Môđun và vành c2.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

MÔĐUN VÀ VÀNH C2

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu.

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết.

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

LỜI MỞ ĐẦU

Ta đã biết các giả thuyết về vành F GF và vành CF; đó là

một vành F GF có phải là vành QF hay không và một vành CF

phải có phải là vành Artin phải hay không. Liên quan đến giả

thuyết CF, năm 1989, Faith và Menal đã đưa ra một phản ví dụ

chứng tỏ một vành CF phải không là Artin phải. Tuy nhiên giả

thuyết F GF đến bây giờ vẫn chưa trả lời được. Năm 1999, Li và

Chen đã trả lời được giả thuyết F GF trong trường hợp vành đã

cho là vành C2 mạnh. Có thể nói lớp vành, môđun C2 và trả lời

giả thuyết F GF là một trong những đề tài thu hút nhiều tác giả

trong và ngoài nước quan tâm. Hơn nữa các trường hợp tổng quát

và đối ngẫu của nó cũng cần được nghiên cứu. Ngoài ra, một số áp

dụng của chúng vào các lớp vành cổ điển như vành Artin, Nơte,

vành nửa đơn . . . cũng đã được xét đến. Chính vì vậy và cùng

với sự định hướng của TS. Trương Công Quỳnh tôi đã chọn đề

tài: “MÔĐUN VÀ VÀNH C2” làm đề tài luận văn thạc sĩ của

mình.

Thông qua luận văn chúng tôi sẽ nêu ra các khái niệm, tính

chất, các định lý về môđun và vành C2 cũng như các vành liên

quan. Qua đó làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về

môđun và vành C2, n − C2, vành C2 mạnh.

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng

tôi sẽ đưa ra một số khái niệm cơ bản về lý thuyết môđun,

vành và đưa ra một số kết quả đã biết phục vụ cho chương

2 và chương 3 của luận văn.

• Chương 2. Môđun và vành với điều kiện C2. Trong

2

chương này chúng tôi đưa ra định nghĩa, ví dụ tiêu biểu,

các tính chất đặc trưng của môđun và vành C2. Đồng thời

cũng đưa ra định nghĩa, tính chất của môđun GC2 và các

vành tự đồng cấu của nó.

• Chương 3. Môđun C2 mạnh. Trong chương này chúng tôi

đưa ra định nghĩa và các tính chất đặc trưng của môđun và

vành C2 mạnh.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn

chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không thể tránh

khỏi những sai sót trong quá trình hoàn thiện đề tài. Rất mong

được sự nhận xét, đánh giá của quí thầy cô và các bạn để đề tài

được hoàn thiện hơn.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

Trong toàn bộ luận văn này, ta quy ước R là một vành có đơn

vị khác 0 và được ký hiệu là 1.

Trước hết ta nhắc lại khái niệm về môđun:

Định nghĩa 1.1.1.

Ví dụ 1.1.2.

(1) Không gian vectơ trên một trường R chính là một môđun

trên một trường R.

(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như là một Z-môđun.

Ngược lại, mọi Z-môđun đều thu được từ nhóm aben cộng.

(3) Vành R có thể được xem như là môđun phải (trái) trên

chính nó. Nhờ trường hợp này người ta có thể nghiên cứu

nhiều tính chất của vành thông qua môđun trên vành đó.

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị. Lúc đó vành R[x] các đa

thức ẩn x là hệ tử trong R. Xét R[x] với phép cộng thông

thường cùng với phép nhân môđun xác định như sau:

r(ao + a1x + · · · + anx

n

) = rao + ra1x + · · · + ranx

n

4

Với mọi r ∈ R, mọi ao, · · · , an ∈ R. Lúc đó có thể dễ dàng

kiểm chứng được R[x] là một R-môđun.

Định nghĩa 1.1.3. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M

được gọi là môđun con của M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR),

nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn

chế trên A.

Định nghĩa 1.1.4.

Định nghĩa 1.1.5. Cho MR và N ≤ M. N được gọi là hạng

tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho

M = N ⊕ P. Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của N trong M.

Từ đó ta suy ra:

N là hạng tử trực tiếp của M ⇐⇒ ∃P ≤ M[M = N + P và

N ∩ P = 0].

Định nghĩa 1.1.6. Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu

α từ A vào B là ánh xạ α : A −→ B thỏa mãn:

Với mọi a1, a2 ∈ A, mọi r1, r2 ∈ R[α(a1r1 + a2r2)] = α(a1)r1 +

α(a2)r2.

lúc đó ta viết α : AR −→ BR.

Định nghĩa 1.1.7. Đồng cấu α : AR −→ BR được gọi là đơn cấu

nếu nó là đơn ánh, được gọi là toàn cấu nến nó là toàn ánh, và

được gọi là đẳng cấu nếu α là song ánh, nghĩa là nó toàn cấu và

đơn cấu.

Ví dụ 1.1.8.

(1) Đồng cấu không từ AR vào BR đó là 0 : a −→ 0 ∈ B.

5

(2) Phép nhúng môđun con A vào BR đó là:

i : A −→ B

a 7−→ a

Định nghĩa 1.1.9. Cho môđun MR

(1) Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại

hệ sinh gồm hữu hạn phần tử.

(2) Môđun M được gọi là cyclic nếu nó được sinh bởi một phần

tử.

Ví dụ 1.1.10.

(1) Mỗi môđun M có hệ sinh tầm thường chính là M.

(2) Cho R là một vành. Khi đó 1 là cơ sở của RR hay RR.

Định nghĩa 1.1.11. Một môđun MR được gọi là phẳng nếu cho

mỗi đơn cấu f : RA −→ RB, thì 1M ⊗ f : M ⊗ RA −→ M ⊗ RB

cũng là đơn cấu (của các nhóm aben).

Mệnh đề 1.1.12. Nếu M ∼= M0

và M phẳng, thì M0

cũng là

phẳng.

Định nghĩa 1.1.13. Một vành R được gọi là vành chính quy (von

Neumann) nếu cho mỗi phần tử r ∈ R thì tồn tại r

0 ∈ R sao cho

r = rr0

r.

Định lý 1.1.14. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R: