Chuỗi fourier và ứng dụng giải bài toán truyền nhiệt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TÔ THỊ THỦY

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

28 tháng 01 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TS. Lê Hoàng Trí

PGS.TS. Trần Đạo Dõng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Jean Blaptista Joseph Fourier (1768-1830) là một nhà toán học và nhà

vật lý người Pháp. Trong toán học, Joseph Fourier là người đầu tiên biểu

diễn thành công một hàm thành chuỗi các hàm lượng giác khi ông nghiên

cứu quá trình truyền nhiệt của vật chất. Joseph Fourier đã áp dụng chuỗi

Fourier để giải phương trình truyền nhiệt.

Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về chuỗi Fourier, hiểu

rõ phần nào ứng dụng của chuỗi Fourier, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Hải

Trung nên tôi chọn đề tài “ Chuỗi Fourier và ứng dụng giải bài toán truyền

nhiệt”. Đề tài nhằm nghiên cứu việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier

và cũng dành phần lớn cho việc nghiên cứu bài toán truyền nhiệt với các

trường hợp khác nhau của điều kiện biên.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành

chuỗi Fourier. Từ đó, ứng dụng của chuỗi Fourier vào giải bài toán truyền

nhiệt.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thường gặp thành chuỗi

Fourier.

Xét bài toán truyền nhiệt một chiều trong thanh hữu hạn.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc chuyên ngành sau đây:

Giải tích hàm một biến; Lý thuyết chuỗi Fourier; Lý thuyết Phương trình

2

đạo hàm riêng.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn. Chúng ta có thể sử dụng

luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các

đối tượng quan tâm đến việc giải quyết Bài toán truyền nhiệt bằng chuỗi

Fourier.

6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tài

được chia làm hai chương:

Chương 1: Giới thiệu định nghĩa chuỗi Fourier, cách xây dựng công

thức tính hệ số Fourier (dạng đại số và dạng phức), điều kiện đủ để một

hàm số khai triển thành chuỗi Fourier. Khai triển một số hàm số thành

chuỗi Fourier với chu kỳ 2π hoặc 2l.

Chương 2: Giới thiệu bài toán truyền nhiệt. Sử dụng phương pháp tách

biến và dùng chuỗi Fourier để xây dựng công thức nghiệm của bài toán với

các trường hợp khác nhau của điều kiện biên. Giải một số bài toán truyền

nhiệt cụ thể.

3

CHƯƠNG 1

DẪN NHẬP VỀ CHUỖI FOURIER

Ý nghĩa của chương này nhằm mục đích giới thiệu các kiến thức về

chuỗi Fourier, cách khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier trong trường

hợp cụ thể và tổng quát.

1.1. CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa 1.1.1. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng

a0 +

X

∞

n=1

(an cos nx + bn sin nx), x ∈ R, (1.1)

trong đó a0, an, bn (n = 1, 2, 3, ...) là những hằng số.

Mỗi hàm số un(x) = an cos nx + bn sin nx là hàm số tuần hoàn chu

kỳ

2π

n

, liên tục và khả vi mọi cấp.

Định lý 1.1.2. Nếu các dãy số {an}, {bn} đơn điệu giảm và dần tới

0 khi n → ∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ tại mọi điểm x 6= k2π, k ∈ Z.

1.2. CHUỖI FOURIER

Định nghĩa 1.2.2. Cho f là một hàm tuần hoàn chu kì 2π, f khả tích

trên đoạn [−π; π]. Khi đó các hệ số a0, an, bn, (n = 1, 2, 3, ...) được xác

định theo công thức







a0 =

1

π

R

π

−π

f(x)dx,

an =

1

π

R

π

−π

f(x) cos nxdx,

bn =

1

π

R

π

−π

f(x) sin nxdx.

(1.2)

4

được gọi là hệ số Fourier của hàm f và chuỗi lượng giác

a0

2

+

X

∞

n=1

(an cos nx + bn sin nx),

với các hệ số được xác định bởi (1.2) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f.

Thông thường ta viết chuỗi Fourier của hàm f(x) dưới dạng

f(x) ∼

a0

2

+

X

∞

n=1

(an cos nx + bn sin nx).

Bổ đề 1.2.3. 1. Nếu f(x) là hàm xác định, liên tục, tuần hoàn trên

R, có chu kỳ T thì

Z

a+T

a

f(x)dx =

Z

T

0

f(x)dx, a ∈ R.

2. Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [−a; a] thì

Z

a

−a

f(x)dx = 0.

3. Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên [−a; a] thì

Z

a

−a

f(x)dx = 2 Z

a

0

f(x)dx.

Ví dụ 1.2.4. Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm f(x) = x + 1 với

|x| ≤ π và f(x) tuần hoàn chu kì 2π.

Giải. Hệ số Fourier của hàm f là

a0 =

1

π

R

π

−π

f(x)dx = 2.

an =

1

π

R

π

−π

f(x) cos nxdx =

1

π

R

π

−π

(x + 1) cos nxdx = 0

bn =

1

π

R

π

−π

f(x) sin nxdx =

1

π

R

π

−π

(x + 1) sin nxdx =

2

n

(−1)n+1

.

Chuỗi Fourier của hàm f là

f(x) ∼ 1 + 2X

∞

n=1

(−1)n+1 sin nx

n

.

5

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2

2

4

O

x

y

Hình. 1.1. n = 3

1.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ KHAI TRIỂN THÀNH

CHUỖI FOURIER

Định lý 1.3.7. (Điều kiện Dirichlet)

Giả sử f : R → R là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, thỏa mãn một

trong hai điều kiện sau trên đoạn [−π; π]:

a) hoặc f(x) liên tục từng khúc và có đạo hàm f

0

(x) liên tục từng

khúc.

b) hoặc f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn.

Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ tại mọi điểm. Tổng của chuỗi là

S(x) bằng f(x) tại những điểm mà f liên tục. Tại điểm gián đoạn x0

của f, ta có

S(x0) = 1

2

[f(x

+

0

) + f(x

−

0

)] ,

trong đó

f(x

+

0

) = lim

x→x

+

0

f(x),

f(x

−

0

) = lim

x→x

−

0

f(x).

6

1.4. KHAI TRIỂN HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER

1.4.1. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π

Giả sử f(x) là hàm số thỏa mãn các điều kiện Dirichlet. Khi đó chuỗi

Fourier của hàm f hội tụ tại mọi điểm trên R đến tổng S(x)

S(x) = a0

2

+

X

∞

n=1

(an cos nx + bn sin x)

Hơn nữa

S(x) =







f(x), nếu x là những điểm liên tục của f(x),

f(x

+

0

) + f(x

−

0

)

2

, nếu x = x0 là điểm gián đoạn của f(x).

Ví dụ 1.4.4. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn chu

kỳ 2π, và f(x) = x

2

, với −π ≤ x ≤ π.

Giải. Hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện Dirichlet, chuỗi

Fourier của f hội tụ về hàm f. Ta có

a0 =

1

π

R

π

−π

x

2dx =

2

π

R

π

0

x

2dx =

2

π



x

3

3

 

π

0

=

2π

2

3

,

an =

1

π

R

π

−π

x

2

cos nxdx =

2

π

R

π

0

x

2

cos nxdx = (−1)n

4

n2

, (n = 1, 2, 3, ...),

bn =

1

π

R

π

−π

x

2

sin nxdx = 0, (vì hàm g(x) = x

2

sin nx là hàm lẻ).

Vậy

f(x) = π

2

3

+ 4X

∞

n=1

(−1)n

n2

cos nx, ∀x ∈ R.

7

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

2

4

6

8

O

x

y

Hình. 1.2. n = 3

Nhận xét 1.4.3. Quay lại Ví dụ 1.2.4: Khai triển thành chuỗi Fourier

của hàm f(x) = x + 1 với |x| ≤ π và f(x + 2π) = f(x), ∀x ∈ R. Từ

Định lý 1.3.7, ta có kết luận:

Tại những điểm x 6= (2k + 1)π, k ∈ Z, thì

f(x) = 1 + 2X

∞

n=1

(−1)n+1 sin nx

n

.

Tại x = π, tổng của chuỗi bằng 1

2

[f(π

+) + f(π

−)] = 1. Do đó tại những

điểm x = (2k + 1)π, k ∈ Z, tổng của chuỗi bằng 1(xem Hình 1.1).

1.4.2. Chuỗi Fourier cosine và sine của hàm tuần hoàn chu kỳ

2π

Nếu f(x) là hàm chẵn thì bn = 0, n = 1, 2, ... và

an =

2

π

Z

π

0

f(x) cos nxdx, (n = 0, 1, 2, 3, ...).

