Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Bồi dưỡng học sinh giỏi phần BĐT
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BAØI THAM GIA CUOÄC THI “ GIAÛI TOAÙN SÔ CAÁP THEO CHUYEÂN ÑEÀ”
KHOÁI 10: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
CHUYEÂN ÑEÀ: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂ – SI VAØ ÖÙNG DUÏNG
I/ Toùm taét kieán thöùc:
Ñònh nghóa: Baát ñaúng thöùc laø hai bieåu thöùc noái vôùi nhau bôûi moït trong caùc daáu >(lôùn hôn), < (nhoû
hôn),≥ (lôùn hôn hoaëc baèng), ≤ (nhoû hôn hoaëc baèng).
Ta coù: A > B ⇔ A – B > 0 ; A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0
− Trong baát ñaúng thöùc A > B ( hoaëc A < B, A ≥ B, A ≤ B), A ñöôïc goïi laø veá traùi, B laø veá phaûi cuûa
baát ñaúng thöùc.
− Caùc baát ñaúng thöùc A > B vaø C > D goïi laø baát ñaúng thöùc cuøng chieàu. Caùc baát ñaúng thöùc A > B vaø
E < F goïi laø baát ñaúng thöùc traùi chieàu.
− Neáu ta coù A > B⇒ C > D, ta noùi baát ñaúng thöùc C >D laø heä quaû cuûa baát ñaúng thöùc A > B
Neáu ta coù A > B⇔ E > F , ta noùi hai baát ñaúng thöùc A > B vaø E > F laø hai baát ñaúng thöùc töông
ñöông.
A > B(hoaëc A < B) laø baát ñaúng thöùc ngaët, A≥B ( hoaëc A ≤ B) laø baát ñaúng thöùc khoâng ngaët.
A ≥ B laø A > B hoaëc A = B
A ≠ B cuõng laø baát ñaúng thöùc.
Hai baát ñaúng thöùc cuøng chieàu, hôïp thaønh moät daõy khoâng maâu thuaãn goïi laø baát ñaúng thöùc keùp.
Ví duï: A < B < C
Baát ñaúng thöùc Coâ – si( baát ñaúng thöùc trung bình coäng vôùi trung bình nhaân)
Ñoái vôùi 2 soá khoâng aâm: ∀ a,b ≥ 0, ta coù: 2
a b +
≥ ab .Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a = b
Toång quaùt: ∀ a1, a2, a3, ......,an≥ 0(vôùi n soá) 1 2 + + + ......
n
a a a
n
≥ 1 2 ...
n
n
a a a
Ñaáu ñaúng thöùc xaûy ra khi a1 = a2 = ..... = an
ÖÙng duïng:
- Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát:
+ Neáu a + b = k( k laø haèng soá) thì ab≤
2
( )
2
a b +
⇔ ab≤
2
4
k
=> Max(ab) =
2
4
k
khi a = b= 2
k
+ Neáu ab = p (p laø haèng soá) thì a + b ≥ 2 p => Min (a + b) =2 p khi a = b = p
- Giaûi phöông trình, heä phöông trình.
II/ Baøi taäp aùp duïng:
Baøi 1: Cho caùc soá thöïc döông a, b, c . CMR: b c
a
+
2
+
a c
b
+
2
+ b a
c
+
2
≥
2
a + b + c
Vôùi a, b, c > 0 ta coù:
b c
a
+
2
+ 4
b +c
≥ a (aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si)
Töông töï ta coù:
a c
b
+
2
+ 4
a +c
≥ b; vaø
b a
c
+
2
+ 4
a +b
≥ c
=>
b c
a
+
2
+
a c
b
+
2
+
b a
c
+
2
+ 2
a + b + c
≥ a + b + c =>
b c
a
+
2
+
a c
b
+
2
+
b a
c
+
2
≥
2
a + b + c
(ñpcm)
Baøi 2: Cho3 soá döông a, b, c. CMR:
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a
≥ a ac + b ba + c ab
Ta coù:
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a
=
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab – (ac + cb + ab) =
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab– (
ab
2
+
bc
2
+
ab
2
+
ac
2
+
bc
2
+
ac
2
)≥2
3
.
a
bc
c
+ 2
3
.
b
ac
c
+ 2
3
.
c
ab
a
+ 2 .
4
ab bc - 2 .
4
ab ac - 2 .
4
bc ac
=
= 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b ba - c ab = a ac + b ba + c ab (ñpcm)