Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

________________

Đặng Minh Hải

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG

TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành biết ơn TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt

tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,

TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy,

truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS. Claude Comiti,

PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho

đề tài.

Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi.

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi

trong quá trình thực hiện luận văn.

Tác giả

Đặng Minh Hải

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS : Học sinh

GV : Giáo viên

GKNC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành

GKNC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành

GKNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành

GKCB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành

GKCB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành

GKCB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành

GVNC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành

GVNC11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành

GVNC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành

GVCB10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành

GVCB11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành

GVCB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của

hàm số” ..................................................................................................28

Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời tình huống 1 ...................................................74

Bảng 3.2. Thống kê các câu trả lời tình huống 2 ...................................................76

Bảng 3.3. Thống kê các câu trả lời tình huống 3 ...................................................82

Bảng 3.4. Thống kê câu trả lời pha 1 .....................................................................94

Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời pha 2 .....................................................................96

MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của

hàm số được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12).

Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau:

hàm bậc nhất y=ax+b, hàm bậc hai y=ax

2

+bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax

3

+bx2

+cx+d, hàm

đa thức bậc bốn trùng phương y=ax

4

+bx2

+c, hàm phân thức

ax b

y cx d

  

(c≠0, ad-bc≠0),

hàm phân thức

2 ax bx c

y a' x b'

   

(a≠0, a’≠0)

1

. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm

số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng

2

,

các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các

lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn

điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có chênh lệch gì so với các mối

liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học?

Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ

liên tục-khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi

tại điểm đó”. Các minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví

dụ đã giúp chúng tôi hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ

dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc

minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi. Ở phổ thông, điều này có được tính đến

không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ cho phép làm rõ các mối liên

hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ?

Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và

mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết.

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình

trong phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm :

1

Chỉ đề cập trong SGK nâng cao. 2

Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng

Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,…)” [19, tr.56]

Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một

đối tượng tri thức. Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa

tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với

các khái niệm: tình huống dạy học, biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng

các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm

một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái niệm này giúp giải thích các ứng xử của

học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số.

Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các

câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu,

tính liên tục và sự khả vi của hàm số?

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên

hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao?

Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được

đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ

thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên

hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?

Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của

học sinh?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới

hạn vấn đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục,

khả vi của hàm số. Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu

hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiến hành những

nghiên cứu sau:

-Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu,

tính liên tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu.

Nghiên cứu này trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ

giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông.

-Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và

sự khả vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2. Để thực hiện nghiên cứu này,

chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những

kết quả đạt được từ nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học. Kết thúc phần này, chúng

tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng

của mối quan hệ thể chế và đặt ra câu hỏi nghiên cứu mới.

-Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan

hệ cá nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt

ra liên quan đến đồ thị.

4. Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung.

Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu,

mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.

Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc

phân tích một số giáo trình đại học.

Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối

liên hệ giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó,

chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới.

Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng

tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở

cuối chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá

nhân của học sinh

Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng

nghiên cứu mới mở ra từ luận văn.

Chương 1 : MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN

ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP

ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :

Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên

tục và sự khả vi của hàm số?

Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :

 [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến

số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

 [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất bản Giáo

dục.

[21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là

cuốn sách được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt

Nam, với sự trợ giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng

hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở một số nội

dung, để làm rõ vấn đề chúng tôi cũng tham khảo thêm :

 [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp.

 [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).

 [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The

College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical

Association of America.

 [25]-Discontinuous and monotone Functions

(www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html)

Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính

đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn.

Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của

hàm số nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định

nghĩa không ? Sau đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí,

tính chất liên quan đến ba đối tượng này.

1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi

1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu

[21] đưa vào định nghĩa như sau:

“ NếuJ I R1

, hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu

12 1 2 1 2 x , , () () x Jx x fx fx   

Tăng nghiêm ngặt trên J nếu

12 1 2 1 2 x , , () () x Jx x fx fx   

Giảm trên J nếu

12 1 2 1 2 x , , () () x Jx x fx fx   

Giảm nghiêm ngặt trên J nếu

12 1 2 1 2 x , , () () x Jx x fx fx   

Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46]

Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]:

“ Cho X  ( ) R và X f  R 2

1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi :

2

12 12 1 2 1 2      ( , ) , ( , , ( ) ( )) x x X xx Xx x fx fx

2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi :

2

12 12 1 2 1 2      ( , ) , ( , , ( ) ( )) x x X xx Xx x fx fx

3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi :

2

12 12 1 2 1 2      ( , ) , ( , , ( ) ( )) x x X xx Xx x fx fx

4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi :

2

12 12 1 2 1 2      ( , ) , ( , , ( ) ( )) x x X xx Xx x fx fx

5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.

6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm

nghiêm ngặt. ” 3 [22, tr.103]

Nhận xét :

Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con

bất kì khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm)

1

Trong [21] kí hiệu A  B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, A  B nghĩa là mọi phần

tử của A đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B. 2

P(R) là tập các tập con của R, RX là tập các hàm số từ X vào R. 3 f là hàm số từ X vào R.

nghiêm ngặt”. [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp

hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f

đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ

khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.”. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi

nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng

hay giảm nghiêm ngặt.

1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục

 Liên tục tại một điểm

“ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại (,) o x  a b nếu

lim ( ) ( ) o

o x x

f x fx 

 ” [21, tr.89]

“Cho f: I →K, a I  . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi:

           0, 0, ,( ( ) ( ) )   x I x a fx fa .” 4 [22, tr.120]

Nhận xét:

[21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông

qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ  , ), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ

 , (định nghĩa của Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho

f : I K  , a I  . Để f liên tục tại a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm

a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương của hai định nghĩa trên.

Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra

định nghĩa về điểm gián đoạn và phân loại chúng:

“Hàm số f(x) không liên tục tại điểm o x được gọi là gián đoạn tại điểm ấy.

Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], [,] o x  a b là một điểm gián đoạn của f . Ta

nói o x là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu ( 0) ( 0) o o fx fx    5

; o x là điểm gián

đoạn loại một nếu ( 0) , ( 0) o o f x Rfx R   nhưng ( 0) ( 0) o o fx fx   , hiệu

( 0) ( 0) o o fx fx   được gọi là bước nhảy của f tại o x ; o x được gọi là điểm gián

đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai loại trên.” [21, tr.90]

“Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a.

4

I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là ￾ hoặc R.

Trong luận văn này, ta hiểu K là R. 5 ( 0) lim ( ) o

o x x

f x fx     , ( 0) lim ( ) o

o x x

f x fx   

[…]

Gián đoạn loại 1

Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f

có giới hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f

xác định bên phải a).

Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f

có điểm gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121]

Nhận xét:

Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm

gián đoạn bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn

loại 1 của [22].

 Liên tục trên khoảng

“Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi x(,) a b .”

[21, tr.91]

“Cho f : I K  . Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.”

[22, tr.121]

1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi

“ Cho a I  , I f  K . Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi

0

( ) () lim

h

f a h fa

 h

 

tồn tại và

hữu hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22,

tr.139]

“Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm

c ab (,) nếu tồn tại giới hạn () () lim ,

x c

fx fc Ax c  x c

   

Số A; giới hạn của tỉ số () () , fx fc x c

x c

   , khi x  c được gọi là đạo hàm của hàm

số f(x) lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119]

Nhận xét:

Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này

qua nhận xét sau:

“Nếu đặt x   c x thì biểu thức định nghĩa trở thành

0

( ) () lim : '( )

x

fc x fc f c

  x

   

” [21, tr.119]