Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Lý thuyết phép nhân và phép chia các đa thức hay, chi tiết 1
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức
A. Lý thuyết.
Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức
A đều chia hết cho B) ta làm như sau:
- Chia lần lượt từng hạng tử của đa thức A cho đơn thức B;
- Cộng các kết quả tìm được lại với nhau.
Chú ý: Trong thực hành ta có thể nhẩm và bỏ bớt một số phép tính trung gian.
Ví dụ 1: (15x2y + 17xy3 – 6xy ) : 3xy
= (15x2y : 3xy) + (17xy3
: 3xy) – (6xy : 3xy)
17 2
5x y 2
3
.
Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường phân tích A
trước để rút gọn cho nhanh.
Ví dụ 2: (8x3 – 27y3
) : (2x – 3y)
= (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2
) : (2x – 3y)
= 4x2 + 6xy + 9y2
.
B. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) (15.311 + 4.274 + 314) : 97
;
b) (2a3 + 3a4 – 10a) : a;
c) [2(x + y)4
– 5(x + y)3
] : 3(x + y)2
.
Lời giải:
a) (15.311 + 4.274 + 314) : 97
= (5.3.311 + 4.274 + 314) : 314
= (5.312 : 314) + (4.274
: 314) + (314 : 314)
= (5 : 32
) + (4.(33
)
4
: 314) + (314 : 314)
5 4 1
9 9
= 2
b) (2a3 + 3a4 – 10a) : a
= (2a3
: a) + (3a4
: a) – (10a : a)
= 2a2 + 3a3 – 10
c) [2(x + y)4
– 5(x + y)3
] : 3(x + y)2
= [2(x + y)4
: 3(x + y)2
] – [5(x + y)3
: 3(x + y)2
]
2 5 2
(x y) (x y)
3 3
.
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = (6a3b + a2b) : 2ab tại a = 4.
b) N = [(2x2y)2 + 3x4y
3 – 6x3y
2
] : (xy)2
tại x = y = 2.
Lời giải:
a) M = (6a3b + a2b) : 2ab
M = (6a3b : 2ab) + (a2b : 2ab)
2 1 M 3a a
2
Thay a = 4 vào M ta được:
2 1 M 3.4 .4 50
2
.
b) N = [(2x2y)2 + 3x4y
3 – 6x3y
2
] : (xy)2
N = (2x4y
2 + 3x4y
3 – 6x3y
2
) : x2y
2
N = (2x4y
2
: x2y
2
) + (3x4y
3
: x2y
2
) – (6x3y
2
: x2y
2
)
N = 2x2 + 3x2y – 6x
Thay x = y = 2 vào N, ta được: N = 2.22 + 3.22
.2 – 6.2 = 20.
Bài 3: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:
a) A = 5x3 – 4x2 + x và B = 2xn
;
b) A = –11a18 b
2n - 3 + 15a16b
7 và B = 4a3n + 1b
6
.
Lời giải:
a) Bậc thấp nhất của biến x trong đa thức A là 1 nên n ≤ 1.
Vì n là số tự nhiên nên n = 0 hoặc n = 1.
b) Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu bậc của mỗi biến trong B không lớn hơn
bậc thấp nhất của biến đó trong A.
Bậc thấp nhất của biến a trong đa thức A là 16 nên 3n + 1 ≤ 16 (1)
Vì bậc thấp nhất của biến b trong đa thức A luôn lớn hơn hoặc bằng bậc của biến b
trong đơn thức B nên 2n – 3 ≥ 6 (2)
Từ (1) suy ra n ≤ 5.
Từ (2) suy ra
9
n
2
.
Do đó
9
n 5
2
Vì n là số tự nhiên nên n = 5.
Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
A. Lý thuyết.
1. Phép chia hết:
- Phép chia hết là phép chia có đa thức dư bằng 0.
Quy tắc chia:
+ Sắp xếp các đa thức theo thứ tự giảm dần của biến.
+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức
chia ta được thương 1.
+ Nhân thương 1 với đa thức chia và lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.
+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử cao nhất đa thức
chia ta được thương 2.
+ Tiếp tục lặp lại các bước trên đến khi nhận được hiệu bằng 0.
Ví dụ 1: Làm tính chia: (x3 – x
2
– 5x – 3) : (x – 3).
Lời giải:
Ta có:
2
3 2
3 2 2
2
x 3
x 3x x 2x 1
2x 5x
x – x –
3
2x 6x
–
x 3
5x
x
3
3
0
Vậy (x3 – x
2 – 5x – 3) : (x – 3) = x2 + 2x + 1.
2. Phép chia có dư:
- Phép chia có dư là phép chia có đa thức dư khác 0.
Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ
hơn bậc của đa thức chia.
Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một
cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn
bậc của B (R được gọi là dư trong phép chia A cho B).
Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.
Ví dụ 2: Làm tính chia: (3x3 + 2x2 + 5x – 3) : (x2 + 1).
Lời giải:
Ta có:
2
2
3
3
2
2
2
3
3
x x 5 2 x 1
3x 3x 3x
2x 2x
2x
x – 3
2
2x 5
Vậy (3x3 + 2x2 + 5x – 3) : (x2 + 1) = 3x + 2 (dư 2x – 5)
Hay 3x3 + 2x2 + 5x – 3 = (x2 + 1).(3x + 2) + 2x – 5.
B. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Sắp xếp các đa thức theo thũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:
a) (5x2 + 15 – 3x3 – 9x) : (5 – 3x);
b) (x3 + 5x + x2 – 1) : (x – 1);
c) (12x – 3x2 + 2x3 – 13) : (x2 + 4).
Lời giải:
a) Sắp xếp đa thức bị chia và đa thức chia theo thứ tự giảm dần của biến ta được:
– 3x3 + 5x2 – 9x + 15 và – 3x + 5.
Thực hiện phép chia:
3 2 2
3 2 5 9 3x 5
3x 5x x 3
9x 15
9x 15
0
3x x x 15
Vậy (5x2 + 15 – 3x3 – 9x) : (5 – 3x) = x2 + 3.
b) Sắp xếp đa thức ta được: x3 + x2 + 5x – 1.
Thực hiện phép:
3 2 2
2
2
3 2 + x 1
x x x 2x 7
2x 5x 1
2x 2x
7x 1
7
x x
x 7
6
5x –1
Vậy x
3 + 5x + x2 – 1 = (x – 1)(x2 + 2x + 7) + 6.
c) Sắp xếp đa thức ta được: 2x3
– 3x2 + 12x – 13.
2
2
3
3
2
2
3
2 3 12 x 4
2x 8x 2x
3x 4x 1
2
x x
3
3x 1
4x
x 13
1