Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giải SBT toán 8 chương 2 phân thức đại số
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Bài 1: Phân thức đại số
Bài 1 trang 23 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau
chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 3 3 4 x y 7x y
5 35xy
=
;
b)
2
2
x (x 2) x
x(x 2) x 2
+
=
+ +
;
c)
2
2
3 x x 6x 9
3 x 9 x
− − +
=
+ −
;
d)
3 2 x 4x x 2x
10 5x 5
− − −
=
−
.
Lời giải:
a) Ta có: x2y
3
.35xy = 35x3y
4
5.7x3y
4 = 35x3y
4
Suy ra: x2y
3
.35xy = 5.7x3y
4
Vậy
2 3 3 4 x y 7x y
5 35xy
= .
b) Ta có: x2
(x + 2)(x + 2) = x2
(x + 2)2
x(x + 2)2
.x = x2
(x + 2)2
Suy ra: x2
(x + 2)(x + 2) = x(x + 2)2
.x
Vậy
2
2
x (x 2) x
x(x 2) x 2
+
=
+ +
.
c) Ta có:
(3 – x). (9 – x
2
) = (3 – x).(3 – x).(3 + x)= (3 – x)2
(3 + x) (1)
Và (3 + x).( x2 – 6x + 9) = (3 + x).(x – 3)2 = (3 + x). (3 – x)2
(2)
(Vì (x – 3) = – (3 – x) nên (x – 3)2 = [– (3 – x)]2 = (3 – x)2
)
Từ (1) và (2) suy ra: (3 – x).(9 – x
2
) = (3 + x).(x2 – 6x + 9)
Do đó:
2
2
3 x x 6x 9
3 x 9 x
− − +
=
+ −
.
d) Ta có: (x3 – 4x).5 = 5x3 – 20x
(10 – 5x)(– x
2 – 2x) = – 10x2 – 20x + 5x3 + 10x2 = 5x3 – 20x
Suy ra: (x3 – 4x).5 = (10 – 5x)( – x
2 – 2x)
Vậy
3 2 x 4x x 2x
10 5x 5
− − −
=
−
.
Bài 2 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy
tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
a)
2
2
A 6x 3x
2x 1 4x 1
+
=
− −
;
b)
2
4x 3x 7 4x 7
A 2x 3
− − −
=
+
;
c)
2
2 2
4x 7x 3 A
x 1 x 2x 1
− +
=
− + +
;
d)
2 2
2
x 2x x 2x
2x 3x 2 A
− +
=
− −
.
Lời giải:
a)
2
2
A 6x 3x
2x 1 4x 1
+
=
− −
⇒ A(4x2 – 1) = (2x – 1).(6x2 + 3x)
⇒ A(2x – 1)(2x + 1) = (2x – 1).3x(2x + 1)
⇒ A = 3x
Khi đó
2
2
3x 6x 3x
2x 1 4x 1
+
=
− −
Vậy A = 3x.
b)
2
4x 3x 7 4x 7
A 2x 3
− − −
=
+
⇒ (4x2 – 3x – 7)(2x + 3) = A(4x – 7)
⇒ (4x2 + 4x – 7x – 7)(2x + 3) = A(4x – 7)
⇒ [4x(x + 1) – 7(x + 1)](2x + 3) = A(4x – 7)
⇒ (x + 1)(4x – 7)(2x + 3) = A(4x – 7)
⇒ A = (x + 1)(2x + 3) = 2x2 + 3x + 2x + 3 = 2x2 + 5x + 3
Khi đó
2
2
4x 3x 7 4x 7
2x 5x 3 2x 3
− − −
=
+ + +
Vậy A = 2x2 + 5x + 3.
c)
2
2 2
4x 7x 3 A
x 1 x 2x 1
− +
=
− + +
⇒ (4x2 – 7x + 3).(x2 + 2x + 1) = A.(x2 – 1)
⇒ (4x2 – 4x – 3x + 3).(x + 1)2 = A.(x + 1)(x – 1)
⇒ [4x(x – 1) – 3(x – 1)].(x + 1)2 = A.(x + 1)(x – 1)
⇒ (x – 1)(4x – 3)(x + 1)2 = A(x + 1)(x – 1)
⇒ A = (4x – 3)(x + 1) = 4x2 + 4x – 3x – 3 = 4x2 + x – 3
Khi đó
2 2
2 2
4x 7x 3 4x x 3
x 1 x 2x 1
− + + −
=
− + +
Vậy A = 4x2 + x – 3.
d)
2 2
2
x 2x x 2x
2x 3x 2 A
− +
=
− −
⇒ (x2 – 2x).A = (2x2 – 3x – 2)(x2 + 2x)
⇒ x(x – 2).A = (2x2 – 4x + x – 2).x(x + 2)
⇒ x(x – 2).A = [2x(x – 2) + (x – 2)].x(x + 2)
⇒ x(x – 2).A = (x – 2)(2x + 1).x.(x + 2)
⇒ A = (2x + 1)(x + 2) = 2x2 + 4x + x + 2 = 2x2 + 5x + 2
Khi đó
2 2
2 2
x 2x x 2x
2x 3x 2 2x 5x 2
− +
=
− − + +
Vậy A = 2x2 + 5x + 2.
Bài 3 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Bạn Lan viết các đẳng thức sau đây và đố các
bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy tìm và sửa chỗ sai cho đúng.
a)
2
2
5x 3 5x 13x 6
x 2 x 4
+ + +
=
− −
;
b)
2
2
x 1 x 3
x 3 x 6x 9
+ +
=
+ + +
;
c)
2
2
x 2 x 2
x 1 x 1
− +
=
− +
;
d)
2 2
2 2
2x 5x 3 2x x 3
x 3x 4 x 5x 4
− + − −
=
+ − + +
.
Lời giải:
a) Ta có: (5x + 3)(x2 – 4) = 5x3 – 20x + 3x2 – 12 (1)
Và (x – 2)(5x2 + 13x + 6) = 5x3 + 13x2 + 6x – 10x2 – 26x – 12
= 5x3 – 20x + 3x2 – 12 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (5x + 3). ( x2 – 4) = (x – 2).(5x2 + 13x + 6).
Vậy đẳng thức đúng.
b)
Ta có: (x + 1)(x2 + 6x + 9) = x
3 + 6x2 + 9x + x2 + 6x + 9 = x3 + 7x2 + 15x + 9
Và (x + 3)(x2 + 3) = x3 + 3x + 3x2 + 9
Từ trên suy ra: (x + 1)(x2 + 6x + 9) ≠ (x + 3)(x2 + 3)
Vậy đẳng thức sai.
Suy ra:
2
2
x 1 x 3
x 3 x 6x 9
+ +
+ + +
Sửa lại
2
2
x 1 x 4x 3
x 3 x 6x 9
+ + +
=
+ + +
c)Ta có: (x2 – 2)(x + 1) = x3 + x2 – 2x – 2
và (x2 – 1)(x + 2) = x3 + 2x2 – x – 2
Ta có: (x2 – 2)(x + 1) ≠ (x2 – 1)(x + 2)
Vậy đẳng thức sai.
Suy ra:
2
2
x 2 x 2
x 1 x 1
− +
− +
Sửa lại:
2
2
x x 2 x 2
x 1 x 1
+ − +
=
− +
d) Ta có: (2x2 – 5x + 3)(x2 + 5x + 4)
= 2x4 + 10x3 + 8x2 – 5x3 – 25x2 – 20x + 3x2 + 15x + 12
= 2x4 + 5x3 – 14x2 – 5x + 12
Và (x2 + 3x – 4)(2x2 – x – 3)
= 2x4 – x
3 – 3x2 + 6x3 – 3x2 – 9x – 8x2 + 4x + 12
= 2x4 + 5x3 – 14x2 – 5x + 12
Ta có: (2x2 – 5x + 3)(x2 + 5x + 4) = (x2 + 3x – 4)(2x2 – x – 3)
Vậy đẳng thức đúng.
Bài tập bổ sung
Bài 1.1 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm đa thức P để
2 3
x 3 P
x x 1 x 1
−
=
+ + −
. Phương
án nào sau đây là đúng ?
(A) P = x2 + 3
(B) P = x2 − 4x + 3
(C) P = x + 3
(D) P = x2 – x – 3.
Lời giải:
Để
2 3
x 3 P
x x 1 x 1
−
=
+ + −
thì: (x − 3). (x3 − 1) = (x2 + x + 1).P
Hay (x − 3).(x − 1).(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1).P
Suy ra: P = (x − 3).(x − 1) = x
2 – x − 3x + 3 = x2 – 4x + 3
Chọn đáp án B.
Bài 1.2 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa
thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :
a)
2
(x 2).P (x 1).Q
;
x 2 x 4
+ −
=
− −
b)
2 2
(x 2).P (x 2).Q
x 1 x 2x 1
+ −
=
− − +
.
Lời giải:
a)
2
(x 2).P (x 1).Q
;
x 2 x 4
+ −
=
− −
⇒ (x + 2).P.(x2 – 4) = (x – 2)(x – 1).Q
Hay (x + 2)(x – 2)(x + 2).P = (x – 2)(x – 1).Q
Khi đó ta chọn P = x – 1 thì Q = (x + 2)2 = x2 – 4x + 4.
b)
2 2
(x 2).P (x 2).Q
x 1 x 2x 1
+ −
=
− − +
⇒ (x + 2).P.(x2 – 2x + 1) = (x2 – 1)(x – 2).Q
Hay (x + 2).(x – 1)2
.P = (x – 1)(x + 1)(x – 2).Q
Chọn P = (x – 2)(x + 1) = x2 – x – 2 thì Q = (x + 2)(x – 1) = x2 + x – 2.
Bài 1.3 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức
P
Q
và
R
S
.
Chứng tỏ rằng :
a) Nếu
P R
Q S
=
thì
P Q R S
Q S
+ +
= .
b) Nếu
P R
Q S
=
và P ≠ Q thì R ≠ S và
P R
Q P S R
=
− −
.
Lời giải:
a) Nếu
P R
Q S
=
⇒ PS = QR (1). Vì
P
Q
và
R
S
là các phân thức
⇒ Q, S khác không.
Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với QS
PS + QS = QR + QS
⇒ (P + Q).S = Q.(R + S)
P Q R S
Q S
+ +
=
(đpcm).
b)
P R
Q S
=
⇒ PS = QR (1) và P ≠ Q, R ≠ S
Trừ từng vế đẳng thức (1) với PR ta được: PS – PR = QR – PR
⇒ P(S – R) = R(Q – P)
P R
Q P S R
=
− −
(đpcm).
Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức
Bài 4 trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền
một đa thức thích hợp vào các chỗ vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:
a)
2
2
x x x
5x 5 ......
−
=
−
;
b)
2 3 x 8 3x 24x
2x 1 .........
+ +
=
−
;
c)
2
2
...... 3x 3xy
x y 3(y x)
−
=
− −
;
d)
2 2
2 2
x 2xy y ......
x y y x
− + −
=
+ −
.
Lời giải:
a) Ta có: x – x
2 = x.(1 – x)
(Tử thức của phân thức bên phải bằng tử thức của phân thức bên trái chia cho (1 –
x). Do đó ta chia cả tử và mẫu của phân thức bên trái cho 1 – x thì thu được phân
thức bên phải.)
2
2 2
x x x(1 x) x(1 x) x
5x 5 5(x 1) 5(x 1)(x 1) 5(x 1)
− − −
= = =
− − + − − +
Vậy đa thức cần điền là – 5(x + 1) = – 5x – 5.
b) 3x3 + 24x = 3x.(x2 + 8).
(Tử thức của phân thức bên phải bằng tử thức của phân thức bên trái nhân với 3x.
Do đó ta nhân cả tử và mẫu của phân thức bên trái với 3x thì thu được phân thức
bên phải)
2 2 3
2
x 8 (x 8).3x 3x 24x
2x 1 (2x 1).3x 6x 3x
+ + +
= =
− − −
Vậy đa thức cần điền là 6x2 – 3x.
c) 3(y – x)2 = 3.(x – y)2 = (x – y).3(x – y)
(Mẫu thức của phân thức bên trái bằng mẫu thức của phân thức bên phải chia cho
3(x – y)
Do đó ta chia cả tử và mẫu của phân thức bên phải cho 3(x – y) để thu được phân
thức bên trái).
2
2 2
3x 3xy 3x.(x y) x
3(y x) 3(x y) x y
− −
= =
− − −
Vậy đa thức cần điền là x.
d) y
2 – x
2 = (y – x)(y + x)
(Mẫu thức của phân thức bên phải bằng mẫu thức của phân thức bên trái nhân với
(y – x).
Do đó ta nhân cả tử và mẫu của phân thức bên trái với (y – x) để thu được phân
thức bên phải).
2 2 2 3 3
2 2
x 2xy y (y x) (y x) (x y)
x y x y (x y).(y x) y x
− + − − − − − −
= = =
+ + + − −
.
Vậy đa thức cần điền là (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y
3
.
Bài 5 trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân
thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước:
a)
2
4x 3
x 5
+
−
, A = 12x2 + 9x;
b)
2
8x 8x 2
(4x 2).(15 x)
− +
− −
, A = 1 – 2x.
Lời giải:
a) A = 12x2 + 9x = 3x(4x + 3)
Suy ra:
2
2 2 3
4x 3 (4x 3).3x 12x 9x
x 5 (x 5).3x 3x 15x
+ + +
= =
− − −
.
Vậy phân thức cần phải tìm là
2
3
12x 9x
3x 15x
+
−
.
b) A = 1 – 2x
Lại có: 8x2 – 8x + 2 = 8x2 – 4x – 4x + 2 = 4x(2x – 1) – 2(2x – 1)
= (4x – 2)(2x – 1) = (1 – 2x)(2 – 4x)
⇒ (8x2 – 8x + 2) : (1 – 2x) = 2 – 4x
Suy ra:
2 2 8x 8x 2 (8x 8x 2) :(2 4x) 1 2x
(4x 2).(15 x) (4x 2).(15 x) :(2 4x) x 15
− + − + − −
= =
− − − − − −
.
Vậy phân thức cần phải tìm là
1 2x
x 15
−
−
.
Bài 6 trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến
đổi mỗi cặp phân thức sau thành cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức:
a)
3
x 2 +
và
x 1
5x
−
;
b)
x 5
4x
+
và
2
x 25
2x 3
−
+
.
Lời giải:
a)
2
3 3(x 1) 3x 3
x 2 (x 2).(x 1) x x 2
− −
= =
+ + − + −
;
x 1 3(x 1) 3x 3
5x 5x.3 15x
− − −
= =
b) Ta có: x2 – 25 = (x – 5). (x + 5) nên tử thức chung là (x – 5). (x + 5)
2
2
x 5 (x 5).(x 5) x 25
4x 4x.(x 5) 4x 20x
+ + − −
= =
− −
Giữ nguyên phân thức
2
x 25
2x 3
−
+
.
Bài 7 trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy
tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành cặp phân thức bằng nó và có
cùng mẫu thức:
a)
3x
x 5 −
và
7x 2
5 x
+
−
;
b)
4x
x 1+
và
3x
x 1−
;
c)
2
2
x 8x 16 + +
và
x 4
2x 8
−
+
;
d)
2x
(x 1).(x 3) + −
và
x 3
(x 1).(x 2)
+
+ −
.
Lời giải:
a)
3x (3x) 3x
x 5 (x 5) 5 x
− −
= =
− − − −
.
Giữ nguyên phân thức:
7x 2
5 x
+
−
Cách khác: Giữ nguyên phân thức
3x
x 5 −
Biến đổi phân thức
7x 2
5 x
+
−
ta được:
( )
( )
7x 2 7x 2 7x 2
5 x 5 x x 5
+ − − − +
= =
− − − −
.
b)
2
2
4x 4x(x 1) 4x 4x
x 1 (x 1).(x 1) x 1
− −
= =
+ + − −
2
2
3x 3x(x 1) 3x 3x
x 1 (x 1).(x 1) x 1
+ +
= =
− − + −
.
c)
2 2 2 2
2 2 2.2 4
x 8x 16 (x 4) (x 4) .2 2(x 4)
= = =
+ + + + +
và
2
2
x 4 x 4 (x 4)(x 4) x 16
2x 8 2(x 4) 2(x 4)(x 4) 2(x 4)
− − − + −
= = =
+ + + + +
;
d)
2
2x 2x.(x 2) 2x 4x
(x 1).(x 3) (x 1).(x 3)(x 2) (x 1)(x 3)(x 2)
− −
= =
+ − + − − + − −
;
và
2
x 3 (x 3)(x 3) x 9
(x 1).(x 2) (x 1).(x 2).(x 3) (x 1).(x 2).(x 3)
+ + − −
= =
+ − + − − + − −
.
Bài 8 trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức
A
B
và
C
D
. Chứng minh
rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng
A'
E
và
C'
E
thỏa mãn điều
kiện
A' A
E B
=
và
C' C
E D
= .
Lời giải:
Với hai phân thức
A
B
và
C
D
,ta tìm được hai phân thức cùng mẫu
AD CB
;
BD BD
, và
thỏa mãn điều kiện :