Chuỗi fourier và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

− − − ? − − −

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

CHUỖI FOURIER VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện: LÊ KHÁNH LINH

Giảng viên hướng dẫn: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 15ST

Đà Nẵng 2019

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

− − − ? − − −

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

CHUỖI FOURIER

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện: LÊ KHÁNH LINH

Giảng viên hướng dẫn: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 15ST

Đà Nẵng 2019

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy

giáo hướng dẫn TS. Lê Hoàng Trí đã tận tình hướng dẫn tác giả trong

suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được khóa luận này.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập tại

Khoa Toán.

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp 15ST

đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại lớp.

Tác giả

Lê Khánh Linh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Chuỗi số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Phần dư của một chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4. Tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5. Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.6. Các dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.7. Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.8. Chuỗi số bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Dãy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3. Chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4. Tính chất của tổng của một chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . 13

CHƯƠNG 2. CHUỖI FOURIER VÀ TÍNH CHẤT . . . . . . . 15

2.1. Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3. Công thức Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Dạng khai triển Fourier trong [−l, l] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM

SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45