Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008

111

BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI TUYẾN TÍNH

TỔNG QUÁT VỚI DẠNG ĐẶC TRƯNG ĐỔI DẤU

Nguyễn Thị Ngân (Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên)

1. Mở đầu

Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng

không âm đã được trình bày trong nhiều tài liệu ( xem [1], [2], [3]). Trong mục này chúng tôi

mô tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu trong

miền Ω+ và Ω-

, cách đặt bài toán biên thứ nhất cho từng miền Ω+ và Ω-

một cách riêng biệt.

1.1 Phương trình với dạng đặc trưng đổi dấu

Ta ký hiệu Ω là miền bị chặn trong Rn

với biên ∑ ≡ ∂Ω. Trong Ω cho phương trình cấp

hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu như sau:

∑ ∑ = =

= + + =

n

k

x

k

n

k j

x x

kj L u x a x u b x u c x u f x

k j k

, 1 1

( ) ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.1)

với điều kiện:

akj = ajk ; (1.2)

, 1

( , ) ( ) 0;

n

kj

k j

k j

A x a x ξ ξ ξ

=

= ≤ ∑ (1.3)

cho mọi véc tơ ξ = (ξ1, …, ξn) và mọi điểm x ∈ Ω. Hàm số ϕ(x), f(x), u(x) ∈ Lp (Ω).

Ta giả thiết hàm ϕ(x) có tính chất:

Nếu ϕ(x) = 0 thì grad ϕ(x) ≠ 0 (1.4)

Ω = Ω+ ∪ S ∪ Ω￾với: Ω+ = {x ∈ Ω ; ϕ (x) > 0} ;

Ω-

= {x ∈ Ω ; ϕ (x) < 0} ;

S = {x ∈ Ω ; ϕ (x) = 0} ;

Mặt S phân chia miền Ω (một cách địa phương) thành hai miền: một miền có ϕ(x) > 0,

miền còn lại có ϕ(x) < 0.

1.2 Mô tả phương trình trong các miền Ω+ , Ω￾Ta kí hiệu Σ+ là biên của miền Ω+.

Σ-

là biên của miền Ω￾Biên Σ của miền Ω được chia dưới dạng:

Σ = Σ' ∪ Σ " ;

trong đó: Σ =' ∑∪Ω+ ;

Σ ='' ∑∪Ω− .

Do vậy: