Về lớp Môđun đối Cohen - Macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————-

ĐỖ THỊ THU GIANG

VỀ LỚP MÔĐUN

ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

1 Môđun Artin 7

1.1 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Chiều Noether và hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương và môđun đồng điều địa

phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay . . . . . 16

2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 18

2.1 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 28

3.1 Lọc chiều cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . 38

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo thạc sĩ của

trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của

TS. Nguyễn Thị Dung, Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên. Tôi xin

bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, người đã tận tình chỉ

bảo, dạy dỗ tôi cả về kiến thức lẫn tinh thần làm việc nghiêm túc và đã

dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường

Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua được những lúc khó khăn trong học

tập.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại

học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT và trường THPT Cao

Bình tỉnh Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt

thời gian tôi học tập.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ

tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của

mình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mở đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại

duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d.

Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng

vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá

trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân

tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,....

Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta

những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tự

lớp môđun Cohen-Macaulay. Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum

và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W. Vogel và

J. Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P. Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiện

vào những năm 1970, khi trả lời giả thuyết của D. A. Buchsbaum.

Một trong những hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay

là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được đưa ra bởi R. P.

Stanley [18] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó được P. Schenzel

[15], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợp

vành địa phương. Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự

lớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đến

bởi [6], [15], [18],... thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phương

hóa, đối đồng điều địa phương,... và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang

được quan tâm nghiên cứu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng

tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học

nghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun

này đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương,

(xem [3], [4], [6], [19],...).

Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trong

phạm trù các môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy

rộng và đối Buchsbaum đã được đưa ra và chúng chứa thực sự lớp môđun

đối Cohen-Macaulay và có những đặc trưng, tính chất tương tự như lớp

môđun Cohen-Macaulay suy rộng và Buchsbaum đã quen biết trong phạm

trù các môđun Noether. Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether,

lọc chiều cho môđun Artin đã được xây dựng, từ đó dẫn đến việc đưa ra

lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy như là một sự mở rộng khác của lớp

môđun đối Cohen-Macaulay (xem [7]).

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớp

môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun đối Cohen-Macaulay dãy trong

hai bài báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen￾Macaulay modules" của N. T. Cuong and L. T. Nhan [6] và "On sequentially

co-Cohen-Macaulay modules" của N. T. Dung [7].

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương.

Để tiện theo dõi, chương 1 dành để tóm tắt lại những kết quả chung

nhất về môđun Artin được sử dụng trong các chương tiếp theo: Phương

pháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham

số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối chính quy và

môđun đối Cohen-Macaulay.

Toàn bộ nội dung chính của luận văn nằm trong chương 2 và chương 3.

Chương 2 trình bày lại một phần trong bài báo [6]. Đó là một số kết quả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn