GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC - ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Bài số 1

Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.1. Hàm số một biến số

1. Định nghĩa hàm số

Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương ứng f D E : → cho tương ứng

mỗi phần tử x D∈ với duy nhất một phần tử y E ∈ được gọi là hàm số một biến số

thực.

+ Tập D được gọi là miền xác của f.

+ Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f.

+ x D∈ được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ).

+ f x x D ( ), ∈ được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ).

2. Đồ thị của hàm số: G x f x x A f = ∈ {( , ( ) | ) }

+ Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng: Một đường

cong trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm của x nếu và chỉ nếu đường thẳng

song song với Oy cắt đương cong đó tại nhiều nhất một điểm.

Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số

1.2 Giới hạn hàm số:

1. Ví dụ 1: Xét hàm số y f x x x = = − + 2

( ) 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại

những điểm x gần x0 = 2.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Nhận thấy khi x tiến gần đến x0 = 2 thì các giá trị các hàm số f x( ) tiến gần đến 4.

Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 4 khi x x → =0 2 .

2. Định nghĩa giới hạn hàm số

Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn L (hữu hạn) khi x x → 0

và viết

x x

f x L

→

=

0

lim ( ) nếu với bất kỳ dãy {xn } mà n

x x → 0

thì n

n

f x L

→∞

lim ( ) . =

Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ ε − .

x x

f x L x x f x L ε δ δ ε

→

= ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − <

0

0

lim ( ) 0, 0 : ( )

Chú ý

+ Nếu hàm f x( ) không thoả mãn định nghĩa, ta nói rằng f x( ) không có giới hạn khi

x x → 0

, hoặc

x x

f x

→ 0

lim ( ) không tồn tại.

+ Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0

” chứ không phải xét

khi x x = 0

. Do đó hàm số f x( ) có thể không xác định tại x x = 0

nhưng phải xác

định tại các điểm thuộc lân cận của điểm đó.

Ví dụ 2: Hàm số

x

f x

x

−

=

−

2

1

( )

1

không xác định tại x =1. Ta lập bảng tính các giá trị

của f x( ) khi x →1. Từ đó xem f x( ) dần đến giá trị nào.

Nhận thấy khi x tiến gần đến x0 =1 thì các giá trị các hàm số f x( ) tiến gần đến

0,5. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x x → =0 1.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Cách mô tả này chủ yếu cho ta dáng điệu của f(x) khi x gần a, dự đoán giá trị của

giới hạn, có lợi về trực giác và phù hợp với mục đích thực hành. Tuy nhiên không

chặt chẽ.

Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng

x

x

→ x

−

=

−

2

1

1 1 lim

1 2

.

Thật vậy, cho trước ε > 0 , chọn δ ε = . Ta có: x − <1 δ thì

x x

x

x x

ε

− −

− = < − <

− + 2

1 1 1 1

1 2 1

( với x trong lân cận của 1).

Ví dụ 3: Tìm giới hạn

x→0 x

1

limcos

Giải: Đặt f x

x

=

1

( ) cos .

+ Với x

nπ

=

1

2

, n = 1, 2, 3…thì f x( ) 1 = .

+ Với x

n

π

π

=

+

1

2

2

, n = 1, 2, 3…thì f x( ) 0 = . Vậy

x→0 x

1

limcos không tồn tại.

3. Giới hạn ở vô cực

Định nghĩa:

x

f x L ε

→+∞

+ = ⇔ ∀ > lim ( ) 0 , ∃ > N 0 đủ lớn, sao cho ∀ > ⇒ − < x N f x L ( ) ε .

x

f x L ε

→−∞

+ = ⇔ ∀ > lim ( ) 0 , ∃ > N 0 đủ lớn, sao cho ∀ < − ⇒ − < x N f x L ( ) ε .

Ví dụ 4: Chứng minh rằng

x x

→+∞

=

1

lim 0 .

+ Từ x

x

ε

ε

− < ⇔ > 2

1 1 0 .

+ Ta có: ∀ >ε 0 , chọn N

ε

= 2

1

. Khi đó ∀ > ⇒ − < x N f x( ) 0 ε .

4. Các tính chất của giới hạn

Định lí 1: Giả sử c là hằng số và

x a x a

f x L g x M → →

lim ( ) , lim ( ) . Khi = = đó

1. [ ]

x a

f x g x L M →

lim ( ) ( ) + = +

2. [ ]

x a

f x g x L M →

lim ( ) ( ) − = −

3.

x a

c f x cL

→

lim . ( ) 4. = x a

f x g x L M →

lim ( ). ( ) . =

5.

x a

f x L

→ g x M

=

( ) lim

( )

nếu M ≠ 0.

Định lý 2: ( về giới hạn kẹp)

Giả sử các hàm số f x g x h x ( ), ( ), ( ) thoả mãn bất đẳng thức f x g x h x ( ) ( ) ( ) ≤ ≤

trong lân cận của điểm a. Khi đó nếu

x a x a

f x h x L

→ →

lim ( ) lim ( ) thì = = x a

g x L

→

lim ( ) . =

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 5: Chứng minh rằng

x

x

→∞ x

=

sin lim 0 .

Ta có: x

x x

≤ ≤ sin 1 0 . Mà

x→∞ x

=

1

lim 0 nên

x

x

→∞ x

=

sin lim 0 , hay ta có đpcm.

5. Một số phương pháp khử dạng vô định:

∞

∞ −∞ ∞

∞

0

, , , 1 .

0

+ Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân biểu thức liên hợp để khử dạng vô

định.

+ Sử dụng giới hạn kẹp

+ Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau:

x

x

→ x

= 0

sin lim 1,

x

x

a

a

→ x

−

= 0

1

lim ln ,

x

x

→ x

+

= 0

ln( 1) lim 1,

x

a

x

a

e

→∞ x

   + = 

 

   

lim 1 ,

( )

x

x

a a

→+∞

lim 0, 0 1 = < < , …

Ví dụ 6: Tìm

m

n

x

x

→ x

−

1 −

1

lim

1

.

Giải: + Dạng

0

0

.

+

( )( )

( )( )

( )

( )

m m m m m

n n n n n x x x

x x x x x x m

x x x x x x n

− − − −

→ → − − − − →

− − + + + + + +

= = =

− − + + + + + +

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 1

1 1 ... 1 ... 1

lim lim lim

1 1 ... 1 ... 1

.

Ví dụ 7: Tìm

x

x x

→ x

− − −

−

3

2

1 2 3 lim

2

+ Dạng

0

0

+

( ) ( ) ( ) ( )

x x x x

x x x x x x

→ x x x x → → →

− − − − − − − − − − − −

= = −

− − − −

3 3

3

2 2 2 2

1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 3 lim lim lim lim

2 2 2 2

+

( )

dang

x

x

→ x

− −

=

−

0

3

0

2

1 1

lim

2

+

( )

dang

x

x

→ x

− −

=

−

0

0

2

2 3 1

lim

2

.

+ Vậy

x

x x

→ x

− − −

= + =

−

3

2

1 2 3 1 4 lim 1

2 3 3

.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 8: Tìm

x

x x

x

→+∞

+

+

lim

1

Giải: Dạng

∞

∞

.

+

x

x x

x

→+∞

+

=

+

lim

1

+ KQ: 1.

Ví dụ 9: Tìm ( ) x

x x x

→+∞

+ − 2

lim

+ Dạng ∞−∞

+ ( ) x

x x x

→+∞

+ − = 2

lim .

+ KQ: ∞.

Ví dụ 10: Tìm

x x

x

x

x

+

→+∞



  + 

 

 

 −   

2

2

2

2

1

lim

1

,

+ Dạng ∞

1

+

( )

( )

x

x x

x x x x x x

x

x x

x

e e

x x

→+∞

+

+ 

 



− 





− +      

−

→+∞ →+∞

      +      

  = + = =    

 

     − −    

 

2

2 2

2 2

2

2 2

2

1 1 2 2 2

2 lim

1 2

2 2

1 2 lim lim 1

1 1

.

Ví dụ 11: Tìm giới hạn sau

x

x x

→ x

−

0 −

1 cos .cos2 lim

1 cos

.

+ Dạng

0

0

.

+

( )

x x

x x x x x

→ → x x

− − + −

= = 0 0 − −

1 cos .cos2 1 cos cos2 1 cos2

lim lim

1 cos 1 cos

=

+ KQ: 5.

Ví dụ 12: Tìm giới hạn sau ( )x

x

x

→

2

1

0

lim cos .

+ Dạng ∞

1

+ Ta có: ( ) x

x x = − − = −

2

cos 1 1 cos 1 2sin

2

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

+ ( )x

x

x

→

2 =

1

0

lim cos

+ KQ:e

−

1

2

6. Giới hạn một phía

a. Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x a x a → < , (hoặc x a x a → > , ) nếu tồn tại

gọi là giới hạn trái ( hoặc giới hạn phải ). Ký hiệu

x a x a

f x f a f x f a − +

− +

→ →

lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) = = .

Ký hiệu khác:

x a x a

f x f a f x f a

→ − → +

= − = +

0 0

lim ( ) ( 0), lim ( ) ( 0).

b. Định lý: Tồn tại

x a

f x L

→

lim ( ) khi và ch = ỉ khi

x a

x a

x a x a

f x

f x

f x f x L

−

+

− +

→

→

→ →



∃







∃







 = = 

lim ( )

lim ( )

lim ( ) lim ( )

Ví dụ 13: Xét sự tồn tại của

x

x

→0 x

lim .

Ta có:

x x

x x

x x → → + +

= =

0 0

lim lim 1,

x x

x x

x x → → − −

−

= = −

0 0

lim lim 1. Vậy

x

x

→0 x

lim không tồn tại.

Ví dụ 14: Nếu

x x f x

x x



 − >

= 



 − <

4, 4 ( )

8 2 , 4

, Xác định sự tồn tại của ( )

4

limx

f x

→

.

GIẢI:

Vì f x x ( ) = − 4 với x > 4 , chúng ta có:

( )

4 4

lim lim 4 4 4 0

x x

f x x

→ → + +

= − = − =

Vì f x x ( ) = −8 2 với x < 4 , chúng ta có :

( ) ( )

4 4

lim lim 8 2 8 2.4 0

x x

f x x

→ → − −

= − = − =

Giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. Vì vậy, giới hạn tồn tại và ( )

4

lim 0

x

f x

→

=

.

Đồ thị của f được chỉ ra trong Hình 3.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

HÌNH 3

7. Vô cùng lớn, vô cùng bé

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x x → 0

nếu

x x

f x

→

=

0

lim ( ) 0 . Hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x x → 0

nếu

x x

f x

→

= +∞ 0

lim ( ) .

Chú ý:

+ x0

có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

+

x x x x

f x

→ → f x

= ∞ ⇔ =

0 0

1

lim ( ) lim 0

( )

.

x

f x x = +

1

( ) (1 )

+ Để so sánh tốc độ dần đến 0 của các VCB f(x), g(x) khi cùng x x → 0

thì xét

x x

f x

→ 0 g x

( ) lim

( )

. Ta có các trường hợp sau:

♦ Nếu

x x

f x

→ g x

=

0

( ) lim 0

( )

ta nói rằng f(x) bậc cao hơn g(x), kí hiệu

f x o g x x x = → 0

( ) ( ( )), .

♦ Nếu

x x

f x C

→ g x

= ≠

0

( ) lim 0

( )

ta nói rằng f(x) cùng bậc với g(x).

♦ Nếu

x x

f x

→ g x

=

0

( ) lim 1

( )

ta nói rằng f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f x g x ( ) ( ) ∼ .

Một số VCB cùng bậc khi x → 0 : x

sin , ln(1 ) , 1 x x x x e x ∼ ∼ ∼ + − .

ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v×

x

x

→ x

+

= 0

ln(1 ) lim 1

Định lý: Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x x → 0

. Khi đó :

x x x x

f x f x

→ → g x g x

=

0 0

*

*

( ) ( ) lim lim

( ) ( )

.

Ví dụ 15: Tính

x

x

e

→ x

−

+

2

0

1

lim

ln(1 sin3 )

.

Ta có: x

e −

2

1 ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0

Do đó :

x

x x

e x

→ → x x

−

= =

+

2

0 0

1 2 2 lim lim

ln(1 sin3 ) 3 3

.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

1.3. Tính liên tục của hàm số

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0

nếu

x x

f x f x

→

=

0

0

lim ( ) ( ).

Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D.

Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0

cần đến 3 điều kiện:

1. x0

thuộc tập xác định của hàm số.

2. Tồn tại

x x

f x

→ 0

lim ( ) .

3.

x x

f x f x

→

=

0

0

lim ( ) ( )

Nhận xét:

+ Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là

các hàm số liên tục trên miền xác định của nó.

+ Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên

khoảng này (tức là không bị gãy, không bị đứt đoạn).

Định nghĩa 2: Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0

nếu ( ) ( )

x x

f x f x

→ +

=

0

0

lim .

Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0

nếu ( ) ( )

x x

f x f x

→ −

=

0

0

lim .

Hàm số y = f (x) liên tục tại x0

khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại

x0

.

Ví dụ 16: Xét tính liên tục của hàm số ( )

x x

x

f x x

x



 − −

 ≠

=  − 



 =

2

2

2

2

1 2

+ Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 .

+ Xét tại x = 2.

( ) ( )( )

( )

x x x x

x x x x

f x x f

→ → → → x x

− − − +

= = = + = =

− −

2

2 2 2 2

2 2 1

lim lim lim lim 1 3, (2) 1

2 2

Nhưng ( ) ( )

x

f x f

→

≠

2

lim 2 . Nên f không liên tục tại 2.

Ví dụ 17: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R

ax

x

x

f x x

ae x x





 >

= 





 + − ≤ 2

sin2 0

( )

1 0

+ Hàm số liên tục với mọi x ≠ 0 , để hàm số liên tục trên R thì nó phải liên tục tại

x = 0 .

+ Tại x = 0

( )

x x

x

f x

x → → + +

= =

0 0

sin2 lim lim 2

,

( ) ( )

ax

x x

f x ae x a f

→ → − − = + − = − = 2

0 0

lim lim 1 1 (0)

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì f f f a a + − (0 ) (0 ) (0) 1 2 3 = = ⇔ − = ⇔ = .

Ví dụ 18: Hàm số f(x) không xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để hàm số f(x) liên

tục tại x = 0 với :

( )x f x x = +

1

( ) 1 2

Giải: Để hàm số liên tục tại x = 0 thì x

x x

f f x x e

→ →

= = + =

1

2

0 0

(0) lim ( ) lim(1 2 ) .

2. Điểm gián đoạn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số

không liên tục.

Nếu tồn tại f a f a + − ( ), ( ) và f a f a + − ( ) ( ) ≠ thì x = a được gọi là điểm gián đoạn loại

1.

Nếu f a f a + − ( ) ( ) = thì x = a được gọi là điểm gián đoạn khử được.

Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2.

Ví dụ 19: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau:

a.

x

f x

x

( ) b. = x

x

f x

e

−

=

1 −

1

( )

1

Giải: a. Xét tại x = 0

( )

x

f x

→ + =

0

lim

( )

x

f x

→ − =

0

lim

nên x = 0 là gián đoạn loại 1.

b. ♦ Tại x = 1.

( ) ( )

x x

f x f x

→ + =

→ − =

1 1

lim lim

nên x = 1 là gián đoạn loại 1.

♦ Tại x = 0.

( ) ( )

x x

f x f x

→ + =

→ − =

0 0

lim lim

nên x = 0 là gián đoạn loại 2.

Ví dụ 20: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn

x

x

f x

x x

 π



 ≤

= 







 − > 

cos 1

( ) 2

1 1

(ĐS: x = - 1 là điểm gián đoạn loại 1)

Bài tập về nhà: Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang

278 ( Bài 33 - 43).