Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Bài Tập Toán Cao Cấp
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017
ThS. ĐỖ THÚY HẰNG
ThS. ĐỖ THÚY HẰNG
ThS. NGUYỄN THỊ QUYÊN
BµI TËP
TO¸N CAO CÊP
THS. ĐỖ THÚY HẰNG, THS. NGUYỄN THỊ QUYÊN
BÀI GIẢNG
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017
2
3
LỜI NÓI ĐẦU
Các môn Toán cao cấp B, C là những môn học đại cương được bộ môn
Toán giảng dạy cho hầu hết sinh viên của Trường Đại học Lâm nghiệp. Việc có
một tài liệu bài tập bám sát nội dung lý thuyết của các môn Toán cao cấp này là
một việc làm rất cần thiết vì nó trực tiếp phục vụ các thầy cô trong quá trình
giảng dạy, giúp sinh viên học tập hiểu sâu sắc lý thuyết và làm thành thạo các
dạng bài tập để các em đạt kết quả tốt cho môn học. Bởi vậy, chúng tôi biên
soạn cuốn bài giảng Bài tập toán cao cấp.
Nội dung bài giảng gồm 6 chương:
- Chương 1: Hàm số một biến số thực;
- Chương 2: Đạo hàm, vi phân hàm một biến;
- Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến;
- Chương 4: Ma trận - Định thức - Hệ phương trình;
- Chương 5: Hàm hai biến;
- Chương 6: Phương trình vi phân.
Trong đó, Thạc sỹ Nguyễn Thị Quyên biên soạn các chương 1, 2 và 3;
Thạc sỹ Đỗ Thúy Hằng biên soạn các chương 4, 5 và 6.
Mỗi chương trong bài giảng được cấu trúc gồm các phần: Bài tập có lời
giải, bài tập sinh viên vận dụng để tự giải nhằm hướng dẫn sinh viên nắm được
cách thức làm từng dạng bài tập rồi tự luyện tập các dạng bài tương tự. Hơn nữa,
ở mỗi chương, các tác giả đã cố gắng đưa vào phần bài tập tham khảo những
ứng dụng thực tế của một số khái niệm toán học vào đời sống, kinh tế, kỹ thuật
để tạo sự tò mò, hứng thú của sinh viên với môn học, từ đó giúp các em có thêm
động lực để học tốt hơn.
Bài giảng được biên soạn lần đầu trên cơ sở phân định cụ thể từng dạng bài tập
và đưa vào các ứng dụng thực tế của môn học nên không tránh khỏi những sai sót.
Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của đồng nghiệp, các bạn sinh viên và
toàn thể độc giả.
Xin chân thành cảm ơn!
Nhóm tác giả
4
5
Chương 1
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC
1.1. Kiến thức cần ghi nhớ
1.1.1. Tìm tập xác định, tập giá trị, tìm hàm ngược của hàm số
1.1.2. Tìm giới hạn của hàm số
- Khi giải các bài toán tìm giới hạn, trước tiên cần kiểm tra xem hàm số cần
tìm giới hạn có thuộc dạng vô định hay không.
- Các dạng vô định:
0 0 0 ; ; ; .0;1 ; ; 0
0
- Nếu không thuộc dạng vô định nào thì không cần biến đổi, chỉ việc áp
dụng các định lí, tính chất của các phép tính giới hạn để tính trực tiếp.
- Nếu gặp dạng vô định (có thể có giới hạn hay không có giới hạn), ta cần
phải biến đổi, ‘khử’ dạng vô định để tìm giới hạn.
- Phương pháp biến đổi để khử dạng vô định khá đa dạng, tùy từng bài toán
cụ thể mà ta có các cách khác nhau. Dưới đây là một số phương pháp thường gặp:
1. Phương pháp biến đổi giản ước, nhân với biểu thức liên hợp để khử căn;
2. Phương pháp sử dụng công thức giới hạn cơ bản;
3. Phương pháp thay thế VCB (VCL) tương đương và phương pháp ngắt bỏ
VCB bậc cao, ngắt bỏ VCL bậc thấp;
4. Phương pháp Lo - pi - tan (thuộc chương 2).
1.1.3. Xét tính liên tục, tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số
1.2. Bài tập có lời giải
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1. 2
y x 1 ln( 1) 2. 1
2 1 3 y
x x
3. 1 2 1 arcsin
2 5 2
x
y
x x
4. 1 2 sin ln(25 ) 2 y x x
5.
2 3 2 lg ln 1
x x
y x
x
Bài 2: Tìm miền giá trị của các hàm số sau:
6
1. 2 y x x 3 2 2. y = ln(1 – 2sinx) 3. 2
2 arcsin
1
x
y
x
Bài 3: Tìm hàm ngược của các hàm số sau:
1. y = 2x – 4 2. 1
1
x
y
x
( x 1)
3. 2 y x x 4 ;( 2 0)
Bài 4: Tính các giới hạn sau (sử dụng biến đổi giản ước, nhân với biểu thức
liên hợp để khử căn):
1.
