Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình laplace.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA

VÀ PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE

Giáo viên hƣớng dẫn : TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Sinh viên thực hiện : Huỳnh Thị Ni

Lớp : 11CTUD1

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015

Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................... 1

MỞ ĐẦU............................................................................................................................. 2

CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ................................................................................. 4

1.1. Các kí hiệu................................................................................................................ 4

1.1.1. Kí hiệu các hàm số.............................................................................................. 4

1.1.2.Kí hiệu về đạo hàm.............................................................................................. 6

1.1.3.Các không gian hàm............................................................................................ 7

1.1.4.Hàm vectơ............................................................................................................. 8

1.2.Một số vấn đề về giải tích thực ................................................................................ 9

1.2.1.Biên ....................................................................................................................... 9

1.2.2.Định lý Gauss-Green ......................................................................................... 10

1.2.3.Tọa độ cực, công thức đổi miền........................................................................ 12

CHƢƠNG 2: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ PHƢƠNG

TRÌNH LAPLACE.......................................................................................................... 15

2.1.Nghiệm cơ bản ........................................................................................................ 16

2.2.Công thức giá trị chính .......................................................................................... 19

2.3.Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa................................................................ 22

2.3.1.Nguyên lý cực đại (mạnh), tính duy nhất........................................................ 22

2.3.2.Tính chính quy................................................................................................... 26

2.3.3.Đánh giá địa phƣơng của hàm điều hòa.......................................................... 29

2.3.4.Định lý Liouville................................................................................................. 32

2.3.5. Tính giải tích ..................................................................................................... 33

2.3.6. Bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa (không âm)................................ 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 38

Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 1

LỜI CẢM ƠN

Sau một khoảng thời gian học tập và nghiên cứu dƣới sự hƣớng dẫn chỉ đạo của

thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, đến nay khóa luận tốt nghiệp “Các tính chất cơ bản của hàm

điều hòa và phƣơng trình Laplace” của em đã đƣợc hoàn thành. Cho phép em đƣợc gởi

đến thầy lời cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ của thầy đối với em không chỉ trong

khoảng thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Nhà trƣờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán

trƣờng Đại học Sƣ phạm Đà Nẵng đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho em trong khoảng

thời gian làm khóa luận tốt nghiệp. Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong

khoa Toán đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho

em trong quá trình học tập tại trƣờng.

Cuối cùng, em xin cảm ơn tất cả bạn bè, ngƣời thân đã động viên, giúp đỡ em

trong khoảng thời gian vừa qua.

Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Trong toán học, phƣơng trình Laplace là một phƣơng trình đạo hàm riêng

đƣợc tên theo ngƣời khám phá – Pierre Simon Laplace. Nghiệm của phƣơng trình

Laplace đóng vai trò khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học. Và một trong

những nghiệm của phƣơng trình Laplace là hàm điều hòa.

Đặc biệt, lý thuyết hàm điều hòa và các tính chất của nó cho ta rất nhiều

ứng dụng, phải kể đến đó là các tính chất nhƣ giá trị trung bình, nguyên lý cực trị

(giá trị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt đƣợc trên biên),…Trong giải tích phức,

các hàm điều hòa có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình.

Việc định nghĩa và xét các tính chất của hàm điều hòa phải thông qua các hàm nửa

liên tục.

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của hàm điều hòa và

phƣơng trình Laplace, nhằm đáp ứng nguyện vọng nghiên cứu của bản thân, đồng

thời nhận đƣợc sự gợi ý và động viên của giáo viên hƣớng dẫn – TS. Nguyễn Duy

Thái Sơn, em đã lựa chọn:

“ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA

VÀ PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE”

làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận của mình.