Giáo trình lý thuyết đa thức

T H A N H N H A N

Giao trinh

L Y T H U Y E T

B A T H U C

O K I

ODG . .. ,

Ha «01 NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI

Lê Th¡ Thanh Nhàn

G IÁO TRÌNH

LY THUYET DA THI/C

NHÀ XUÁT BÀN DAI HOC QUÔC GIÀ HÀ NOI

Mue lue • •

M u e lu e ........................................................................................ 3

Lòfi nói d à u ................................................................................... 5

Ch ifdng 1. V àn h da thùc m ot b i é n .................................... 9

1.1. Vành da thùc.............................................................................. 9

1.2. Phép chia vói d i i ................................................................ 14

1.3. Uóc chung lón nhát cüa càc da thute................................ 21

1.4. Idean trong vành da thùc.................................................. 27

1.5. Nghiem cüa da thùc ........................................................... 32

1.6. Càc còng thùc nghiem co d ien.......................................... 42

1.7. Bài tap ................................................................................ 52

Chùcfng 2. D a thùc bât khâ q u y ...................................... 57

2.1. Khái niêm da thùc bât khâ quy......................................... 58

2.2. Sii phân tich diiy nhât, t.rnng vành d a thùrc.......................... 67

2.3. Tinh bât khâ quy cüa da thùc trên Q ............................... 74

2.4. Truòng phân rà và truòng hüu h an.................................. 87

2.5. Tinh bât khâ quy trên truòng Zp ..................................... 98

2.6. Bài tap.............................................................................. 105

Chùcfng 3. V ành da thùc nh ièu b i é n ............................ 109

3.1. Khái niêm vành da thùc nhièu bién................................. 110

3.2. Da thùc dèi xùng.............................................................. 117

3.3. Dinh li cd ban cüa dai so và ùng dung xét tinh bât khâ quy

trên Q ....................................................................................... 128

4 Ly thuyét da thiic

3.4. Dinh li cd só Hilbert, idéan và tàp dai s é .................... 142

3.5. Dinh li khong diem Hilbert, idean c&n và tap dai so........ 151

3.6. Bài tàp .............................................................................. 162

Chiicfng 4. G id i th ièu ve cd sd G r o e b n e r ...................... 167

4.1. Idèan dòn thiìc................................................................. 169

4.2. Thù: ty don thiìc và thuàt toàn chia vói d i i .................... 176

4.3. Cd sò Groebner ............................................................... 185

4.4. Thuàt toàn Buchberger .................................................. 193

4.5. Bài tàp .............................................................................. 203

Tài lièu tham k h à o ............................................................. 207

Löi nói däu

Lí thuyét da thúc lä mót nói dung quan trong xuyén suét các bäc

hoc, tú trung hoc cd sö, trung hoc pho thöng den dai hoc, sau dai hoc.

Tuy nhien, ö Viet Nam có rát ít täi liéu chuyén säu vé da thúc, däc

biet lä khía canh dai sé cüa da thúc. Ngoai trú giáo trinh cüa GS Le

Tuán Hoa [9] viét cho hoc phän Dai so máy tính, kién thúc ve da thúc

chi diídc de cäp sd lude trong các sách dai sé dai ctfdng. Vói lí do dó,

chúng toi thiet ké giáo trinh näy de giáng day cho hoc vién cao hoc

ngänh toán nhüng ket quä cd bán vä chuyén säu vé lí thuyét da thúc.

Giáo trinh diídc viét vä hoän thien qua thiic té giáng day sau dai hoc

hoc phän lí thuyét da thúc trong nhiéu näm tai triíóng Dai hoc Khoa

hoc - Dai hoc Thái Nguyen.

Giáo trinh gom 4 chudng. Chiidng 1 trinh bäy kién thúc cd bán vé

da thúc mot bién: phép chia vói du, thuät toán Euclid tim líóc chung

lón nhát, nghiem cüa da thúc vä cöng thúc nghiem cüa da thúc bäc

2,3,4. Néu các giáo trinh triíóc däy täp trung xét các da thúc tren

mot trtfóng thi giáo trinh näy lai cé gáng tong quát tren vänh vói

các giá thiét “yen nh át" có tho. Ch iídng 2 la chuyén dé vé da llilíc

bát khá quy, trong dó nhán manh su phán tich duy nhát cüa da thúc

tren mién phán tích duy nhát (Muc 2.2) vä mot sé phudng pháp xét

tính bát khá quy tren Q (Muc 2.3). Dinh lí vé sú ton tai duy nhát

cüa trtíóng phän rä vä cáu trüc cüa triíóng húu han cüng diídc trinh

bäy ö däy vi các chúng minh can dén tính bát khá quy cüa da thúc

(Muc 2.4). Sú dung trudng phän rä, mot sé lóp da thúc bát khá quy

tren triíóng Z p düóc diía ra trong Muc 2.5. Chudng 3 nghién cúu vé

da thúc nhiéu bién: vänh da thúc nhiéu bién, da thúc déi xúng vä

hai dinh lí cüa Hilbert. Dinh lí cd ban cüa dai sé, mäc dü nói vé da

thúc mot bién, nhiíng dude trinh bäy ó day vi chúng minh cüa dinh

lí can dén da thúc déi xúng. Mót úng dung thú vi cüa dinh lí lä dé

6 Ly thuyet da thiic

xet tinh bat khS. quy tren Q (Muc 3.3). Dinh li cd sd Hilbert va Dinh

li khong diem Hilbert la hai trong nhiing ket qua quan trong nhat v l

da thiic nhieu bien, diidc trinh bay trong hai Muc cu6i cua Chiidng

3. Suf dung hai dinh li nay, moi quan he giira cac idean trong vanh

da thiic va cac tap dai so diidc lam ro. Chudng 4 danh de gidi thifu

mot so ket qua ban dau v l cd sd Groebner, trong d6 quan t&m den

idean ddn thtic, thuat toan chia vdi dtf, cd sd Groebner, tieu chuan

Buchberger va thuat toan Buchberger. Phan cuoi cua chUdng diia ra

hai ting dung cua cd sd Groebner trong ldi giai bai toan thanh vien va

giii he phudng trinh da thutc bang phudng phap khuf biln.

Giao trinh dude viet nghieng ve khia canh dai so cua da thtic, do

do nhiing van de v l cau true vanh, idean, nghiem va phan tich thanh

nhan tut dude quan tam d&c biet. Trong suot giao trinh, chufng minh

cac ket qua deu dung cong cu thuan tuy cua dai so, ngoai trii chutng

minh Dinh li cd ban cua dai so. Cac ket qua cua chtfdng trudc thudng

dtfdc sijf dung thudng xuyen trong childng sau, dong thdi ckc ket qua

cua chudng sau lai la sir t8ng quat ket qua cua childng trudc. Ch&ng

han, Chudng 1 nghien cufu ve thuat toan chia da thiic mot bien thi

Chudng 4 md rpng thuat toan niiy cho da thiic nhieu bien; ChiTdng 1

quan tam nghiem cua da thiic thi Chudng 3 nghien cufu tap dai s6, do

la tap nghiem cua mot ho da thiic.

Ben canh nhiing kien thiic ve da thiic bat kha quy da dude biet tfif

lau, chung toi cung trinh bay them nhiing ket qua gan day trong mot

so bhi bdo [12], [11], [7]. Phan kien thiic dai cUdng diidc tham kh&o tit

[6], [10], [13], [2], Chiing minh Dinh li khong diem Hilbert diidc tham

kh&o tit [16]. Mot so vi du ve cd sd Groebner diidc lay tit [9] va [5].

Thong tin cua cac nha toan hoc diidc tham khio ttt [15], [8] va trang

Wikipedia.

Giao trinh dude vilt tren tinh than ngtfdi hoc da diidc trang bi

kien thiic cd ban d bac dai hoc. Tuy nhien, d l thuan tien cho ngiidi

hoc, kiln thiic ve dai so tuyen tinh (khong gian vec td, ma tran, he

phiidng trinh tuyen tinh) va dai so tritu tiidng (nhom, vanh, triidng,

mo dun, dong cau) dlu diidc nhS,c lai triidc khi sd dung. D ilu nay lam

cho ndi dung v l da thiic doi khi bi ngat mach, nhiing lai giup ngudi

doc tien theo d5i hdn. Phan bai tap diidc thiet ke sau moi chiidng

nhkm cung co kiln thiic li thuylt, nhiing bai tap kho dude ki hieu

them dau *.

Myc ly.c 7

Trong suót giào trinh, luôn già thiét V là vành giao hoàn có don

vi và K là mot truòng. Ta ki hiêu Z ,Q ,R ,C làn luç)t là vành càc so

nguyèn, truòng càc sé hüu tÿ, truòng càc sé thtfc, truòng càc sé phúc.

Vói moi sé ttf nhièn n > 1, vành càc sé nguyèn modulo n (hay vành

càc lóp thàng du theo môdun n) duoc ki hiêu là Z n. Cho thuàn tien,

càc phàn tur cüa Z„ duoc viét nhu càc sé nguyèn vói chú ÿ ràng a = b

trong Z n khi và chi khi a — b chia hêt cho n trong Z.

Tôi xin chàn thành câm on Tien sì Doàn Trung Ciiòng dà süa kï

bân thào và cho tôi nhièu góp y quÿ bàu.

Tàc già

Lÿ thuyét da thúc

Chiïdng 1

Vành da thiîc mot bien

Mue tiêu cüa ChUdng 1 là trinh bày mot so két quâ cd sô ve vành

da thúc mot bien. Khâi niêm vành da thúc và tinh chat pho dung cüa

vành da thúc dude dua ra trong Mue 1.1. Ba Mue tiép theo trinh bày

dinh li chia vdi du, thuât toán Euclid tim udc chung ldn nhât cüa các

da thúc và eau trüc cüa idêan trong vành da thúc. Mue 1.5 gidi thiêu

vè nghiêm cüa da thúc và nhüng van de liên quan nhu công thúc Viete,

hàm da thúc, phàn tú dai sé và phàn tú siêu viçt. Mue cuoi trinh bày

các công thúc co dien bieu dien nghiêm cüa da thúc bâc 2, 3, 4.

1.1. Vành da thrïc

Mue này dành de gidi thiêu khâi niêm vành da thúc mot bien và

tinh chât pho dung cüa vành da thúc.

Nhác lai ràng mot tâp V cùng vói phép công dUdc goi là mot nhóm

néu càc dieu kiên sau thôa mân:

(i) Phép công có tinh két hdp: a + (ò + c ) = (a + ò )+ c vói moi a,b,c £ V.

(ii) Tèn tai phàn tú 0 G V sao cho a + 0 = 0 + a = a vói moi a G V.

(iii) Vói moi a £ V , ton tai -a £ V sao cho a + (—a) = (—a) + a = 0.

10 ChiCdng 1. Vanh da thtic mqt bien

(Phan tut —a dUdc goi la phtin tit ddi cua a).

N lu them dilu kien a + b = b + a vdi moi a, b £ V thi V duoc goi la

nhdm giao hodn. Nh6m cgng giao hoan V co trang bi them phep toan

nhan duoc goi la mot vanh neu 3 dieu kien sau thoa man:

(i) Ph6p nhan c6 tinh kit hop: (ab)c — a (be) vdi moi a,b,c £ V.

(ii) Tdn tai phan tit don vi 1 £ V sao cho a l = la = a vdi moi a £ V.

(iii) a(b + c) = ab + ac va (6 + c)a = ba + ca vdi mpi a,b,c £ V.

Neu th§m dieu ki§n ab = ba vdi mpi a,b £ V thi V lk vanh giao hodn.

Tit day cho den hit chuong nay, luon gia thiet V la mSt vanh giao

hokn vdi phan tut khong ki hieu lk 0 vk phan tut ddn vi ki hieu la 1.

1.1.1 D inh ngh ia . Mot da thtic mot biin vdi he so tren V c6 the

dUdc viet dudi dang f ( x ) = anx n + an-xxn~l + ... + axx + a0, trong

d6 a o , . . . ,a n £ V va x la mot ki hieu goi lk biin (hay biin khdng

00

xdc dinh). Ta cung viet da thutc nay dudi dang f(x) = J2aixi ho&c

¿=o

f(x) = 52 aix \ trong dd aj = 0 vdi moi i > n. Hai da thtic a»x * va

53 biX1 lk bhng nhau n lu a; = bi vdi moi i.

Ki hieu la V[x\ lk tap ckc da thtic mot bien x vdi h§ so tren V.

Cho f ( x ) = anx n + a^-iX" -1 + ... + aix + a0 £ V[x\. Ta goi a0 lk

h$ s6 tijl do cua f(x). Neu an ^ 0 thi n dtfdc goi la b&c cua f(x) va

dtfdc ki hi$u lk d eg/ (x ). Trong trudng hdp nky, an dtfdc goi lk hi

s6 cao nhdt cua f(x). Neu an — 1 thi f(x) dtfdc goi lk da thtic dang

chudn (monic polynomial). Ta khong dinh nghia bac cho da thtic 0.

N lu f(x) = a € V thi f(x) dtf(?c goi la da thtic hhng. Ckc da thutc bac

1 dtfdc goi lk da thtic tuyin tinh.

1.1.2 D inh ngh ia. Vdi hai da thtic f ( x ) — Y l aix ' 9(x ) —

1.1. Vanh da thiCc 11

trong V\x\, dinh nghla

f(x) + g(x) = + &i)x\

f ( x)g(x) = £ ckx k, trong do ck = aibj v<5i moi k.

i+j=k

Khi do V[x\ la vanh giao hoan v<5i phep cpng va nhan da thiic. Vanh

V[x\ duoc goi la vanh da thxlc mot biin x vdi h i s6 trong V . Phan tut

khong cua vanh lk da thtic 0, phan til don vi la da thutc 1.

Ta co cac tinh chat sau day vg bac cua tong va tich.

1.1.3 B o de. Cho f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) £ V\x] la cdc da thicc khac 0.

(i) Niu f (x ) + g(x) ^ 0 thi

deg(f(x) + g(x)) < m a x {d e g / (i ),d e g 5 (x ) } .

(ii) Niu f(x)g(x) ^ 0 thi

deg(f(x)g{x)) < d eg/ (x ) + degg (x ).

Cho a £ V. Ta noi a la udc cua khong niu a ^ 0 va ton tai b £ V,

b ^ 0 sao cho ab = 0. Ta noi a la kha nghich n iu ton tai b £ V

sao cho ab = 1. Vanh giao hokn V dUdc goi la m6t miin nguyin niu

V / {0 } vti V kliOiig co uOe cua kliOng. Vknh giao hoan V dUOc goi la

mot trudng niu V ^ {0 } va moi phan tut khac khong cua V deu kha

nghich. Chu y ring moi trtfdng lk mot mien nguyen va ton tai nhiing

mien nguyen khong la trtfdng, chkng han nhu mien cac so nguyen Z.

Tuy nhien moi mien nguyen hiiu han la mot trudng.

Ro rang V la mien nguyen niu va chi niu V[x\ lk mien nguyen.

Tuy nhien, ke ca khi V la trudng thi V [x ] van khong bao gid lk trudng

vi phan tii x £ V[x) khong kha nghich. Chung ta co cong thutc tinh

bac cua tich hai da thutc tren mien nguyen nhu sau.

12 ChiCdng 1. Vành da thúc mot bien

1.1.4 B o de. Néu V là mien nguyên thi

deg (f(x)g(x)) = deg f{x) + deg g(x)

vói moi f {x ),g (x ) G V[x], f(x),g(x) ^ 0.

Mot ánh xa <p : V —> V ' giüa hai vành V và V ' diïçJc goi là mot dong

câu vành neu <¿>(1) = 1, <p(a + b) = tp(a) + tp(b) và ip(ab) = <p(a)<p(b)

vôi moi a, b G V. Mot dèng câu ip diiôc goi là dòn câu ( toàn câu, dâng

eau) néu </? là don ành (toàn ánh, song ánh). Hai vành V và V ditöc

goi là dâng câu vói nhau, viet là V = V', néu cô mot dâng câu giüa

chúng. Chú y ràng hop thành cua hai dong câu vành là mot dong câu

vành, ánh xa ngiTOc cüa mot dâng câu vành là mot dâng câu vành. Rô

ràng ánh xa dèng nhât id^ : V —> V là mot dâng câu vành, ánh xa

nhúng j : V ^ V\x\ cho bòi j(a) = a vói moi a G V là mot don câu

vành. Ta goi j là phép nhúng ti/ nhiên hay phép nhúng chính tâc.

1.1.5 M ên h de. (Tinh chat phô dung). Vói moi vành giao hoàn S,

moi phàn tú s G S và moi dong câu ip : V —> S, ton tai duy nhât

mot dong câu tp* : V[x\ —> S sao cho <p*(x) = s và <p*j = <p, trong dô

j : V —► V[x] là. ph.ép nhúng txf nhiên.

Chúng minh. Xét ánh xa ip* : V [x ] —> S xàc dinh bôi

<¿>*(a0 + aix + . . . 4- anx n) = <p(a0) + ip(ai)s + ... + ip(an)sn,

vói moi a0 + axx + . . . + anx n G V[x\. Khi dô ip* là mot dong câu vành,

<p*{x) — s và (p*j — ip.

Ta chúng minh tinh duy nhât cua ip*. G ià sú tp* : V[x) —> S là dèng

câu thoâ mân <p\(x) = s và ip\j = <p. Khi dó <¿>*(a) = ip\j{a) = <p(a)

1. 1. Vành da thúc 13

vói moi a € V. Do <p* là dèng vành nèn

ifii clq -+■ cl\X + . . . + a nx n)

= <PÌ(ao) + + . . . + y\(an)y\(x)n

— lfi(ao) + lP(al ) s + • • • + <p((ln)sn

= ip*(do + Q-iX + ... + anx n)

vói moi ao + a\x + ... + anx n E V[x}. Vi vày <p* — □

Cho A là mot tap con cüa V. Ta nói A là mot vành con cüa V néu

A dóng kin vói phép công và phép nhan và A làm thành mot vành vói

hai phép toàn này. Chú y ràng néu A là vành con cüa V thì ánh xa

nhúng j : A —> V cho bòi j(a) = a là mot don câu. Ta goi don cau

này là dong câu nhúng.

Két qua sau suy ra ngay tù Menh de 1.1.5.

1.1.6 H ê quà. Cho A là vành con cüa V. Khi dó vói môi v S V, tèn

tai duy nhât môt dong câu vành j * : A[x] —> V sao cho j * { x ) = v và

j*(a) = a vói moi a G A.

Hê quâ tiép theo cho ta mot cách xác dinh khàc cüa vành da thúc.

1.1.7 H ê quâ . Già sú B là môt vành giao hoân, b G B và k : V —> B

là dong cau vành sao cho vói môi vành giao hoán S, moi dong câu

{p : V —» S và moi phàn tù s € S, tèn tai duy nhât môt dèng câu

</>* : B —» S sao cho ip*(b) = s và tp*k = (p. Khi dó B dàng câu vói

vành da thúc V[x\ và k là dòn câu.

Chùng minh. Vói S = V[x], s — x và j : V —> S là phép nhúng tu

nhiên, theo giâ thiét tèn tai duy nhât mot dèng eau j * : B —> V[x]

sao cho j*(b) — x và j*k = j. Vi j là don câu nên k là don eau.

14 Chiídng 1. Vành da t.hiìc, mçt bien

Mät khác, theo Mênh de 1.1.5, vöi dong câu k : V —> B, ton tai duy

nhât mot dong câu k* : V[x\ - » B sao cho k*(x) = b và k*j = k.

Suy ra (j*k*)j = j*{k*j) = j*k = j = idv[x]j, trong dó idV|x] là dèng

nhât trên V[x\. Chú ÿ ràng j*k*(x) = j*(b) = x và id^ [x ](i) = x. V i

the, theo tinh duy nhât trong Mênh de 1.1.5 ta suy ra j*k* = i d ^ .

Do dó k* là don câu. Hoàn toàn tüdng ttf, tù già thiét ta suy ra

( k*j*)k = k = idBfc. Rô ràng k*j*(b) = b và idB (ò) = b. Vi thé theo

tinh duy nhât trong già thiét ta suy ra k*j* = id^- V i vây k* là toàn

câu. Do dó k* là däng câu, túc là B = V[x). □

Tù Hê quâ 1.1.7 chúng ta có th i dinh nghïa vành da thúc nhu sau:

Vành da thúc môt bién vói hê so trên V là mot bô ba (B , k,b), trong

dó B là mot vành giao hoàn, k : V -> B là môt dong câu vành và b

là mot phàn tü cua B thoâ màn: vói moi vành giao hoàn S, moi phàn

tú s G S' và moi dong câu <p : V —► S, ton tai duy nhât môt dèng câu

ip* : B —> S sao cho <p*(b) = s và tp*k = ip.

1.2. Phép chia vói diï

T ron g suot M u e này, luôn g ià thief. V là m ôt vành giao hoán có

don vi. Mue tiêu cua Mue này là trình bày Dinh li chia vói du trong

vành da thúc V[x\. Dinh li này là mot két quâ rât quan trong trong 11

thuyét da thúc. Nó giúp chúng ta xây dtfng dtfoc thuât toàn tìm Hòc

chung lón nhât cua các da thúc (xem Mue 1.3), xàc dinh dildc câu

trúc cua các idêan trong vành da thúc (xem Mue 1.4), và cho nhüng

thông tin vè nghiêm cua da thúc (xem Mue 1.5). Truóc hét, ta can bo

d l sau.

1.2.1 B o de. Cho 0 ^ f(x),g(x) G V[x\. Già svi deg f ( x ) = n và

1.2. Phép chia vói dit 15

d egg(x) — m. Dàt k = m ax {n — m + 1,0}. Già sü bm là hê sé cao

nhât cúa g(x). Khi dô ton tai mot câp da thúc q (x ) , r(x) € V\x\ sao cho

b£ ,/ (x ) = q(x)g(x) + r (x ), trong do r ( x ) = 0 hoâc d eg r (x ) < degg (x ).

Han nüa, néu hê sé cao nhât cúa g(x) không là UÔc cúa 0 thi câp

q ( x ) , r ( x ) là xâc dinh duy nhât.

Chûng minh. Goi hê so cao nhât cua / (x ) là an. TrUôc het ta chúng

minh stf tèn tai q(x) và r (x ) bàng quy nap theo n. Néu n < m thi k = 0

và ta chon q(x) = 0 và r (x ) = / (x ). Cho n > m và già sù két quâ dâ

dùng cho truàng hçJp bâc nhô hdn n. Khi dó k — m a x {n -m + l , 0 } > 1.

Dàt

/ i(x ) = ôm/ (x ) - anxn~mg(x).

Néu / i (x ) = 0 thi bmf ( x ) = anxn~mg(x). Chû ÿ ràng k > 1, do dô

bm f ( x ) = ^m_ 1anxn~m<7(x ). Chon q(x) = 6^_ 1anxn_m và r (x ) = 0 ta

có két quâ. Giâ sù / i(x ) ^ 0. Khi dô deg / i(x ) = ni ^ n — 1. Dät

ki = m ax{ni - m + 1,0}.

Vi ki < k — 1 nên theo già thiét quy nap, ton tai qi(x), r i (x ) £ V[x] sao

cho b£j/i(x) = qi(x)g(x) + r i (x ), trong dô r i (x ) = 0 hoâc d e g r j(x ) <

deg</(x). Tu dâng thúc trên ta có bmf ( x ) = / i(x ) + anx n~mg(x). Do

dô ta có

6^l/ (x ) = 6^ 1(/ i (x ) + ûnx " -m5 (x ) )

= bkm- ' - klbkM x ) + bkm- lanx n- mg(x )

= ( b ^ q i i x ) + bkm- lanx n- m)g (x ) + b ^ ' r ^ x ) .

Dät q(x) = bl^ 1 ~klqi(x) + b ^ 1 anxn~Tn và r (x ) = ô^-1-fclr 1(x ). Khi dô

bkmj ( x ) = q(x)g(x) + r (x ), vôi r(x) = 0 hoâc d e g r (x ) < deg<7(x ).