Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

DƯƠNG THỊ THU

PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN, 11/2021

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 3

1.1 Dãy số và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Giới hạn của dãy số và tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của dãy số trong tìm giới hạn . . . . . . . 8

1.3.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số đề tìm giới hạn . . . . . . . . 13

1.3.3 Sử dụng định lý Lagrange trong tìm giới hạn . . . . . . . . . . 25

1.3.4 Sử dụng định lý Stolz - Cesaro trong tìm giới hạn . . . . . . . . 27

2 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀO MỘT SỐ TOÁN LÊN QUAN

ĐẾN DẪY SỐ 34

2.1 Một số bài toán về giới hạn của một tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Một số bài toán về dãy số liên quan đến hình học . . . . . . . . . . . . 43

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

1

Mở đầu

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, dãy số là một trong những nội

dung quan trọng, các dãy số đặc biệt như dãy số cấp số cộng, dãy số cấp số nhân,... là

các loại dãy số được vận dụng trong các bài toán kinh tế. Đối với các bài toán ứng dụng

thì việc tìm các dãy lặp và sự đúng đắn của phương pháp luôn gắn với lý thuyết dãy số,

giới hạn dãy số,... có thể nói đó là lý do mà trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc

gia, Quốc tế thì bài toán về dãy số luôn được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau.

Dãy số nói chung, các bài toán liên quan đến giới hạn dãy số nói riêng luôn được

đánh giá là một nội dung tương đối khó. Các bài toán về giới hạn dãy số thường đòi

hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa các số hạng của dãy số được xét,

mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn đạt một cách đầy đủ. Do vậy các bài toán về

giới hạn dãy số luôn là các bài tập thú vị nhưng thường khá phức tạp và luôn có sức hấp

dẫn, thu hút được sự yêu thích của các thầy cô dạy toán và học sinh. Để giải được một

số các bài toán về giới hạn dãy số trong các đề thi chọn học sinh giỏi thì học sinh phải

nắm được các kiến thức rộng và chuyên sâu, không thể áp dụng trực tiếp ngay được các

công thức để có được lời giải mà phải "đi đường vòng", phải qua nhiều bước trung gian.

Trong khuân khổ luận văn, chúng tôi xin dành sự quan tâm đến việc "chuyển qua giới

hạn" để đưa ra được hướng giải quyết cho một số bài toán. Tuy nhiên các cách thức này

không được được giảng dạy trong chương trình đại trà cũng như chương trình nâng cao

ở bậc phổ thông. Đã có nhiều tài liệu trình bày về giới hạn dãy số, nhưng vẫn chưa đầy

đủ, do đó với khuôn khổ luận văn thạc sĩ Toán học, chúng tôi chọn đề tài liên quan tới

giới hạn dãy số và một bài toán liên quan. Với mong muốn tìm hiểu phương pháp giới

hạn để ứng dụng vào giải một số bài toán liên quan đến dãy số là đề thi học sinh giỏi,

để làm tài liệu cho việc giảng dạy của bản thân và làm tài liệu tham khảo cho học sinh

khá, giỏi tự học, chúng tôi chọn chủ đề: Giới hạn dãy số và ứng dụng của nó làm hướng

nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình.

Nội dung của đề tài luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề

tài gồm 2 chương, cụ thể:

Chương 1. Phương pháp tìm giới hạn dãy số

Trong chương này sau khi hệ thống hoá các kiến thức cơ bản về dãy số và giới hạn

dãy số, bổ sung một số kiến thức nâng cao, luận văn trình bày một số phương pháp tính

giới hạn dãy số như: Vận dụng tính đơn điệu của dãy số; Vận dụng tính đơn điệu của

hàm số, qua đó xây dựng dãy số và tìm giới hạn; Vận dụng các kết quả kinh điển trong

2

giải tích để xác định dãy số là Định lý Lagrange và Định lý Stolz-Cesaro Các nội dung

này được minh họa bởi một hệ thống các bài toán là các bài toán khó, được sử dụng

trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế qua đó làm rõ cơ

sở cho bài toán dãy số được trình bày ở Chương 2 của luận văn.

Chương 2. Vận dụng phương pháp giới hạn vào một số bài toán liên quan đến

dãy số

Trong Chương 2,chúng tôi đưa ra điều kiện hội tụ cho một lớp dãy số, thông qua đó

xác định dãy số mới ở dạng tổng liên quan tới dãy số đã cho và xác định giới hạn của

nó. Cuối cùng là trình bày một số bài toán hình học liên quan tới giới hạn.

Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.

TS. Trịnh Thanh Hải, thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình

làm luận văn này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên, các thầy cô giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều

kiện tốt nhất trong quá trình học tập tại trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành

tới bạn bè, các bạn học viên trong lớp Cao học Toán K13 đã động viên và giúp đỡ tác

giả trong suốt thời gian học tập cùng nhau.

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ sự biết ơn vô hạn đối với cha mẹ, các anh chị em và

người thân trong gia đình mình đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học

tập.

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 7 năm 2021

Tác giả

Dương Thị Thu

3

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY

SỐ

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dãy số và bốn

phương pháp thường xuất hiện trong bài toán tìm giới hạn dãy số, bao gồm cả phương

pháp sơ cấp và cao cấp.

1.1 Dãy số và tính chất

Dãy số là một tập hợp đếm được các số thực, được đánh số và sắp xếp theo thứ tự

chỉ số tăng dần. Dãy số được ký hiệu là (un)

∞

n=1

hay {un}

∞

n=1

hoặc đơn giản (un)n>1 hay

(un),.... Hay viết một cách tường minh, dãy số là tập hợp được ký hiệu như sau

{u1,u2,...,un,...}.

Cũng có thế xem dãy số là tập giá trị của hàm có tập xác định là tập số nguyên dương

1,2,3,.... Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 định nghĩa dãy số như sau.

Định nghĩa 1.1.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N

∗ được gọi là

một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu

u : N

∗ → R

n 7→ u(n).

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

u1,u2,u3,...,un,...

và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Các số hạng của dãy số thường được kí hiệu là un thay vì u(n). Dãy số được kí hiệu

là {un} hoặc (un). Trong chương trình phổ thông, học sinh được trang bị một số dãy số

đặc biệt nhưng dãy cấp số cộng, cấp số nhân và dãy số Fibonacci. Các loại dãy số này

có nhiều tính chất thú vị và xuất hiện trong các ứng dụng thực tế. Tuy vậy, nội dung luận