Các tính chất tôpô của hàm lồi.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THU HÀ

CÁC TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA HÀM LỒI

Chuyên nghành: Sư Phạm Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng, 5/2014.

LỜI MỞ ĐẦU

Cũng như tính lồi của các tập hợp, tính lồi của các hàm số vừa là một tính chất

đại số, vừa là một tính chất giải tích. Tính chất đại số nằm ở chổ: các hàm lồi được

bảo toàn thông qua các phép toán đại số (như sẽ được thấy trong chương 1 dưới

đây).

Trong luận văn này chúng em tìm hiểu sâu thêm tính chất lồi của các hàm số

trong mối quan hệ với các khái niệm tôpô (bản chất giải tích của tính lồi). Cụ thể là,

chúng ta sẽ xem xét bao đóng của hàm lồi, nón lùi và tính không bị chặn, một số

tiêu chuẩn đóng và tính liên tục của các hàm lồi.

Nội dung của khóa luận chia làm hai chương.

Chương 1: Các kiến thức cơ sở của hàm lồi

Chương này cung cấp các kiến thức cơ sở liên quan đến hàm lồi và một số

định lí, hệ quả của tập lồi, được sử dụng xuyên suốt trong khóa luận. Định nghĩa về

hàm lồi tổng quát, những định lí có liên quan đến hàm lồi và các phép toán trên hàm

lồi đã được giới thiệu một cách rõ ràng trong chương này.

Chương 2: Các tính chất tôpô của hàm lồi

Chương này trình bày một cách chi tiết các định lí quan trọng và một số vấn

đề có liên quan đến các thuộc tính tôpô của hàm lồi.

Chương 2 được chia làm bốn mục.

2.1. Bao đóng của hàm lồi.

2.2. Nón lùi và tính không bị chặn.

2.3. Một số tiêu chuẩn đóng của hàm.

2.4. Tính liên tục của hàm lồi.

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời mở đầu

Mục lục

Chương 1. Các kiến thức cơ sở của hàm lồi ..........................................................4

1.1. Hàm lồi tổng quát ........................................................................................4

1.2. Các phép toán trên hàm lồi ..........................................................................9

1.3. Một số định lí và hệ quả về tập lồi.............................................................11

Chương 2. Các tính chất tôpô của hàm lồi ..........................................................15

2.1. Bao đóng của hàm lồi ................................................................................15

2.2. Nón lùi và tính không bị chặn....................................................................30

2.3. Một số tiêu chuẩn đóng của hàm ...............................................................35

2.4. Tính liên tục của hàm lồi ...........................................................................40

Kết luận ....................................................................................................................48

Tài liệu tham khảo ..................................................................................................49

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 4

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA HÀM LỒI.

1.1. Hàm lồi tổng quát

Cho *

( ) n

S n     và cho f S: : ; .         

Định nghĩa 1.1.1

“Trên đồ thị” của hàm f , kí hiệu là epi , f được định nghĩa là tập

 

1

epi : ( , ) , , ( ) ( ). n

f x x S f x    

      

Định nghĩa 1.1.2

Hàm f S:   được gọi là một hàm lồi (trên S) nếu và chỉ nếu epi f là một tập

lồi của

1

.

n 

Ví dụ: Hàm f :    được cho bởi

2

khi 1,

( )

khi 1.

x

f x

x x

  

 

  

là một hàm lồi trên .

Định nghĩa 1.1.3

Miền hữu hiệu của hàm lồi f S: ,   kí hiệu là dom , f được định nghĩa là tập

dom : ( ) , ( , ) epi ( ).    

n n f x S f x x x f               