Chuỗi fourier và tích phân fourier.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

VÕ THỊ HỒNG LÊ

CHUỖI FOURIER

VÀ TÍCH PHÂN FOURIER

Chuyên ngành: Cử nhân Toán Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN

Đà Nẵng, 3/2014

2

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 XẤP XỈ VỚI TÍCH CHẬP 6

1.1 Dãy Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Định lý weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 CHUỖI FOURIER 11

2.1 Tích Hermit và sự trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Chuỗi Fourier và xấp xỉ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Hội tụ từng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 31

3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Tiêu chuẩn của hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 TÍCH PHÂN FOURIER 43

4.1 Không gian Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Công thức nghịch đảo Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê

3

Lời cảm ơn!

Để thực hiện tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được sự

giúp đỡ tận tình của các Thầy, Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm

Đà Nẵng và các bạn cùng khóa.

Lời đầu tiên, em xin gửi tới Ban lãnh đạo khoa Toán, Trường Đại Học

Sư Phạm Đà Nẵng cùng quý thầy cô lời cảm ơn sâu sắc đối với công lao

dạy dỗ, giúp đỡ, truyền đạt những kinh nghiệm quý báu và tạo điều kiện

để em được phấn đấu trong suốt quá trình học tập tại trường.

Đặc biệt, trong suốt quá trình làm khóa luận vừa qua, em đã nhận đựợc

sự quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của thầy TS. Trần Nhân Tâm

Quyền - giảng viên trường Đại Học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng. Em xin

được gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành về những ý kiến đóng góp quý

báu. Em xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy

đã dìu dắt em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành tốt bài khóa

luận này.

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã quan tâm

giúp đỡ, là nguồn động viên to lớn tiếp thêm sức mạnh để em có thể hoàn

thành tốt nhiệm vụ của mình.

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Võ Thị Hồng Lê

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê

4

Lời nói đầu!

Chuỗi Fourier(được đặt theo tên của nhà toán học Joseph Fourier

(1768 -1830)) là một khái niệm quen thuộc trong toán học. Chuỗi Fourier

của một hàm tuần hoàn có dạng e

inx, trong đó, e là số Euler và i là đơn vị

ảo. Theo công thức Euler, các chuỗi này có thể được biểu diễn một cách

tương đương theo các hàm sin và hàm cos. Nói một cách tổng quát, một

chuỗi hữu hạn của các hàm lũy thừa của số ảo được gọi là một chuỗi lượng

giác. Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công

trình trước đó của Euler và Bernoulli.

Fourier khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng

giác có thể dùng để biểu diễn các hàm số khác. Giả sử cho hàm f khả

tích tuyệt đối trên trục số thực. Nếu một cách hình thức, ta thay việc tính

tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số

y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bởi tích phân Fourier.

Đây là một lĩnh vực quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng

thiết thực trong vật lý, cơ học, kĩ thuật, công nghệ... cho nên đã được quan

tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú,

đa dạng và những gì chúng ta biết từ trước mới chỉ là những kiến thức

ban đầu.

Vì vậy, em đã chọn đề tài: ”Chuỗi Fourier và tích phân Fourier ” là đề

tài khóa luận tốt nghiệp của em. Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứu

phương pháp, sự hội tụ của tích phân, hiểu rõ như thế nào là chuỗi Fourier,

tích phân Fourier và các biến đổi Fourier.

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, khóa luận gồm có bốn chương:

F Chương 1: Tìm hiểu thế nào là dãy Dirac và định lý Weierstrass.

F Chương 2: Trình bày về tích Hermit và sự trực giao, chuỗi Fourier và

xấp xỉ đều, hội tụ từng điểm bằng cách phát biểu các định lý, hệ quả, bổ

đề, chứng minh nó cùng với một số ví dụ cụ thể.

F Chương 3: Trình bày định nghĩa về tích phân suy rộng, phát biểu, chứng

minh các định lý về các tiêu chuẩn hội tụ, tích phân phụ thuộc tham số

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê

5

và áp dụng giải các bài toán cụ thể.

F Chương 4: Phát biểu định nghĩa về không gian Schwarts, nêu các định

lý liên quan và đưa ra công thức nghịch đảo Fourier.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Võ Thị Hồng Lê

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê