Luận Văn: Dạy học nêu và giải quyết vấn đề phương trinh, bất phương trình. doc

Më ®Çu

1. Lý do chän ®Ò tµi

D¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng To¸n häc (A. A. st«liar), trong ®ã ho¹t ®éng

chñ yÕu lµ ho¹t ®éng gi¶i To¸n. Bµi tËp To¸n mang nhiÒu chøc n¨ng: chøc

n¨ng gi¸o dôc, chøc n¨ng gi¸o dìng, chøc n¨ng ph¸t triÓn t duy vµ chøc n¨ng

kiÓm tra ®¸nh gi¸.

D¹y häc gi¶i bµi tËp To¸n ®îc xem lµ mét trong nh÷ng t×nh huèng ®iÓn

h×nh trong d¹y häc m«n To¸n. Khèi lîng bµi tËp To¸n ë trêng phæ th«ng lµ v«

cïng nhiÒu vµ hÕt søc phong phó, ®a d¹ng. Cã nh÷ng líp bµi to¸n cã thuËt gi¶i

nhng phÇn lín lµ nh÷ng bµi to¸n cha cã hoÆc kh«ng cã thuËt gi¶i. §øng tríc

nh÷ng bµi to¸n ®ã, gi¸o viªn gîi ý vµ híng dÉn häc sinh nh thÕ nµo ®Ó gióp hä

gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n – lµ mét vÊn ®Ò hÕt søc quan träng. Tuy nhiªn, ®©y

còng lµ vÊn ®Ò rÊt khã kh¨n bëi v× ®Ò ra ®îc nh÷ng gîi ý hîp lý, ®óng lóc,

®óng chç cßn lµ nghÖ thuËt s ph¹m cña chÝnh ngêi gi¸o viªn.

Trong ch¬ng tr×nh To¸n phæ th«ng cã rÊt nhiÒu bµi to¸n ph¬ng tr×nh, bÊt

ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè. Kh«ng nh÷ng

bµi to¸n ®îc ®Æt ra díi d¹ng gi¶i vµ biÖn luËn, mµ cßn rÊt nhiÒu d¹ng kh¸c

n÷a, ch¼ng h¹n nh: t×m ®iÒu kiÖn tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh cã

nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tríc; t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®-

¬ng víi nhau; v.v...

Thùc tiÔn s ph¹m cho thÊy, khi ®øng tríc nh÷ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng

tr×nh chøa tham sè, häc sinh thêng gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n vµ lóng tóng, ®ång

thêi còng nhiÒu khi m¾c ph¶i nh÷ng sai lÇm. RÊt nhiÒu gi¸o viªn cã kinh

nghiÖm ®· ®óc kÕt r»ng: “Nh÷ng bµi to¸n cã tham sè lu«n kh«ng dÔ ®èi víi

häc sinh vµ b¶n th©n häc sinh sau nhiÒu lÇn m¾c ph¶i sai lÇm th× thêng cã

t©m lý e ng¹i, thËm chÝ sî sÖt d¹ng To¸n nµy”. Gi¸o viªn nhiÒu ngêi cã t©m lý

l¶ng tr¸nh ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè trong qu¸ tr×nh d¹y,

bëi v× nã ®ßi hái nh÷ng lËp luËn t¬ng ®èi phøc t¹p ®èi víi häc sinh.

D¹y To¸n lµ d¹y kiÕn thøc, kü n¨ng, t duy vµ tÝnh c¸ch (NguyÔn C¶nh

Toµn); trong ®ã d¹y kü n¨ng cã mét vÞ trÝ ®Æc biÖt quan träng, bëi v× nÕu

kh«ng cã kü n¨ng th× sÏ kh«ng ph¸t triÓn ®îc t duy vµ còng kh«ng ®¸p øng ®-

îc nhu cÇu gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.

1

Kü n¨ng gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng

tr×nh cã chøa tham sè lµ cùc k× thiÕt thùc ®èi víi häc sinh THPT. NÕu cã kü

n¨ng nµy th× hiÖu qu¶ häc tËp m«n To¸n sÏ ®îc n©ng cao; ngîc l¹i, nÕu kü

n¨ng nµy bÞ h¹n chÕ th× häc sinh sÏ gÆp ph¶i rÊt nhiÒu khã kh¨n trong viÖc

chiÕm lÜnh vµ kiÕn t¹o tri thøc To¸n häc.

ViÖc gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng

tr×nh chøa tham sè chøa ®ùng nhiÒu tiÒm n¨ng ph¸t triÓn c¸c lo¹i h×nh t duy

to¸n häc. Th«ng qua nh÷ng bµi to¸n ®ã, häc sinh cã dÞp rÌn luyÖn nhiÒu ho¹t

®éng trÝ tuÖ, ngîc l¹i b»ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ, häc sinh cã kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt

nh÷ng vÊn ®Ò nµy (§ã lµ ho¹t ®éng t duy hµm nh»m ph¸t hiÖn vµ nghiªn cøu

nh÷ng sù t¬ng øng; ho¹t ®éng ng«n ng÷ - l«gic; ho¹t ®éng ph©n chia trêng

hîp; ho¹t ®éng nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn; v.v...).

Mét trong nh÷ng ®Æc ®iÓm cña ch¬ng tr×nh to¸n THPT lµ: §i s©u nghiªn

cøu nh÷ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè (Cßn ph¬ng tr×nh vµ

bÊt ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè th× ®· b¾t ®Çu ®îc häc tõ bËc THCS).

PhÇn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ®îc lÆp l¹i theo chiÒu híng n©ng cao vµ

®i s©u vµo nh÷ng vÊn ®Ò cã chøa tham sè. §èi víi häc sinh kh¸, giái th× c¸c

bµi to¸n chøa tham sè l¹i cµng cã vai trß quan träng h¬n n÷a.

Thùc tiÔn d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng ®ßi hái ph¶i cã nh÷ng c«ng

tr×nh nghiªn cøu nh»m ®a ra nh÷ng thñ ph¸p d¹y häc, nh÷ng híng dÉn s ph¹m

®Ó gióp ngêi gi¸o viªn gi¶ng d¹y tèt nh÷ng kiÕn thøc trong ch¬ng tr×nh, nhÊt

lµ nh÷ng kiÕn thøc t¬ng ®èi phøc t¹p nhng giµu tÝnh øng dông vµ kh¸ ®iÓn

h×nh.

MÆc dï cã nhiÒu c«ng tr×nh liªn quan ®Õn rÌn luyÖn kü n¨ng, nhng cho

®Õn nay vÉn cha cã c«ng tr×nh nµo nghiªn cøu viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i

quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan tíi ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè.

V× nh÷ng lÝ do trªn ®©y chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña luËn v¨n lµ:

“RÌn luyÖn cho häc sinh kh¸, giái kü n¨ng gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan

®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè trong d¹y häc To¸n ë

Trung häc phæ th«ng”.

2. Môc ®Ých nghiªn cøu

Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng

gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng

2

tr×nh, hÖ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch ë

bËc THPT.

3. NhiÖm vô nghiªn cøu

LuËn v¨n cã nhiÖm vô gi¶i ®¸p c¸c c©u hái khoa häc sau ®©y:

3.1. Kü n¨ng lµ g×? C¬ chÕ h×nh thµnh kü n¨ng lµ nh thÕ nµo?

3.2. Nh÷ng t×nh huèng ®iÓn h×nh nµo thêng gÆp trong qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt

nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè?

3.3. Trong qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ

bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè, häc sinh thêng gÆp nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm

nµo?

3.4. Nh÷ng biÖn ph¸p s ph¹m nµo ®îc sö dông ®Ó rÌn luyÖn cho häc sinh

kü n¨ng gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã

chøa tham sè?

3.5. KÕt qu¶ cña thùc nghiÖm s ph¹m lµ nh thÕ nµo?

4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu, luËn v¨n sö dông nh÷ng ph¬ng ph¸p sau:

Nghiªn cøu lý luËn, ®iÒu tra quan s¸t thùc tiÔn, thùc nghiÖm s ph¹m.

5. Gi¶ thuyÕt khoa häc

NÕu ®Ò xuÊt vµ thùc hiÖn nh÷ng biÖn ph¸p, nh÷ng híng dÉn s ph¹m thÝch

hîp th× sÏ rÌn luyÖn ®îc cho häc sinh THPT kü n¨ng gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn

quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa tham sè, gãp phÇn n©ng cao

hiÖu qu¶ d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng.

6. §ãng gãp cña luËn v¨n

Nªu lªn sù kh¸c biÖt gi÷a néi dung ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh cña hai

cÊp häc THPT vµ THCS, ®ång thêi chØ ra ®îc nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm mµ

häc sinh thêng gÆp ph¶i trong qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt c¸c néi dung liªn quan ®Õn

ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè.

X©y dùng ®îc c¸c biÖn ph¸p s ph¹m theo quan ®iÓm ho¹t ®éng, nh»m rÌn

luyÖn cho häc sinh kÜ n¨ng gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ

bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè.

7. CÊu tróc cña luËn v¨n

3

Ngoµi phÇn Më ®Çu, KÕt luËn vµ Tµi liÖu tham kh¶o, Néi dung cña LuËn

v¨n gåm cã 3 ch¬ng:

Ch¬ng 1 Mét sè vÊn ®Ò c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn

1.1. Kü n¨ng

1.2. VÒ chñ ®Ò ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ë THPT

1.3. Nh÷ng t×nh huèng ®iÓn h×nh liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng

tr×nh cã chøa tham sè

1.4. Mét sè khã kh¨n vµ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò

liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè trong d¹y häc

To¸n ë THPT

1.5. KÕt luËn Ch¬ng 1

Ch¬ng 2 Nh÷ng biÖn ph¸p nh»m rÌn luyÖn cho häc sinh kh¸, giái

kü n¨ng gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn

ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè

trong d¹y häc To¸n ë Trung häc phæ th«ng

2.1. BiÖn ph¸p 1: Gióp häc sinh hiÓu ®óng b¶n chÊt, vai trß cña tham sè

trong bµi to¸n

2.2. BiÖn ph¸p 2: Lµm cho häc sinh ý thøc ®îc viÖc ph©n chia trêng hîp

vµ h×nh thµnh kÜ n¨ng ph¸t hiÖn c¸c tiªu chÝ ®Ó ph©n chia trêng hîp trong bµi

to¸n gi¶i vµ biÖn luËn

2.3. BiÖn ph¸p 3: H×nh thµnh kh¶ n¨ng ph¸t hiÖn sù t¬ng øng ®Ó tõ ®ã rÌn

luyÖn kÜ n¨ng chuyÓn ®æi ng«n ng÷, c¸ch ph¸t biÓu bµi to¸n

2.4. BiÖn ph¸p 4: Trang bÞ kiÕn thøc vÒ c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, gióp

häc sinh ý thøc ®îc diÔn biÕn cña tËp nghiÖm trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi

2.5. BiÖn ph¸p 5: H×nh thµnh kh¶ n¨ng ph©n tÝch, ®Þnh híng ph¬ng ph¸p

gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè

2.3. KÕt luËn Ch¬ng 2

Ch¬ng 3 Thùc nghiÖm s ph¹m

3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm

3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm

3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm

4

Ch¬ng 1

C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn

1.1. KÜ n¨ng

1.1.1. Kh¸i niÖm kÜ n¨ng

Thùc tiÔn cuéc sèng lu«n ®Æt ra nh÷ng nhiÖm vô nhËn thøc hay thùc hµnh

nhÊt ®Þnh cho con ngêi. §Ó gi¶i quyÕt ®îc c«ng viÖc con ngêi vËn dông vèn

hiÓu biÕt, kinh nghiÖm, cña m×nh nh»m t¸ch ra nh÷ng mÆt cña hiÖn thùc lµ b¶n

chÊt ®èi víi nhiÖm vô vµ thùc hiÖn nh÷ng biÕn ®æi cã thÓ dÉn tíi chç gi¶i

quyÕt ®îc nhiÖm vô. Víi qu¸ tr×nh ®ã con ngêi dÇn h×nh thµnh cho m×nh c¸ch

thøc (kÜ n¨ng) ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò ®Æt ra.

Theo gi¸o tr×nh T©m lÝ häc ®¹i c¬ng th×: “KÜ n¨ng lµ n¨ng lùc sö dông

c¸c d÷ kiÖn, c¸c tri thøc hay kh¸i niÖm ®· cã, n¨ng lùc vËn dông chóng ®Ó

ph¸t hiÖn nh÷ng thuéc tÝnh b¶n chÊt cña c¸c sù vËt vµ gi¶i quyÕt thµnh c«ng

nh÷ng nhiÖm vô lÝ luËn hay thùc hµnh x¸c ®Þnh” [23, tr. 149].

Theo Tõ ®iÓn TiÕng ViÖt th×: “KÜ n¨ng lµ kh¶ n¨ng vËn dông nh÷ng kiÕn

thøc thu nhËn ®îc trong mét lÜnh vùc nµo ®ã vµo thùc tÕ” [40, tr. 462].

Nãi chung, dï ph¸t biÓu kh¸i niÖm ë bÊt cø gãc ®é nµo, c¸c t¸c gi¶ ®Òu

thèng nhÊt kÜ n¨ng lµ kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc (kh¸i niÖm, c¸ch thøc, ph-

¬ng ph¸p, ...) ®Ó gi¶i quyÕt mét nhiÖm vô míi.

Tuy nhiªn thùc tiÔn gi¸o dôc ®· chøng tá häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n

trong viÖc vËn dông nh÷ng kh¸i niÖm vµ nh÷ng nguyªn t¾c ®· lÜnh héi ®îc vµo

viÖc gi¶i quyÕt nh÷ng nhiÖm vô cô thÓ. Häc sinh thêng khã t¸ch ra nh÷ng chi

tiÕt thø yÕu, kh«ng b¶n chÊt ra khái ®èi tîng nhËn thøc, ®ång thêi còng kh«ng

ph¸t hiÖn ®îc mèi liªn hÖ b¶n chÊt gi÷a tri thøc vµ ®èi tîng ®ã. Trong trêng

hîp nµy tri thøc kh«ng biÕn thµnh c«ng cô cña ho¹t ®éng nhËn thøc mµ chóng

trë thµnh mét khèi tri thøc chÕt, kh«ng g¾n liÒn víi thùc tiÔn vµ kh«ng biÕn

thµnh c¬ së cña c¸c kÜ n¨ng.

Tri thøc vÒ c¸c sù vËt lµ rÊt ®a d¹ng vµ phong phó, nã ph¶n ¸nh nh÷ng

thuéc tÝnh kh¸c nhau cña c¸c sù vËt, nh÷ng thuéc tÝnh b¶n chÊt vÒ c¸c mÆt phï

hîp víi nh÷ng ho¹t ®éng, môc ®Ých nhÊt ®Þnh. Nh vËy, ®Ó tri thøc trë thµnh c¬

së ®Ó lùa chän ®óng ®¾n c¸c hµnh ®éng (kÜ n¨ng) th× cÇn ph¶i biÕt lùa chän vµ

vËn dông ®óng. Nãi c¸ch kh¸c cÇn: lùa chän tri thøc ph¶n ¸nh thuéc tÝnh cña

5

sù vËt; lùa chän tri thøc ph¶n ¸nh thuéc tÝnh b¶n chÊt phï hîp víi môc tiªu ®Æt

ra tríc hµnh ®éng; lµm sao cho hµnh ®éng ®¶m b¶o biÕn ®æi ®èi tîng ®Ó ®¹t ®-

îc môc tiªu. §Ó minh häa ta xem xÐt vÝ dô sau: “T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã

nghiÖm:

m.cos22x – 4. sinx. cosx + m – 2 = 0

Tri thøc ph¶n ¸nh trong sù vËt ë ®©y cã rÊt nhiÒu: tham sè, c«ng thøc lîng

gi¸c, ph¬ng tr×nh d¹ng bËc hai,... §Ó tiÕn hµnh ho¹t ®éng gi¶i To¸n ta ph¶i lùa

chän tri thøc phï hîp víi môc tiªu lµ t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Ta

nhËn thÊy ph¬ng tr×nh trªn cã thÓ ®a vÒ d¹ng bËc hai, khi ®ã bµi to¸n t×m ®iÒu

kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm cã thÓ ®îc gi¶i quyÕt (môc tiªu) vµ do ®ã ta cã

thÓ lùa chän phÐp biÕn ®æi:

- 4. sinx.cosx = - 2.sin2x vµ cos22x = 1 – sin22x

Nh vËy hµnh ®éng biÕn ®æi sÏ nh»m ®¹t ®îc môc tiªu, ph¬ng tr×nh trë

thµnh:

m.sin22x + 2.sin2x + 2 – 2m = 0”.

Khi h×nh thµnh kÜ n¨ng th× yÕu tè quan träng nhÊt lµ n¨ng lùc nhËn ra

kiÓu bµi to¸n, ph¸t hiÖn, nh×n thÊy trong c¸c d÷ kiÖn ®· cã nh÷ng thuéc tÝnh

nh÷ng quan hÖ lµ b¶n chÊt ®èi víi viÖc gi¶i bµi to¸n ®· cho. Trong khi tiÕn

hµnh ho¹t ®éng, c¸c nhµ T©m lÝ häc ®· ph¸t hiÖn ra mét lo¹t nh©n tè thóc ®Èy

hay c¶n trë sù h×nh thµnh c¸c kÜ n¨ng. Mét trong nh÷ng nh©n tè nh vËy lµ:

T¸ch ra mét c¸ch râ rµng hay ngîc l¹i che ®Ëy quan hÖ b¶n chÊt cña bµi

to¸n trong c¸c d÷ kiÖn xuÊt ph¸t. Ch¼ng h¹n, bµi to¸n: “T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh

sau cã nghiÖm:

90 90 2 2 2 90 5

(1 x ) m. 1 x (m ) (1 x) 0

4

− + − + + + = ”.

Ph¬ng tr×nh trªn thùc chÊt lµ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai:

a. X2

+ b.X.Y + c.Y2

= 0

Ph¬ng ph¸p gi¶i lµ kh«ng qu¸ khã, tuy nhiªn b»ng sù che ®Ëy quan hÖ

b¶n chÊt b»ng nh÷ng phÐp khai c¨n: 90 2

(1 x ) − ,

90 2

1 x − ,

90 2

(1 x) + , nªn nã

g©y cho häc sinh khã kh¨n trong viÖc ph¸t hiÖn ra mèi quan hÖ b¶n chÊt Èn

chøa trong bµi to¸n. Ngoµi ra cßn cã rÊt nhiÒu häc sinh sÏ thÊy bÞ “cho¸ng”

khi thÊy c¨n thøc bËc 90.

6

Nh©n tè kh¸c ¶nh hëng ®Õn sù ph¸t hiÖn ra quan hÖ cÇn thiÕt ®Ó hµnh

®éng ®ã lµ t©m thÕ cña con ngêi. Trë l¹i víi VÝ dô cã chøa c¨n thøc bËc 90 ë

trªn, t©m thÕ cña nhiÒu häc sinh sÏ rÊt khã chÞu víi phÐp to¸n nµy vµ cã thÓ

häc sinh sÏ chØ lu ý tíi c¨n thøc bËc 90, ®Ó råi kh«ng ph¸t hiÖn ®îc mèi quan

hÖ b¶n chÊt trong bµi to¸n.

Nh©n tè quan träng ®Ó nh×n thÊy mèi quan hÖ b¶n chÊt ®èi víi bµi to¸n -

®ã lµ th©u tãm ®îc toµn bé t×nh huèng chø kh«ng ph¶i nh÷ng yÕu tè riªng biÖt

cña nã. Nh VÝ dô trªn vÊn ®Ò lµ ph¶i quan s¸t toµn bé ph¬ng tr×nh chø kh«ng

®îc tËp trung chó ý vµo mét h¹ng tö, cã nh vËy míi ph¸t hiÖn ®îc mèi quan hÖ

b¶n chÊt ®ã lµ:

1 – x2

= (1 - x)(1 + x).

(1 – x)2

= (1 - x)(1 - x).

(1 + x)2

= (1 + x)(1 + x).

§Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c thuéc tÝnh b¶n chÊt cña sù vËt phï hîp víi môc tiªu

ho¹t ®éng, c¸c nhµ T©m lÝ häc s ph¹m ®· ®a ra mét sè thñ thuËt lµm dÔ dµng

cho sù suy xÐt, ®ã lµ:

+) Nh÷ng nguyªn t¾c gi¶i.

+) T¸ch ra mét c¸ch râ rÖt hay nhÊn m¹nh nh÷ng cø liÖu vµ nh÷ng quan

hÖ b¶n chÊt ®èi víi bµi to¸n.

+) Ph©n tÝch bµi to¸n.

1.1.2. Sù h×nh thµnh c¸c kÜ n¨ng

Sù h×nh thµnh kÜ n¨ng - ®ã lµ sù n¾m v÷ng c¶ mét hÖ thèng phøc t¹p c¸c

thao t¸c ph¸t hiÖn vµ c¶i biÕn th«ng tin chøa ®ùng trong c¸c tri thøc vµ tiÕp thu

®îc tõ c¸c ®èi tîng, ®èi chiÕu vµ x¸c lËp quan hÖ cña th«ng tin víi c¸c hµnh

®éng.

KÜ n¨ng chØ ®îc h×nh thµnh th«ng qua qu¸ tr×nh t duy ®Ó gi¶i quyÕt c¸c

nhiÖm vô ®Æt ra. Khi tiÕn hµnh t duy sù vËt th× chñ thÓ thêng biÕn ®æi, ph©n

tÝch ®èi tîng ®Ó t¸ch ra nh÷ng khÝa c¹nh, nh÷ng thuéc tÝnh míi. TÊt c¶ nh÷ng

®iÒu nµy ®îc ghi l¹i trong tri thøc cña chñ thÓ t duy vµ ®îc biÓu hiÖn b»ng c¸c

tõ. Qu¸ tr×nh t duy diÔn ra nhê c¸c thao t¸c ph©n tÝch – tæng hîp, trõu tîng

hãa – kh¸i qu¸t hãa cho tíi khi h×nh thµnh ®îc m« h×nh vÒ mét mÆt nµo ®ã

cña ®èi tîng cã ý nghÜa b¶n chÊt ®èi víi viÖc gi¶i bµi to¸n ®· cho. ë ®©y mçi

bíc, nhê kh¸m ph¸ ra nh÷ng khÝa c¹nh míi cña ®èi tîng, thóc ®Èy t duy tiÕn

lªn, ®ång thêi quyÕt ®Þnh bíc tiÕp theo sau cña t duy. V× c¸c khÝa c¹nh míi

7

cña ®èi tîng ®îc ph¶n ¸nh trong c¸c kh¸i niÖm míi, t duy diÔn ra nh lµ mét sù

diÔn ®¹t l¹i bµi to¸n nhiÒu lÇn. Ch¼ng h¹n, bµi to¸n:

“Cho a, b, c lµ ba sè thùc kh«ng ®ång thêi b»ng 0. Chøng minh r»ng ph-

¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm:

a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x – a)(x - b) = 0

TiÕn hµnh ph©n tÝch ®èi tîng ta nhËn thÊy ®èi tîng t duy lµ mét ph¬ng

tr×nh d¹ng bËc hai:

(a + b + c)x2

+ 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

§©y lµ ph¬ng tr×nh d¹ng bËc hai nªn ®Ó chøng minh nã cã nghiÖm nghÜa

lµ ph¶i chØ ra:

+) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh: 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 cã

nghiÖm.

+) NÕu a + b + c ≠ 0 th× ∆’ = (ab + bc + ca)2

– 3abc(a + b + c) ≥ 0

§ã chÝnh lµ sù diÔn ®¹t l¹i bµi to¸n vµ tiÕp theo chñ thÓ l¹i ph¶i diÔn ®¹t

bµi to¸n theo khÝa c¹nh míi”.

Còng kh«ng lo¹i trõ cã chñ thÓ diÔn ®¹t l¹i bµi to¸n nh sau: chøng minh

ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm cã nghÜa lµ ta chØ cÇn chØ ra ph¬ng tr×nh lu«n cã 1

nghiÖm nµo ®ã víi mäi gi¸ trÞ a, b, c.

Tuy nhiªn, chñ thÓ ph¶i nhËn thÊy c¸ch diÔn ®¹t nµo phï hîp víi ®èi t￾îng, ®Ó cã thÓ tiÕn hµnh ho¹t ®éng gi¶i to¸n. §iÒu nµy kh«ng ph¶i mäi häc

sinh ®Òu cã thÓ thùc hiÖn tèt.

Qu¸ tr×nh t duy cña con ngêi diÔn ra mét c¸ch liªn tôc vµ cã tÝnh kÕ thõa.

Víi mçi c¸ch diÔn ®¹t míi lµ kÕt qu¶ cña sù ph©n tÝch vµ tæng hîp nh÷ng kÕt

qu¶ cña giai ®o¹n tríc, ®îc thÓ hiÖn trong c¸c kh¸i niÖm. Khi hoµn thµnh viÖc

nghiªn cøu ®èi tîng th× trong tri thøc cña chñ thÓ, t duy sÏ ghi l¹i nh÷ng thuéc

tÝnh b¶n chÊt cña ®èi tîng vµ nã Ýt nhiÒu sÏ gióp Ých cho ho¹t ®éng sau nµy.

ChÝnh qu¸ tr×nh nµy sÏ thóc ®Èy t duy tiÕn lªn nh»m chinh phôc ®Ønh cao míi

vµ nã lµm cho con ngêi lu«n kh«ng t×m ra giíi h¹n cña tri thøc nh©n lo¹i.

Ch¼ng h¹n, nh S. L. Rubinstein ®· chøng minh: Trong qu¸ tr×nh t duy nhê

ph©n tÝch vµ tæng hîp, ®èi tîng tham gia vµo nh÷ng mèi liªn hÖ ngµy cµng

míi vµ do ®ã, thÓ hiÖn qua c¸c phÈm chÊt ngµy cµng míi, nh÷ng phÈm chÊt

nµy ®îc ghi l¹i trong nh÷ng kh¸i niÖm míi. Nh vËy, tõ ®èi tîng dêng nh khai

th¸c ®îc néi dung ngµy cµng míi, nã dêng nh mçi lÇn quay l¹i mét kh¸c vµ

trong nã l¹i xuÊt hiÖn nh÷ng thuéc tÝnh míi [23, tr. 155].

8

Theo quan ®iÓm nµy, sù h×nh thµnh c¸c kÜ n¨ng xuÊt hiÖn tríc hÕt nh

nh÷ng s¶n phÈm cña tri thøc ngµy cµng ®îc ®µo s©u. C¸c kÜ n¨ng ®îc h×nh

thµnh trªn c¬ së lÜnh héi c¸c tri thøc vÒ c¸c mÆt vµ c¸c thuéc tÝnh kh¸c nhau

vÒ ®èi tîng ®ang ®îc nghiªn cøu. C¸c con ®êng chÝnh cña sù h×nh thµnh c¸c kÜ

n¨ng - ®ã lµ häc sinh ph¶i tù nh×n nhËn thÊy nh÷ng mÆt kh¸c nhau trong ®èi t￾îng, vËn dông vµo ®èi tîng. Nh÷ng tri thøc kh¸c nhau diÔn ®¹t mèi quan hÖ ®a

d¹ng gi÷a ®èi tîng vµ tri thøc.

Cã thÓ d¹y cho häc sinh kÜ n¨ng b»ng nh÷ng con ®êng kh¸c nhau. Mét

trong nh÷ng con ®êng ®ã lµ truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc cÇn thiÕt,

råi sau ®ã ®Ò ra cho häc sinh nh÷ng bµi to¸n vÒ vËn dông tri thøc ®ã. Vµ b¶n

th©n häc sinh t×m tßi c¸ch gi¶i, b»ng con ®êng thö nghiÖm vµ sai lÇm (thö c¸c

ph¬ng ph¸p vµ t×m ra ph¬ng ph¸p tèi u), qua ®ã ph¸t hiÖn ra c¸c mèc ®Þnh h￾íng t¬ng øng, nh÷ng ph¬ng thøc c¶i biÕn th«ng tin, nh÷ng thñ thuËt ho¹t

®éng. §«i khi ngêi ta gäi con ®êng d¹y häc nµy lµ d¹y häc nªu vÊn ®Ò. Còng

cã thÓ d¹y häc kÜ n¨ng b»ng con ®êng: d¹y cho häc sinh biÕt nh÷ng dÊu hiÖu

mµ theo ®ã cã thÓ ®o¸n nhËn ®îc mét c¸ch døt kho¸t kiÓu bµi to¸n vµ nh÷ng

thao t¸c cÇn thiÕt ®Ó gi¶i bµi to¸n ®ã. Ngêi ta gäi con ®êng nµy lµ d¹y häc

angorit hãa hay d¹y häc trªn c¬ së ®Þnh híng ®Çy ®ñ. Cuèi cïng, con ®êng

thø ba lµ nh sau: ngêi ta d¹y häc sinh chÝnh ho¹t ®éng t©m lÝ cÇn thiÕt ®èi víi

viÖc vËn dông tri thøc. Trong trêng hîp nµy nhµ gi¸o dôc kh«ng nh÷ng chØ cho

häc sinh t×m hiÓu c¸c mèc ®Þnh híng ®Ó chän läc c¸c dÊu hiÖu vµ c¸c thao t¸c

mµ cßn tæ chøc ho¹t ®éng cho häc sinh trong viÖc c¶i biÕn, sö dông th«ng tin

®· thu ®îc ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n ®Æt ra. Con ®êng nµy ®· ®îc c¸c nhµ T©m lÝ

häc X« viÕt nghiªn cøu, ch¼ng h¹n nh: P. Ja. Galperin, N. F. Talyzyna vµ

nh÷ng ngêi kh¸c [23, tr. 156]. Hä cho r»ng, ®Ó d¹y ®îc nh÷ng ®iÒu nªu trªn

gi¸o viªn ph¶i dÉn d¾t häc sinh mét c¸ch cã hÖ thèng tr¶i qua tÊt c¶ nh÷ng giai

®o¹n ho¹t ®éng ®ßi hái ph¶i ®Þnh híng vµo c¸c dÊu hiÖu ®· ®îc ghi l¹i trong

kh¸i niÖm ®ang ®îc nghiªn cøu.

Trong giai ®o¹n ®Çu, nh÷ng mèc ®Þnh híng (nh÷ng dÊu hiÖu b¶n chÊt)

cña ®èi tîng ®îc ®a ra tríc häc sinh díi d¹ng cã s½n. §îc vËt chÊt hãa díi

d¹ng s¬ ®å, kÝ hiÖu c¸c ®èi tîng, cßn c¸c thao t¸c t¸ch ra c¸c mèc ®Þnh híng

th× ®îc thùc hiÖn díi h×nh thøc nh÷ng hµnh ®éng cã ®èi tîng. Ch¼ng h¹n, bµi

to¸n vÒ kÜ n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai nh: x2

– 5x + 6 = 0 th× ph¬ng ph¸p

gi¶i ®Çu tiªn ®îc giíi thiÖu lµ ph©n tÝch ®a thøc vÕ tr¸i thµnh nh©n tö b»ng

c¸ch ghÐp b×nh ph¬ng ®ñ, nh vËy lêi gi¶i dùa trªn c¸c mèc ®Þnh híng cã ®èi t￾9

îng. ë giai ®o¹n hai, c¸c mèc ®Þnh híng vµ c¸c thao t¸c cã ®èi tîng ®îc thay

thÕ b»ng c¸c kÝ hiÖu vµ c¸c hµnh ®éng ng«n ng÷. Trong vÝ dô trªn ngêi ta

kh«ng cßn sö dông phÐp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó gi¶i mµ thay vµo

®ã lµ c¸c kÝ hiÖu ∆ vµ c«ng thøc nghiÖm, ë giai ®o¹n nµy gi¶i ph¬ng tr×nh bËc

hai b»ng ng«n ng÷ vµ kÝ hiÖu. ë giai ®o¹n thø ba, c¸c hµnh ®éng ng«n ng÷ r¬i

rông dÇn ®i vµ thay thÕ chóng lµ nh÷ng thao t¸c diÔn ra theo s¬ ®å gän h¬n:

“Ph¬ng tr×nh x2

– 5x + 6 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x = 2 vµ x = 3”.

Ngêi ta cßn gäi ý ®å d¹y häc trªn lµ ph¬ng ph¸p h×nh thµnh c¸c hµnh

®éng trÝ tuÖ qua tõng giai ®o¹n.

Trong thùc tÕ khi h×nh thµnh nh÷ng tri thøc míi (cã néi dung chø kh«ng

ph¶i kh¸i niÖm tõ ng÷ thuÇn tóy) ai còng ph¶i tr¶i qua c¸c giai ®o¹n nµy. Tuy

nhiªn, trong d¹y häc th«ng thêng nh÷ng giai ®o¹n kh«ng ®îc tæ chøc mét

c¸ch cã ý thøc. V× thÕ häc sinh ph¶i tù ph¸t hiÖn nh÷ng dÊu hiÖu c¶m tÝnh hay

nh÷ng dÊu hiÖu l«gic, mµ ®iÒu chñ yÕu lµ c¸c em ph¶i tù lùa chän nh÷ng hµnh

®éng thÝch hîp ®Ó lµm ®iÒu ®ã. Do vËy kh«ng thÓ tr¸nh khái c¸c sai lÇm vµ

c¸c tri thøc kh«ng ph¶i bao giê còng ®îc h×nh thµnh ®Çy ®ñ vµ ®óng ®¾n. §Ó

cho c¸c kh¸i niÖm ®îc h×nh thµnh ®Çy ®ñ vµ ®óng ®¾n, ho¹t ®éng t¬ng øng cña

häc sinh ph¶i ®îc x©y dùng trªn mét c¬ së ®Þnh híng ®Çy ®ñ. Nãi mét c¸ch

kh¸c, gi¸o viªn ph¶i truyÒn thô cho häc sinh tÊt c¶ nh÷ng dÊu hiÖu b¶n chÊt

cña c¸c ®èi tîng díi d¹ng cã s½n vµ d¹y cho hä nh÷ng thao t¸c cÇn thiÕt ®Ó

ph¸t hiÖn hay t¸i t¹o nh÷ng dÊu hiÖu.

Nh÷ng nguyªn t¾c kÓ trªn cho phÐp c¶i tiÕn mét c¸ch c¨n b¶n viÖc d¹y

c¸c kh¸i niÖm, ®Æc biÖt t¨ng nhanh tèc ®é lÜnh héi c¸c tri thøc, ®¶m b¶o ®îc

tÝnh mÒm dÎo vµ ®Çy ®ñ cña chóng, vËn dông chóng ®óng ®¾n cßn cho phÐp

h×nh thµnh nh÷ng tri thøc trõu tîng phøc t¹p ë løa tuæi sím h¬n nhiÒu.

1.2. VÒ chñ ®Ò ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ë tr￾êng THPT

Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh lµ mét trong nh÷ng néi dung c¬ b¶n cña

ch¬ng tr×nh m«n To¸n ë nhµ trêng phæ th«ng. Nh÷ng vÊn ®Ò lÝ luËn nh kh¸i

niÖm ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh; quan hÖ t¬ng ®¬ng ®èi víi hai ph¬ng tr×nh,

bÊt ph¬ng tr×nh; ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh ®îc ®a dÇn ë

møc ®é thÝch hîp víi tõng bËc líp cã phÇn lÆp ®i lÆp l¹i vµ n©ng cao dÇn qua

c¸c líp tõ líp 8 ®Õn líp 10. §ång thêi häc sinh còng ®îc dÇn dÇn lµm viÖc víi

10