Chuỗi fourier và ứng dụng cho bài toán dao động của sợi dây

ĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG

TR姶云NG ĐẠIăH窺CăS姶ăPHẠM

PHẠMăPH姶閏CăHUY

CHUỖIăFOURIERăVÀăỨNGăDỤNGăCHOăBÀI

TOÁNăDAOăĐỘNGăCỦAăSỢIăDÂY

Chuyênăngành:ăToánăgi違iătích

Mưăsố:ă846.01.02

LU一NăV;NăTHẠCăSĨăTOÁNăH窺C

ĐàăN印ngă- N<mă2018

Công trình được hoàn thành tại

TR姶云NGăĐẠIăH窺C S姶ăPHẠM ĐÀăN允NG

Ng逢運iăh逢噂ngăd磯năkhoaăh丑c: TS.ăLÊăH謂IăTRUNG

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: TS. Trần Đức Thành

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ Toán học họp tại Trường Đại học Sư Pham - Đại

học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 6 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng;

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu chuỗi Fourier bắt nguồn từ những bài toán trong Vật

lý cụ thể là các bài toán liên quan đến dao động và các bài toán truyền

nhiệt. J. Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các

công trình trước đó của Euler, D’Alembert và Daniel Bernoulli. J. Fourier

đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong các công

trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811. Trong cuốn

Lí thuyết giải tích về nhiệt học (Théorie analytique de la chaleur) của ông

được công bố vào năm 1822 đã trình bày một cách đầy đủ việc giải quyết

bài toán truyền nhiệt và dao động bằng chuỗi Fourier, nhiều nhà toán học

nổi tiếng, trong đó có Riemann, Cantor và Lebesgue cũng đã gắn liền với

hướng nghiên cứu này. Hoàn toàn có thể nói rằng, trong thời đại của chúng

ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếm

một vị trí quan trọng trong giải tích.

2. Mục đích nghiên cứu

+ Hệ thống các kiến thức về chuỗi Fourier.

+ Sử dụng kiến thức về chuỗi Fourier để giải quyết bài toán dao động sợi

dây với điều kiện ban đầu.

3. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải quyết bài toán dao động sợi dây bằng phương

pháp chuỗi Fourier.

2

4. Phạm vi nghiên cứu

Giải quyết bài toán dao động sợi dây với điều kiện ban đầu và điều kiện

biên bằng phương pháp chuỗi Fourier.

5. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn sử dụng các kiến thức nằm trong các lĩnh vực sau đây:

Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích Fourier, Phương trình đạo hàm riêng,. . .

6. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài liệu tham

khảo dành cho các đối tượng quan tâm đến bài toán dao động của sợi dây.

7. Cấu trúc luận văn

Bố cục của luận văn bao gồm: mục lục, mở đầu, nội dung chính, kết

luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn được chia thành 2

chương:

Chương 1, trình bày các kiến thức cơ sở của chuỗi Fourier. Trong chương

này tác giả nhắc lại một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier, chuỗi lượng

giác, đẳng thức Parseval, dạng phức của chuỗi Fourier.

Chương 2, trình bày ứng dụng chuỗi Fourier trong ba bài toán dao động

của sợi dây.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ CHUỖI FOURIER

1.1. Chuỗi lượng giác

Định nghĩa 1.1.1. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng

a0 +

X

∞

n=1

(an cos nx + bn sin nx) (1.1)

trong đó a0, an, bn là những hằng số.

Số hạng tổng quát un(x) = an cos nx + bn sin nx là một hàm số tuần

hoàn chu kì

2π

n

, liên tục và khả vi mọi cấp. Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì tổng

của nó là một hàm số tuần hoàn chu kì 2π.

1.2. Chuỗi Fourier

Giả sử hàm số f(x) tuần hoàn chu kì 2π, khả tích trên [−π, π], có thể

khai triển được trên đoạn [−π, π], thành chuỗi lượng giác dạng:

f(x) = a0

2

+

X

∞

n=1

(an cos nx + bn sin nx), (1.2)

a0 =

1

π

Z π

−π

f(x)dx, (1.3)

ak =

1

π

Z π

−π

f(x) cos kxdx, k = 1, 2, . . . (1.4)

bk =

1

π

Z π

−π

f(x) sin kxdx, k = 1, 2, . . . (1.5)

Các hệ số a0, a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn, . . . được xác định theo các công thức

(1.3), (1.4), (1.5) được gọi là các hệ số Fourier của hàm số f(x). Chuỗi lượng

giác (1.2) trong đó các hệ số được xác định bởi (1.3), (1.4), (1.5) được gọi

là chuỗi Fourier của f(x).

4

1.3. Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier

Định lý 1.3.1. Nếu f : R → R là hàm số tuần hoàn chu kì 2π, khả

vi thì chuỗi Fourier của nó hội tụ và có tổng bằng f(x), ∀x ∈ R.

Định lý 1.3.2. Giả sử f : R → R là một hàm số tuần hoàn chu kì

2π, thỏa mãn một trong hai điều kiện sau trên đoạn [−π, π]:

- hoặc f liên tục từng khúc và có đạo hàm f

′

liên tục từng khúc

- hoặc f đơn điệu từng khúc và bị chặn.

Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ tại mọi điểm. Tổng S(x) của nó

bằng f(x) tại những điểm liên tục của f. Tại điểm gián đoạn c của f,

ta có

S(c) = f(c + 0) + f(c − 0)

2

.

Các điều kiện nêu trong định lí này là điều kiện Đirichlet.

Ví dụ 1.3.3. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn chu

kì 2π, bằng x trên khoảng (−π, π).

Hàm số f(x) thoả mãn các điều kiện của Định lí 1.3.2 nên có thể khai

triển được thành chuỗi Fourier. Vì f(x) lẻ, ta có

an= 0, n = 0, 1, 2, . . .

bn=

2

π

Z π

0

x sin nxdx =

2

π



−

x

n

cos nx

π

0

+

Z π

0

cos nt

n

dx

=

2

n

· (−1)n+1

, n = 1, 2, 3, . . .

Vậy ∀x 6= (2n + 1)π

f(x) = 2(sin x −

1

2

sin2x +

1

3

sin 3x − . . . + (−1)n+1 sin nx

n

+ . . .

Chú ý rằng tại x = π, tổng của chuỗi bằng

1

2

[f(π + 0) + f(π − 0)] = 0,

tại x = −π cũng vậy.

5

Hình. 1.1

1.4. Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier

Muốn khai triển f(x) thành chuỗi Fourier, ta xây đựng một hàm số

tuần hoàn g(x) có chu kì lớn hơn hay bằng (b − a) sao cho

g(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

Nếu hàm số g(x) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier thì tổng của

chuỗi đó bằng f(x) tại mọi điểm của [a, b] trừ tại những điểm gián đoạn

của f(x).

Ví dụ 1.4.1. Khai triển hàm số f(x) = x

2

với 0 < x < 2 thành chuỗi

Fourier theo các hàm số cosin.

Muốn khai triển f(x) thành Chuỗi Fourier theo các hàm số cosin. ta

xây dựng hàm số g(x) chẵn, tuần hoàn với chu kì bằng 4, bằng f(x) = x

2

với 0 < x < 2. Vì g(x) chẵn (hình 1.2), ta có

Hình. 1.2