Do đó, chuỗi Fourier của hàm chẵn chỉ chứa hàm cosin, tức là

f(x) ∼

a0

2

+

X

∞

n=1

an cos nx,

Nếu f(x) là hàm lẻ thì an = 0, (n = 0, 1, 2, ...) và

bn =

2

π

Z

π

0

f(x) sin nxdx, (n = 1, 2, 3, ...).

8

Do đó, chuỗi Fourier của hàm lẻ chỉ chứa hàm sin, tức là

f(x) ∼

X

∞

n=1

bn sin nx,

Ta thường gặp những bài toán khai triển Fourier hàm f(x) trên đoạn [0; π]

theo hàm cosin hay hàm sin. Để tìm được khai triển Fourier của nó, ta có

thể thác triển hàm f(x) trên cả đoạn [−π; π]. Việc này có thể được thực

hiện một trong các cách sau

1. Thác triển chẵn (khai triển thành chuỗi Fourier cosine)

Đặt g(x) = 

f(x), nếu x ∈ [0; π] ,

f(−x), nếu x ∈ [−π; 0] .

Hàm g được gọi là thác triển chẵn của hàm f.

Hệ số Fourier của hàm g(x) trên [−π; π] cũng chính là hệ số Fourier của

hàm f(x) trên [0; π]

an =

1

π

R

π

−π

g(x) cos nxdx =

2

π

R

π

0

f(x) cos nxdx, (n = 0, 1, 2, ...)

bn = 0, (n = 1, 2, 3, ...).

2. Thác triển lẻ (khai triển thành chuỗi Fourier sine)

Đặt h(x) = 

f(x), nếu x ∈ [0; π] ,

−f(−x), nếu x ∈ [−π; 0] .

Hàm h được gọi là thác triển lẻ của hàm f.

Hệ số Fourier của hàm h(x) trên [−π; π] cũng chính là hệ số Fourier của

hàm f(x) trên [0; π] là

an = 0, (n = 0, 1, 2, ...),

bn =

1

π

R

π

−π

h(x) sin nxdx =

2

π

R

π

0

f(x) sin nxdx, (n = 1, 2, ...).

3. Thác triển tự do

Đặt k(x) = 

f(x), nếu x ∈ [0; π] ,

0, nếu x ∈ [−π; 0] .

Hệ số Fourier của hàm k(x) trên [−π; π] cũng chính là hệ số Fourier của

9

hàm f(x) trên [0; π] là

an =

1

π

R

π

−π

k(x) cos nxdx =

1

π

R

π

0

f(x) cos nxdx, (n = 0, 1, ...)

bn =

1

π

R

π

−π

k(x) sin nxdx =

1

π

R

π

0

f(x) sin nxdx (n = 1, 2, ...).

Ví dụ 1.4.4. Cho f là hàm lẻ, tuần hoàn, chu kỳ 2π, thoả mãn

f(x) = π − x

2

với 0 ≤ x ≤ π. Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm f.

Giải. Vì f là hàm lẻ nên an = 0 (n = 0, 1, 2, ...) và

bn =

2

π

R

π

0

π − x

2

sin nxdx =

1

n

−

1

n2π

(sin nx)

π

0

=

1

n

.

Vậy ∀x 6= k2π, k ∈ Z, ta có f(x) = P

∞

n=1

sin nx

n

.

Tại những điểm x = k2π, k ∈ Z, tổng của chuỗi bằng

f(0+) + f(0−)

2

=

π

2

−

π

2

2

= 0.

Ví dụ 1.4.6. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) chẵn, tuần hoàn

với chu kỳ 2π và f(x) = 1 −

2x

π

với 0 ≤ x ≤ π.

Giải. Vì f(x) là hàm chẵn nên bn = 0 với n = 1, 2, 3, ... và

a0 =

2

π

Z

π

0

(1 −

2x

π

)dx = 0.

an =

2

π

Z

π

0

(1 −

2x

π

) cos nxdx =







0, khi n chẵn,

8

n2π

2

, khi n lẻ.

n = 1, 2...

Vậy với mọi x ∈ R, kết quả là

f(x) = 1 −

2x

π

=

X

∞

n=1

8

(2n − 1)2

π

2

cos (2n − 1) x.

1.4.3. Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ tuỳ ý

Giả sử f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2l, l > 0 và thoả mãn các giả

thiết của định lý 1.3.7 trên đoạn [−l; l].

Đặt t = ϕx, với ϕ =

π

l

, suy ra x =

t

ϕ

và f(x) = f(

t

ϕ

) := g(t).