Các tính chất của nghiệm phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯƠNG THANH HẢI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH

CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯƠNG THANH HẢI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH

CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, năm 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và

kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa

từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giả

Lương Thanh Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học

Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS Hà

Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong

suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ

nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng

các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19,

các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi trong

quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn

khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viết Luận

văn này.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu

sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy

cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giả

Lương Thanh Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

MỞ ĐẦU 1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack . . . . . . . . . 11

1.4 Không gian W1,2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Không gian Cα(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK 30

2.1 Các định nghĩa, định lý và bổ đề có liên quan . . . . . . . . 30

2.2 Đánh giá Morser đối với nghiệm dưới yếu và nghiệm trên yếu 34

2.3 Các định lý kiểu Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Các định lý kiểu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM 43

3.1 Tính liên tục Holder của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Tính liên tục Holder của đạo hàm cấp 1 của nghiệm . . . . 46

Kết luận 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn Luận văn

Đối với phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, nghiệm thường

được xét theo nghĩa yếu, tức là thuộc không gian W1,2(Ω) mà chỉ có đạo

hàm đến cấp hai bình phương khả tích và thỏa mãn đẳng thức tích phân.

Tuy nhiên, người ta phát hiện ra rằng những nghiệm yếu như vậy lại có

độ trơn nhất định, tức là nó cùng với các đạo hàm cấp một của nó thuộc

lớp liên tục Holder Cα(Ω).

2. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả cổ điển đối với hàm điều hòa trên, hàm điều hòa

dưới và mở rộng các kết quả đó cho nghiệm trên và nghiệm dưới yếu của

lớp phương trình dạng bảo toàn.

3. Mục đích của Luận văn

Mục đích của Luận văn là trình bày lý thuyết về các tính chất định tính

và độ trơn của nghiệm yếu của lớp các phương trình elliptic tuyến tính

cấp hai dạng bảo toàn, trong đó các hệ số của phương trình chỉ cần đòi

hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic và là các hàm đo được và bị chặn.

4. Nội dung của Luận văn

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận

và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các kết

quả chính của Luận văn. Trước hết ta định nghĩa hàm điều hòa, sau đó

đưa ra một số tính chất của hàm điều hòa, trình bày các kết quả cổ điển

của hàm điều hòa như các định lý trung bình, định lý Harnack, định lý

Liouville và các đành giá theo chuẩn Holder của nghiệm và các đạo hàm

cấp một, cấp hai của nó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn