lặp picacrd cho hàm tăng mạnh và lipsit giả co mạnh trong không gian banach tùy ý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Bình

LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ

LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHÔNG GIAN

BANACH TÙY Ý

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: GITI-08-002

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Hoàn

Hóa – người đã hướng dẫn tận tâm và tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp tôi hoàn thành

luận văn này.

Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này

một cách hoàn chỉnh.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa

Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi

điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài.

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất

mong được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa.

Xin chân thành cảm ơn. Tp Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011

Trang 4

MỤC LỤC

1TLỜI CẢM ƠN1T .............................................................................................................3

1TMỤC LỤC1T...................................................................................................................4

1TPHẦN MỞ ĐẦU1T .........................................................................................................5

1TChương I. Không gian lồi đều và trơn đều1T ................................................................6

1T1.1 Không gian lồi đều1T .........................................................................................6

1T1.2 Không gian trơn đều1T .....................................................................................13

1TChương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều1T ...............24

1T2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều1T ........................................................24

1T2.2 Bất đẳng thức trong không gian trơn đều1T ......................................................37

1TChương III. Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến1T .........................44

1T3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach. 1T

...........................................................................................................................44

1T3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh và hàm lipsit giả co mạnh1T ............................58

1TTÀI LIỆU THAM KHẢO1T ........................................................................................64

Trang 5

PHẦN MỞ ĐẦU

Cho E là không gian Banach thực. Ta xét phương trình Ax f = , với ánh xạ

A DA E E : () ⊂ → , trong đó D A( ) mở. Giả sử rằng phương trình đó có nghiệm x∗

, ta

sẽ tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm. Việc này cho phép tính xấp xỉ nghiệm.

Dãy lặp ở đây được xem xét là dãy lặp Picard:

cố định 0 x B ∈ ; 1 ( ) nn n x x Ax f + =− − λ ( 0) n ≥ .

Để dãy lặp Picard hội tụ, ta xét E trơn đều hoặc p-trơn đều, và A thỏa một số tính

chất, chẳng hạn như: lipsit địa phương và tựa-tăng mạnh.

Nếu như Ax f = không có nghiệm thì sự cố gắng lặp dãy hội tụ đến nghiệm là vô

nghĩa.

Tuy nhiên, nếu A tăng mạnh và lipsit thì sự tồn tại nghiệm của phương trình

Ax f = là được khẳng định bởi định lý 13.1 xem ở [7].

Luận văn gồm 3 chương:

Chương I: Giới thiệu không gian lồi đều và p-lồi đều, cùng các tính chất của

môđun lồi. Giới thiệu không gian trơn đều và q-trơn đều, cùng các tính chất của môđun

trơn.

Chương II: Chứng minh một số bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong

chương III.

Chương III: Trình bày cách lặp dãy hội tụ về nghiệm phương trình theo dãy lặp

Picard.

Trang 6

Chương I. Không gian lồi đều và trơn đều

1.1 Không gian lồi đều

Bài này giới thiệu về không gian lồi đều và p-lồi đều và đặc biệt chỉ ra một vài

tính chất của môđun lồi.

Cho X là không gian định chuẩn và cố định 0 x X ∈ . Đặt

Sx r x X x x r ( ,) : 0 0 =∈ − = { }.

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu cho bất

kỳ ε ∈(0, 2] đều có một δ > 0 sao cho nếu xy X , ∈ mà x y = = 1, 1 và x y − ≥ ε , thì

1 ( )1

2 x y + ≤−δ .

Nhận xét 1.1.2 Trong định nghĩa trên không khác đi khi thay ε ∈(0,2] bởi ε > 0.

Thật vậy, nếu với mọi ε > 0 đều có δ > 0 sao cho nếu xy X , ∈ mà x y = = 1, 1 và

x y − ≥ ε , thì 1 ( )1

2 x y + ≤−δ . Do đó cũng dúng với ε ∈(0,2]. Ngược lại, nếu đúng

với ε ∈(0, 2] thì với ε > 2 x y = = 1, 1 và x y − ≥ ε ⇒−> x y 2 , dẫn đến

1 ( )1

2 x y + ≤−δ .

Mệnh đề 1.1.3 Cho số p, 1< <∞ p . Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ

khi, cho mỗi ε > 0 có số δ ε p () 0 > sao cho, nếu xy X x y , mà , 1 ∈ ≤ và x y − ≥ ε

thì

(*) (1 ( )) 2 2

p p p

p

x y x y δ ε + +

≤ − .