Điều kiện nội xạ trên lớp môđun con đóng.

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Môđun nội xạ và vành liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Môđun thỏa điều kiện mở rộng đối với lớp môđun con đóng 6

2.1 Vành và môđun giả c - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Về môđun giả c - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Áp dụng của lớp môđun giả c - nội xạ vào lớp vành nửa đơn 10

2.2 Vành và môđun giả c∗ - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Định nghĩa, tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Vành tự đồng cấu của môđun giả c∗ - nội xạ . . . . . . . . 15

1

LỜI GIỚI THIỆU

Gần đây, một số tác giả đã đưa ra các trường hợp tổng quát hóa của môđun tựa

nội xạ và môđun giả nội xạ (xem [6], [19], [20], [26],...). Môđun tự - c - nội xạ là

trường hợp đặc biệt tổng quát hóa của môđun tựa nội xạ như đã nghiên cứu trong

Harada [9]. Nhắc lại, môđun M được gọi là GQ - nội xạ (tổng quát hóa tựa nội

xạ) nếu với mọi môđun con N đẳng cấu đến môđun con đóng K của M, thì mỗi

đồng cấu từ M → N có thể mở rộng đến M. Năm 2000, Clara và Smith đã giới

thiệu định nghĩa M - c - nội xạ như sau: môđun N được gọi là M - c - nội xạ nếu

với mọi môđun con đóng A của M và mỗi đồng cấu A → M, có thể mở rộng đến

đồng cấu từ M → N. Năm 2005, Đinh Quang Hải đã nghiên cứu sự tổng quát hóa

của môđun M - nội xạ là giả M - nội xạ. Môđun N được gọi là giả M - nội xạ

nếu mỗi môđun con A của M và mỗi đơn cấu từ A → N có thể mở rộng đến đồng

cấu từ M → N. Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là giả M - nội xạ. Theo

hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài luận văn là:

"Điều kiện nội xạ trên lớp môđun con đóng"

Mục đích chính của bài luận văn này là chúng ta chú ý đến sự tổng quát hóa

của môđun M - c - nội xạ và môđun giả M - nội xạ, đó là môđun giả M - c - nội

xạ và môđun giả M - c∗ - nội xạ và một số tính chất của nó.

Đề tài nhằm trình bày một cách hệ thống chi tiết những kiến thức nền tảng về

môđun giả c - nội xạ và môđun giả c∗ - nội xạ làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu

hơn. Trong bài luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của môđun

giả c - nội xạ và môđun giả c∗ - nội xạ.

Ngoài lời giới thiệu và kết luận, bài luận văn được chia làm hai chương như

sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số

khái niệm cơ bản về môđun liên quan đến nội dung chính của bài luận văn như:

môđun, môđun con đóng, môđun cốt yếu, môđun con bất biến đầy, ...

Chương 2: Môđun thỏa điều kiện mở rộng đối với lớp môđun con đóng

Phần thứ nhất của chương, chúng tôi nghiên cứu vành và môđun giả c - nội

xạ. Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản của môđun giả M

- c - nội xạ và môđun giả c - nội xạ. Đồng thời áp dụng chúng vào lớp vành nửa

đơn. Phần thứ hai chúng tôi nghiên cứu vành và môđun giả c∗ - nội xạ. Trong phần

này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính chất đặc biệt của môđun giả M - c - nội xạ, đó là

môđun giả c∗ - nội xạ. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu vành tự đồng cấu của môđun

giả c∗ - nội xạ.

2