Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 8 pptx

5.2. Co. so.

’ . D- ˆo’i co. so.

’ 195

1+ Ch´u.

ng minh r˘a`ng E1, E2 lˆa.p th`anh co. so.

’ cu’ a R2.

2+ T`ım to.a dˆo. vecto. x trong co. so.

’ E1, E2.

3+ T`ım to.a dˆo. cu’ a vecto. x trong co. so.

’ E2, E1.

Gia’i. 1+ Ta lˆa.p ma trˆa.n c´ac to.a dˆo. cu’ a E1 v`a E2:

A =

"

1 −2

2 1 #

⇒ detA = 5 6= 0.

Do d´o hˆe. hai vecto. E1, E2 l`a dltt trong khˆong gian 2-chiˆe`u R2 nˆen n´o

lˆa.p th`anh co. so.

’ .

2+ Trong co. so.

’ d˜a cho vecto. x c´o to.a dˆo. l`a (3, −4). Gia’ su.

’ trong

co. so.

’ E1, E2 vecto. x c´o to. a dˆo. (x1, x2). Ta lˆa.p ma trˆa.n chuyˆe’n t`u. co.

so.

’ E1, E2 dˆe´n co. so.

’ E1, E2:

T =

"

1 2

−2 1#

⇒ T −1 = 1

5

"

1 2

−2 1#

Khi d´o

"

x1

x2

#

= T −1

"

3

−4

#

⇒

"

x1

x2

#

= 1

5

"

1 −2

2 1 # " 3

−4

#

= 1

5

"

11

2

#

=







11

5

2

5





 .

Vˆa.y x1 = 11

5 , x2 = +2

5 .

3+ V`ı E1, E2 l`a co. so.

’ cu’ a R2 nˆen E2, E1 c˜ung l`a co. so.

’ cu’a R2. Ma

trˆa.n chuyˆe’n t`u. co. so.

’ E1, E2 dˆe´n co. so.

’ E2, E1 c´o da.ng

A∗ =

"

2 1

1 −2

#

, A∗−1 = −1

5

"

−2 −1

−1 2 # " 3

−4

#

= −1

5

"

−2

−11#

=







2

5

11

5







Do d´o x1 = 2

5

, x2 = 11

5 trong co. so.

’ E2, E1.

V´ı du. 8. Trong khˆong gian R3 cho co. so.

’ E1, E2, E3 n`ao d´o v`a trong

co. so.

’ d´o c´ac vecto. E1, E2, E3 v`a x c´o to.a dˆo. l`a E1 = (1, 1, 1); E2 =

(1, 2, 2), E3 = (1, 1, 3) v`a x = (6, 9, 14).

196 Chu.

o.

ng 5. Khˆong gian Euclide Rn

1+ Ch´u.

ng minh r˘a`ng E1, E2, E3 c˜ung lˆa.p th`anh co. so.

’ trong R3.

2+ T`ım to. a dˆo. cu’ a x trong co. so.

’ E1, E2, E3.

Gia’i. 1+ tu.

o.

ng tu.

. nhu. trong v´ı du. 7, ha.ng cu’ a hˆe. ba vecto.

E1, E2, E3 b˘a`ng 3 nˆen hˆe. vecto. d´o dˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong khˆong

gian 3-chiˆ`eu nˆen n´o lˆa.p th`anh co. so.

’ cu’ a R3.

2+ Dˆe’ t`ım to. a dˆo. cu’ a x trong co. so.

’ E1, E2, E3 ta c´o thˆe’ tiˆe´n h`anh

theo hai phu.

o.

ng ph´ap sau.

(I) V`ı E1, E2, E3 lˆa.p th`anh co. so.

’ cu’ a R3 nˆen

x = x1E1 + x2E2 + x3E3

⇒ (6, 9, 14) = x1(1, 1, 1) + x2(1, 2, 2) + x3(1, 1, 3)

v`a do d´o x1, x2, x3 l`a nghiˆe.m cu’a hˆe.

x1 + x2 + x3 = 6,

x1 + 2x + x3 = 9,

x1 + 2x2 + 3x3 = 14.







⇒ x1 = 1

2

, x2 = 3, x3 = 5

2 ·

(II) Lˆa.p ma trˆa.n chuyˆe’n t`u. co. so.

’ E1, E2, E3 sang co. so.

’ E1, E2, E3:

TEE =







111

121

123







⇒ T −1

EE = 1

2







4 −1 −1

−22 0

0 −1 1





 .

Do d´o







x1

x2

x3





 = T −1

EE







6

9

14





 = 1

2







1

6

5





 =











1

2

3

5

2











v`a thu du.

o.

.

c kˆe

´t qua’ nhu. tronng (I). N

BAI T ` Aˆ

. P