Lớp môđun xạ ảnh trên vành các ma trận chuẩn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN HOÀNG QUỲNH THI

LỚP MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN

VÀNH CÁC MA TRẬN CHUẨN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019

Công trình được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐH ĐÀ NẴNG

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc

sĩ Đại số và lý thuyết số họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng vào ngày 26 tháng 10 năm 2019.

Có thê tìm hiểu luận văn tại :

-Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

I. HỌC VIÊN CAO HỌC:

1. Họ và tên: Nguyễn Hoàng Quỳnh Thi

2. Sinh ngày: 20/04/1993

3. Học viên lớp cao học: Khóa 35

4. Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

5. Mã ngành: 60.46.01.04

II. THÔNG TIN VỀ NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

1. Họ và tên: Trương Công Quỳnh

2. Học hàm, học vị: Phó giáo sư, Tiến sĩ

3. Chuyên ngành: Đại số, Hình học

4. Đơn vị công tác: Đại học sư phạm Đà Nẵng

III. THÔNG TIN VỀ ĐỀ TÀI:

Tên đề tài: Lớp môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn

1. GIỚI THIỆU

1.1. Đặt vấn đề

Khái niệm ma trận và môđun đóng vai trò rất quan trọng trong toán

học thuần túy và ứng dụng. Lý thuyết vành và môđun, lý thuyết về ma

trận là một trong những lý thuyết cơ bản, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh

vực Đại số. Trước đây ta đã được tìm hiểu ma trận với các phần tử thuộc

các tập hợp số (vd:





1 4

2 3



), cùng các tính chất tương ứng của nó. Ma

trận với vành cũng đã và đang được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi trên

2

thế giới, chẳng hạn như nhà toán học Brown với ma trận trên vành giao

hoán, McDonal với Đại số tuyến tính trên vành giao hoán, hay Golan với

nửa vành và ứng dụng,. . . Và Krylov-Tuganbaev với vành ma trận chuẩn,

với các phần tử của ma trận thuộc các vành hoặc song môđun khác nhau.

1.2. Tính cấp thiết của đề tài

Vậy vành ma trận chuẩn là gì? Tính chất của vành ma trận chuẩn

như thế nào? Và môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn được định nghĩa

như thế nào? Để góp phần trả lời các câu hỏi và làm phong phú hơn về

vành ma trận, cung cấp những kiến thức có liên quan đến việc nghiên cứu

về vành ma trận chuẩn, tôi chọn “ Lớp môđun xạ ảnh trên vành ma trận

chuẩn” làm đề tài luận văn của mình.

2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

2.1 Mục tiêu tổng quát:

Luận văn tập trung nghiên cứu về môđun xạ ảnh trên vành ma trận

chuẩn, và các khái niệm, tính chất liên quan đến lớp các môđun này.

2.2 Mục tiêu cụ thể:

- Nghiên cứu khái niệm vành ma trận chuẩn cấp 2

- Chỉ ra được một số iđêan, tính chất của vành ma trận chuẩn cấp 2

- Cung cấp một số khái niệm môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn

cấp 2, từ đó phát triển khái niệm môđun di truyền trên vành ma trận

chuẩn cấp 2

3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Ma trận chuẩn cấp 2, môđun xạ ảnh,

môđun di truyền trên vành ma trận chuẩn cấp 2

3.2 Phạm vi nghiên cứu

3

+ Phạm vi không gian: Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng, thư viện.

+ Phạm vi thời gian: tháng 11/2018-10/2019

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1. Phương pháp logic Toán

2. Phương pháp chứng minh khoa học

3. Phương pháp nghiên cứu tài liệu

5. TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình

bày trong hai chương:

Chương 1 trình bày các khái niệm về môđun, dãy khớp, môđun xạ ảnh,

các khái niệm về tích tenxơ, vành Artin, Nơte và căn Jacobson.

Chương 2 trình bày về cấu trúc của vành ma trận chuẩn và cấu trúc của

các môđun trên vành ma trận chuẩn cấp 2.

Chương 3 trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm các khái niệm

về môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn cấp 2, môđun di truyền trên

vành ma trận chuẩn cấp 2.

Luận văn có thể giúp các bạn sinh viên xem như tài liệu tham khảo

những kiến thức liên quan đến ma trận chuẩn cấp 2, môđun xạ ảnh và

môđun di truyền trên vành ma trận chuẩn.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun,

môđun xạ ảnh, dãy khớp, tích tenxơ của các môđun, vành Artin, Nơte,

căn Jacobson và vành nguyên thủy, nửa nguyên thủy.

Nội dung chương được tham khảo từ [1], [2].

1.1. MÔĐUN

1.1.1. ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là:

(1) Nhóm cộng aben M.

(2) Ánh xạ

M × R → M

(m × r) 7→ mr

được gọi là phép nhân môđun, thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) (mr1)r2 = m(r1r2).

(2) (m1 + m2)r = m1r + m2r.

m(r1 + r2) = mr1 + mr2.

(3) m1 = m.

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy ý của M, r1, r2 ∈ R.

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta thường

kí hiệu M = MR. Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.

5

1.1.2. MÔĐUN CON

Định nghĩa 1.1.2. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M

được gọi là môđun con của M (kí hiệu A≤M hay AR ≤ MR), nếu A là

R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế được trên A.

Định lý 1.1.3. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là tập

con khác không của M thì các điều kiện sau là tương đương:

(1) A≤M.

(2) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A,

r ∈ R ta có ar ∈ A.

(3) ∀a1, a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈

A.

Định nghĩa 1.1.4. Môđun A được xác định như trên được gọi là

môđun con của M sinh ra bởi tập X.

Định nghĩa 1.1.5. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6=0 và

∀A ≤ M[A = 0 hay A = M],

nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M.

(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6=0 và

∀A ≤R RR[A = 0 hay A = R],

nghĩa là R 6=0 và R chỉ có hai iđêan (hai phía) là 0 và R.

(3) Môđun con A 6=M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M nếu

A 6=0 và

∀B≤ M[B < A ⇒ B=0].

(4) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của

6

môđun M nếu như A 6=M và

∀B ≤ M[A < B ⇒ B = M].

1.1.3. SONG MÔĐUN

Định nghĩa 1.1.6. Cho R và S là các vành có đơn vị. Nhóm aben

M được gọi là song môđun R-trái, S-phải (R-S-song môđun), kí hiệu

RMS nếu M là R-môđun trái và S-môđun phải sao cho

r(xs) = (rx)s

∀r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.

1.1.4. ĐỒNG CẤU MÔĐUN

Định nghĩa 1.1.7. Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu α

từ A vào B là ánh xạ α : A → B thỏa mãn

∀a1, a2 ∈ A, ∀r1, r2 ∈ R, [α(a1r1 + a2r2)] = α(a1)r1 + α(a2)r2.

Lúc đó ta viết α : AR → BR

Định nghĩa 1.1.8. Đồng cấu α : AR → BR được gọi là đơn cấu

nếu nó là đơn ánh, toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và được gọi là đẳng cấu

nếu α là song ánh, nghĩa là nó vừa toàn cấu vừa đơn cấu.

Định lý 1.1.9. Mỗi đồng cấu của các môđun phải α: A → B

đều có thể phân tích được α = α

0

ν, trong đó đồng cấu

ν : A → A/Ker(α)

là toàn cấu chính tắc, còn α

0

là đơn cấu xác định bởi

α

0

: A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7→ α(a) ∈ B

Đơn cấu α

0

là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu.

Định lý 1.1.10. Nếu B ≤R AR và C ≤R AR thì

(B + C)/C ' B/(B ∩ C).