong

định nghĩa môđun CS, nếu ta chỉ lấy các môđun con suy biến của M thay

vì mọi môđun con của M thì môđun mới này được gọi là s-CS.

Được sự gợi ý của thầy giáo, GS. TS. Lê Văn Thuyết, tôi chọn đề tài:

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S-CS làm đề tài luận văn của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

2

Mục tiêu của luận văn là tổng quan các kiến thức liên quan đến môđun

và vành s-CS. Trong quá trình tổng quan, chúng tôi sẽ chứng minh cụ thể

các tính chất của lớp môđun và vành này, làm rõ thông qua một số ví dụ.

Là một tổng quan nên nó có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một số

học viên cao học, cho các sinh viên toán.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-CS.

Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, và

các tính chất của lớp môđun và vành s-CS.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc hiểu các vấn đề liên quan đến môđun nội xạ, môđun CS.

- Thu thập nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến môđun và

vành s-CS.

- Tổng hợp, phân tích, giải quyết các vấn đề nảy sinh.

- Trao đổi, thuyết trình tại xêmina của nhóm.

5. Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun con

cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và không suy biến, môđun con

đóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một số vành liên quan.

Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ, các tính chất của môđun và

vành s-CS.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản

về môđun, môđun con cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và không

suy biến, môđun con đóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một

số vành liên quan.

Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn là vành kết hợp có

đơn vị 1 6= 0, các R-môđun đều unita và khi nói đến môđun ta hiểu là

môđun phải.

1.1. Một số khái niệm cơ bản về môđun

Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con

là 0 và M. Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan (hai

phía) là 0 và R.

Môđun M được gọi là nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của các môđun

con đơn. Vành R được gọi là nửa đơn phải (t.ư., trái) nếu RR (t.ư., RR)

nửa đơn.

Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M

nếu A 6= 0 và với mọi môđun con B của M mà B < A thì B = 0. Môđun

con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun M nếu A 6= M

và với mọi môđun con B của M mà A < B thì B = M.

Mệnh đề 1.1.1. Môđun MR đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và với mọi

0 6= m ∈ M, M = mR.

Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu α từ A vào B là ánh xạ

4

α : A → B thỏa mãn:

∀a1, a2 ∈ A, ∀r1, r2 ∈ R, α(a1r1 + a2r2) = α(a1)r1 + α(a2)r2.

Ký hiệu: α : AR → BR.

Đồng cấu α : AR → BR được gọi là đơn cấu (t.ư., toàn cấu, đẳng

cấu) nếu nó đơn ánh (t.ư., toán ánh, song ánh).

Tính chất sau nêu lên sự bảo toàn các môđun con qua các đồng cấu.

Định lý 1.1.2. Cho α : AR → BR, lúc đó:

(1) Nếu U ≤ A thì α(U) ≤ B.

(2) Nếu V ≤ B thì α

−1

(V ) ≤ A.

Sau đây là định lý cơ bản về đồng cấu môđun.

Định lý 1.1.3. Mỗi đồng cấu của các môđun phải α : A → B đều

có thể phân tích được α = α

0

ν, trong đó đồng cấu ν : A → A/Ker(α)

là toàn cấu chính tắc, còn α

0

: A/Ker(α) → B là đơn cấu xác định

bởi α

0

(a + Ker(α)) = α(a).

Đơn cấu α

0

là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu.

Ta thu được hệ quả sau từ định lý cơ bản về đồng cấu môđun.

Hệ quả 1.1.4. Cho α : AR → BR là đồng cấu R-môđun. Lúc đó:

A/Ker(α) ∼= Im(α).

Định lý 1.1.5. Nếu B ≤ AR và C ≤ AR thì:

(B + C)/C ∼= B/(B ∩ C).

Sau đây là đặc trưng của hạng tử trực tiếp của RR, RR và sự phân

tích của vành. Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của vành R nếu

e

2 = e.

Mệnh đề 1.1.6. Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp

5

của RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.

Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng là một lũy đẳng và

RR = eR ⊕ (1 − e)R.

Cho N là một môđun con của M. Nếu N0 ≤ M là cực đại với tính

chất N ∩ N0 = 0, ta nói N0

là một M-phần bù của N.

Cho A và A0

là các môđun con của MR. Khi đó A0

được gọi là M-phần

phụ của A nếu A0

là môđun con cực tiểu với tính chất A + A0 = M.

1.2. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

Một môđun con K của M là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mọi

môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0. Khi đó chúng ta cũng gọi

M là mở rộng cốt yếu của K và được ký hiệu là K ≤e M. Một môđun

con K của M là đối cốt yếu hoặc bé trong M nếu với mọi môđun con

L ≤ M, K + L = M suy ra L = M và được ký hiệu là K  M.

Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f) ≤e M. Toàn

cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)  M.

Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con cốt yếu và

môđun con đối cốt yếu.

Mệnh đề 1.2.1. Cho MR, K ≤ N ≤ M và H ≤ M. Khi đó:

(1) K ≤e M ⇔ K ≤e N và N ≤e M.

(2) H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M và K ≤e M.

Mệnh đề 1.2.2. Cho MR, K ≤ N ≤ M và H ≤ M. Khi đó:

(1) N  M ⇔ K  M và N/K  M/K.

(2) H + K  M ⇔ H  M và K  M.