Chuỗi fourier và ứng dụng.

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Ánh Huyền

Lớp: 09 CTT2

Giáo viên hướng dẫn: TS. Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng, tháng 5/2013

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 2

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN.......................................................................................................4

MỞ ĐẦU ...............................................................................................................5

Chương 1.KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..................................................................7

1.1. Không gian Hilbert. ................................................................................................................7

1.1.1. Tích vô hướng..................................................................................................................7

1.1.2. Không gian Hilbert. ........................................................................................................8

1.1.3. Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz..................................................................................10

1.2. Không gian

.

p L .......................................................................................................................10

1.3. Không gian

 

2

L  ; . .......................................................................................................14

1.4. Hệ hàm trực giao...................................................................................................................16

1.5. Hàm khả tích Lebesgue. .......................................................................................................17

1.5.1. Tích phân hàm đơn giản...............................................................................................17

1.5.2. Tích phân các hàm đo được bất kỳ..............................................................................17

1.6. Hàm liên tục từng khúc. .......................................................................................................18

1.7. Hàm trơn từng khúc. ............................................................................................................18

1.8. Các bổ đề và định lý..............................................................................................................19

1.8.1. Các bổ đề về giới hạn. ...................................................................................................19

1.8.2. Đẳng thức Parseval. ......................................................................................................22

1.8.3. Định lý Fubini................................................................................................................23

1.8.4. Bất đẳng thức Bessel. ....................................................................................................23

1.8.5. Bổ đề Riemann- Lebesgue. ...........................................................................................24

1.9. Nhân Dirichlet và nhân Fejer...............................................................................................25

1.9.1. Định lý Fejer . ................................................................................................................28

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 3

1.9.2. Định lý Weierstrass.......................................................................................................29

Chương 2.SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER...........................................31

2.1. Chuỗi Fourier. .......................................................................................................................31

2.2. Một số ví dụ. ..........................................................................................................................33

2.3. Phép biến đổi Fourier trong

1L ( , ).   ..............................................................................36

2.4. Định lý xấp xỉ tốt nhất. .........................................................................................................38

2.5. Hội tụ trung bình phương. ...................................................................................................39

2.6. Hội tụ điểm. ...........................................................................................................................41

2.7. Sự hội tụ đều của chuỗi Fourier..........................................................................................44

2.8. Sự hội tụ trong

 

1

L  , .....................................................................................................45

2.9. Sự hội tụ trong

 

2

L  , . .................................................................................................48

2.10. Tích phân Fourier. ................................................................................................................50

Chương 3.ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER..........................................53

3.1. Ứng dụng của chuỗi Fourier để giải toán............................................................................53

3.1.1. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại..........................................................................53

3.1.2. Nghiệm của phương trình điện báo trên cáp truyền vô hạn. ....................................54

3.1.3. Nghiệm của bài toán Dirichlet......................................................................................61

3.1.4. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng. .......................................................63

3.2. Bộ lọc điện..............................................................................................................................64

KẾT LUẬN.........................................................................................................67

TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................68

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 4

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Phan Đức Tuấn, là

thầy hướng dẫn, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình

trong suốt quá trình em thực hiện đề tài của mình. Trong quá trình học tập và

hoàn thành luận văn, em nhận được sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán,

trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng. Em xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu

đó. Đồng thời em cũng xin gởi lời cảm ơn đến bạn bè cùng khóa đã giúp đỡ em

trong quá trình thực hiện luận văn.

Cuối cùng, một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô khoa Toán,

trường Đại học Sư phạm- ĐHĐN, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi

trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập để em hoàn thành luận văn này.

Đà Nẵng, tháng 05, năm2013.

Sinh viên

Nguyễn Thị Ánh Huyền

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 5

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.

Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học.Có

nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn dẫn tới việc nghiên cứu chuỗi

Fourier.

Chuỗi Fourier là một trong những chuỗi phổ biến, có nhiều ứng dụng trong

khoa học hiện nay. Đặc biệt, được sử dụng nhiều trong toán học và trong vật lý

kỹ thuật. Từtrước tới nay, mỗi khi nhắc đến chuỗi Fourier ta sẽ liên tưởng ngay

đến các định nghĩa về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier, …mà chưa nghe

nhiều về sự hội tụ trong chuỗi Fourier.

Với mong muốn hiểu rõ đầy đủ các vấn đề của chuỗi Fourier và nhờ sự giúp

đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Phan Đức Tuấn em đã mạnh dạn nghiên cứu đề

tài:

“ Chuỗi Fourier và ứng dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu.

Đề tài nhằm giúp hiểu rõ hơn và giải quyết một lớp các vấn đề về sự hội tụ

cũng như các ứng dụng của chuỗi Fourier.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Các khái niệm, tích chất về sự hội tụ của chuỗi Fourier và ứng dụng của

chuỗi Fourier.Luận văn chia thành ba chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Gồm những kí hiệu, các khái niệm bổ trợ

cho sự hội tụ của chuỗi Fourier.

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 6

Chương 2: Sự hội tụ của chuỗi Fourier. Gồm định nghĩa chuỗi Fourier và

các loại hội tụ của chuỗi Fourier.

Chương 3: Ứng dụng của chuỗi Fourier. Gồm ứng dụng của chuỗi Fourier

để giải toán và một số ứng dụng khác.

Do khuôn khổ của luận văn và thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh

khỏi những thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc, đồng thời em

xin chân thành cảm ơn tất cả những ý kiến đóng góp đó để cho luận văn được

hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn!