Lớp môđun δ - phần phụ yếu.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ HOÀNG KHƯƠNG

LỚP MÔĐUN d -PHẦN PHỤ YẾU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 2: TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 11

tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

-Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

-Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số

hiện đại. Cùng với sự phát triển của lý thuyết vành, lớp các

môđun phần phụ và các mở rộng của nó đã được nhiều tác giả

quan tâm và nghiên cứu trong những năm gần đây. Một số đặc

trưng của vành cổ điển như vành Artin, hoàn chỉnh và nửa hoàn

chỉnh... thông qua lớp môđun phần phụ đã được xét đến. Điều

này cho thấy vai trò quan trọng của của lớp môđun phần phụ.

Năm 2000, tác giả Y. Zhou đã nghiên cứu một trường hợp tổng

quát của môđun con đối cốt yếu. Từ đó, ông đã nghiên cứu và

đạt được một số kết quả về lớp vành δ-hoàn chỉnh, vành δ-nửa

hoàn chỉnh, vành δ-nửa chính quy. Năm 2004, tác giả Kosan đã

xét một trường hợp tổng quát của môđun phần phụ; đó là môđun

δ-phần phụ và δ-phần phụ nhiều và đã đưa ra một số đặc trưng

của lớp môđun này. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả

đã quan tâm nghiên cứu các trường hợp tổng quát của môđun

phần phụ nhiều và δ-phần phụ; chẳng hạn lớp môđun δ-phần

phụ yếu, môđun δ-phần phụ nhiều... Đặc trưng của một số lớp

môđun con bất biến thông qua lớp môđun mở rộng này cũng đã

được đưa ra. Để hiểu rõ hơn về các khái niệm đó và các tính

chất của nó, tôi chọn "Lớp môđun δ-phần phụ yếu" làm đề

tài nghiên cứu cho luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là nghiên cứu về việc xây dựng nên

các khái niệm môđun δ-phần phụ yếu và nghiên cứu về các tính

chất của nó.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm và một số tính chất của lớp môđun

δ-phần phụ yếu.

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu từ các giáo trình, các tài liệu về lý thuyết môđun

của các tác giả liên quan.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các phương pháp nghiên sử dụng nằm trong

các lĩnh vực sau đây: lý thuyết môđun, lý thuyết vành,...

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như

tài liệu tham khảo dành cho học viên, sinh viên nghiên cứu lý

thuyết vành và môđun, vành các số nguyên Z và mọi iđêan chính

là xạ ảnh.

6. Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị.

1.1. Một số kiến thức liên quan: Môđun con δ-đối cốt yếu,

δ-phủ xạ ảnh, vành chứa môđun δ-phủ xạ ảnh.

1.2. Một số kết quả liên quan.

Chương 2. Môđun δ-phần phụ yếu và môđun δ-phần phụ nhiều.

2.1. Môđun δ-phần phụ yếu.

2.2. Môđun δ-phần phụ nhiều.

Chương 3. Môđun δ-phần phụ yếu nhiều và môđun δ-phần

3

phụ yếu đối hữu hạn.

3.1. Môđun δ-phần phụ yếu nhiều.

3.2. Môđun δ-phần phụ yếu đối hữu hạn.

Kết luận

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nêu một số ký hiệu, khái niệm

và các kết quả liên quan đến đề tài.

Trong toàn bộ đề tài này, vành R đã cho là vành có đơn vị

1 ̸= 0, không nhất thiết phải giao hoán. Các môđun được xét là

R-môđun phải.

1.1 Một số khái niệm liên quan

Khái niệm của môđun con đối cốt yếu được lấy từ định nghĩa

của phủ xạ ảnh, tất nhiên sẽ chỉ dẫn giới thiệu vành hoàn chỉnh,

vành nửa hoàn chỉnh và vành nửa chính quy. Môđun con δ-đối

cốt yếu được lấy từ sự mở rộng của môđun con đối cốt yếu, và

một số đặc tính khác của môđun con δ-đối cốt yếu.

Định nghĩa 1.1.1. Tập con I ̸= ∅ của vành R được gọi là iđêan

phải nếu:

(1) ∀a, b ∈ I, a − b ∈ I.

(2) ar ∈ I, ∀a ∈ I, ∀r ∈ R.

Iđêan phải I của R được gọi là cốt yếu nếu I có giao khác (0)

với mọi iđêan phải khác không của R.

Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một môđun và m là phần tử

của M.

(i) Ký hiệu: r(m) = {r ∈ R|mr = 0}

Nếu r(m) là một iđêan phải cốt yếu của R thì ta gọi m là

phần tử suy biến của M.

5

(ii) Tập hợp các phần tử suy biến của M là một môđun con

suy biến của M, thường được ký hiệu là Z(M).

(iii) Nếu môđun M có Z(M) = M thì ta nói M là môđun

suy biến.

(iv) Nếu môđun M có Z(M) = 0 thì M được gọi là môđun

không suy biến.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử N là một môđun con của môđun M.

N được gọi là δ-đối cốt yếu trong M nếu N + K ̸= M với bất kì

môđun con thực sự K của M với M/K suy biến. Khi đó, chúng

ta ký hiệu N ≪δ M.

Ví dụ 1.1.4. (i) Mỗi môđun con đối cốt yếu hoặc môđun con

nửa đơn không suy biến của M là một δ-đối cốt yếu trong M.

(ii) Môđun con δ-đối cốt yếu của một môđun suy biến là một

môđun con đối cốt yếu.

Tiếp theo là một số kết quả về khái niệm môđun con δ-đối

cốt yếu.

Định nghĩa 1.1.5. Cho M là một môđun có môđun con suy

biến là Z(M). Môđun con ký hiệu là Z2(M) chứa Z(M) của M

sao cho:

Z2(M)/Z(M) = Z(M/Z(M)).

Nếu M = Z2(M) thì M được gọi là xoắn Goldie.

Bổ đề 1.1.6. Giả sử N là môđun con của môđun M. Khi đó,

các điều kiện sau là tương đương:

(1) N ≪δ M.