1 3
1 3 ( )
1 1
lim
x x x 2.
2
2 7
2 11 21
lim
x 9 14
x x
x x
3.
2
4 1 3
2 2
lim
x
x
x
4.
8
3 2
1 3
lim
x
x
x
5. 2 lim ( 2 ) x
x x x
6. 3 3 2 lim 1 x
x x x
Bài 5: Tính các giới hạn sau(biến đổi đưa về các công thức giới hạn cơ bản):
1. lim ln 1 ln x
x x x
2.
3
0
1 1
lim
x
x x
x
3.
0
1 1
lim
m n
x
x x
x
4.
2
2
4 lim
x arctan 2
x
x
5. 3 0
tanx sinx lim
x x
6.
0
1 cos os2 cos3 lim
x 1 cos
xc x x
x
7.
3
2 0
cos cos lim
x sin
x x
x
8. 3 0
1 t anx 1 sinx lim
x x
9.
0
1 t anx 1 tanx lim
x sin 2x
Giới hạn dạng 1 :
10. 2 3 1 lim ( )
2 1
x
x
x
x
11.
3
2
1
2
3 1
lim ( )
3 1
x
x
x
x x
x x
12.
2 2 2
2
3 2 1 lim
3 5
x
x
x x
x
13.
2
lim cos
t
t
x
t
7
14.
0
lim cos x
x
x
15. 2 lim 2 0 ;
x tg
a
x a
x
a
a
16.
1
2 sin
0
lim os3
x
x
c x
17. 2
1
0
lim cos x
x
x
18.
1
2
0
cos lim
os2
x
x
x
c x
Bài 6: Tính các giới hạn sau bằng cách sử dụng tính chất của VCB và VCL:
1.
0
sin3 lim
x 2
x
arctg x
2. 2 0
(1 cos )arcsin lim
x tan
x x
x x
3. 2 2 0 1
(1 cos5 )arcsin 2 lim
tan x x e
x x
x
4.
1
1
sin( 1) lim
ln
x
x
e
x
5.
sin 5 sin 2
0 ln 1 2
lim
x x
x
e e
x
6.
0
1 sin3 1
ln 1 tan 2
lim
x
x
x
7.
1
ln 1 sin3
2
0
lim 1 tan
x x
x
x
8.
cot
3
0
lim sin 2
x
x
x
e x
9. 5 0
1 os3 tan5
3
lim
x
c x x
x x
10.
2
2 0
arcsin 3 sin
tan ln 1 7
lim
x
x x
x x
11.
2 5
2 0 3
ln 1
lim
1 tan x x
x x
e x
12.
3 5 0
sin3 os4x -1
ln 1 arcsin
lim
x
x c
x x
Bài 7: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:
1.
1 sin khi 0 ( )
1 khi 0
x x f x x
x
2.
2
2
1 khi 0 ( )
2 3 2 khi 0
x e
x f x x
x x x
8
3. 2
1
( ) khi 0
0 khi 0
x f x e x
x
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số để các hàm số sau liên tục trên miền
xác định:
1. 2
2 1
( )
4
x
f x
ax
nếu 1
1
x
x
2. 2
3
3 khi 0
sin 2 ln 1
khi 0
x a x
f x x x
x
x
Bài 9: Tìm điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau:
1.
2
2
4
6
x
y
x x
2.
3 2 2
3 2
x x
y
x
3. 2
7 3
4
x
y
x
4.
3
2
5 4 1 x
y
x x
5. y x x cot an 6. 2
1
1 x y
e
7. 1
2 3
1
x
y
x e
8. 2
2
1 os3 khi 0
ln 1 2
2 1 khi 0
c x
x
x y
x x
LỜI GIẢI
Bài 1:
1. 2
y x 1 ln( 1)
Điều kiện:
2
2
1 0
1 ln( 1) 0
x
x
2 0 1 x e x e e [ 1, 1) (1, 1]
Vậy TXĐ của hàm số trên là: D=[ 1, 1) (1, 1] e e .
2. 1
2 1 3 y
x x
9
Lập bảng:
x -∞ 0 1 +∞
2 1 3 x x 3 2 x x 2 3 4 x
Vậy TXĐ của hàm số trên là: D=R/{-2/3, 4/3}.
3. 1 2 1 arcsin
2 5 2
x
y
x x
Điều kiện:
2 5 0
2 1 1 1
2
x
x
x
Hệ vô nghiệm nên TXĐ của hàm số trên là: D = .
4. 1 2 sin ln(25 ) 2 y x x
Điều kiện:
2
1 sin 0
2
25 0
x
x
5 2 2 5
6 6 ,
6 6 5 5
k x k
x
x
Vậy TXĐ của hàm số trên là: 5
,
6 6
D .
5.
2 3 2 lg ln 1
x x
y x
x
Điều kiện:
2 3 2 0
1 (0,1) (2, )
0
x x
x x
x
Vậy TXĐ của hàm số trên là: D (0,1) (2, ).
Bài 2:
1. 2 y x x 3 2
TXĐ: D ( ,1] [2, )
Ta có: 2
y x x 3 2 0 .
Với 0 y y 0 , giải phương trình:
2
0y x x 3 2 2 2
0 x x y 3 2 0
10
2 2
0 0 0 9 4(2 ) 4 1 0 y 0 y y
luôn tồn tại x ( ,1] [2, )thoả mãn phương trình 2
0y x x 3 2 .
Vậy tập giá trị của hàm số là[0, ) .
2. y = ln(1 – 2sinx)
Điều kiện: 1 sinx
2
Ta có: 1 1 sinx
2
0 1 2sinx 3 ln(1 2sinx) ln 3
Vậy tập giá trị của hàm số là( ,ln 3] .
3. 2
2 arcsin
1
x
y
x
TXĐ: R
Ta có: 2
2 1 1 x R
1
x
x
2
2 arcsin
2 2 1
x
x
Vậy tập giá trị của hàm số là [ ; ] 2 2
.
Bài 3:
1. y = 2x – 4
2 4 2
2
y y x x
Vậy hàm ngược của hàm số y = 2x – 4 là hàm số 2
2
x
y .
2. 1
( 1)
1
x
y x
x
Ta có:
1 2 1 1 1
1 1
x
y x
x x
1 1 y( 1) 1
1 1
x y y x x x
x y
Vậy hàm ngược của hàm số 1
1
x
y
x
là hàm số 1 .
1
x
y
x
11
3. 2 y x x 4 2 0
Ta có: 2 2 2 2 y x x x y 4 y 4 4
Kết hợp điều kiện 2 2 0 4 x x y
Vậy hàm ngược của hàm số 2 y x x 4 2 0 là hàm số 2
y x 4 .
Bài 4:
1.
2
3 3 1 1
1 3 1 3 lim( ) lim
x x 1 1 1
x x
x x x
2 2 1 1
( 1)( 2) ( 2) lim lim 1
x x (1 )(1 ) (1 )
x x x
x x x x x
2.
2
2 7 7 7
2 11 21 (2 3)( 7) 2 3 17 lim lim lim
x x x 9 14 ( 7)( 2) 2 5
x x x x x
x x x x x
3.
2 2
4 1 3 (4 1 9)( 2 2) lim lim
x x 2 2 ( 2 4)( 4 1 3)
x x x
x x x
2
2 2 8 =4lim
x 4 1 3 3
x
x
4.
3
8 8 3 2 3
2 ( 8)( 1 3) lim lim
1 3 ( 1 9)( 2 4) x x
x x x
x x x x
8 3 2 3
1 3 1 lim
2 2 4 x
x
x x
5. 2 lim ( 2 )
x
x x x
Ta có: 2 lim ( 2 )
x
x x x
2 2
2
2
2
2 2
( 2 ) lim ( 2 ) lim 2 lim 2 2 1
1 2 lim 2 lim
2 2 1 1 1
1
x x x
x x
x x x x
x x x
x x x x
x
x
x x
x x
12
6. 3 2 3
3 3 2
3 3 3 2 2 3 2 2
1 lim 1 lim
( 1) 1 x x
x x x
x x x
x x x x x x
2
2
2 2 3 3
3 3
1 (1 )
lim
1 1 1 1 [ (1 ) 1 1] x
x
x
x
x x x x
2
2 3 3
3 3
1 1 1 lim
1 1 1 1 3 (1 ) 1 1 x
x
x x x x
Bài 5:
1.
1 ln(1 ) 1 lim ln 1 ln lim ln lim
x x x 1
x x x x x x
x
x
0
ln(1 ) lim 1
t
t
t
2.
3 3
0 0 0
1 1 ( 1 1) 1 1 lim lim lim
x x x
x x x x
x x x
1 1
3 2
0 0
(1 ) 1 (1 ) 1 lim lim
1 1 5
3 2 6
x x
x x
x x
3.
0 0 0
1 1 1 1 1 1 lim lim lim
m n n m
x x x
x x x x
x x x
1 1
0 0
(1 ) 1 (1 ) 1 lim lim
m n
x x
x x
x x
m n
4.
2
2 2
4 2 lim lim ( 2) 4
x x arctan 2 arctan 2
x x
x
x x
5. 3 3 2 0 0 0
t anx sinx t anx(1-cosx) t anx 1-cosx 1 lim lim lim ( )
x x x x x x x 2
13
6.
0
1 cos os2 cos3 lim
x 1 cos
xc x x
x
0
0 0 0
0 0
1 cos cos cos cos2 cos cos2 cos os2 cos3 lim
1 cos
1 cos cos cos cos2 cos cos2 cos os2 cos3 lim lim lim
1 cos 1 cos 1 cos
cos (1 os2 ) cos cos2 (1 cos3 ) 1 lim lim
1 cos 1 cos
x
x x x
x x
x x x x x x xc x x
x
x x x x x x xc x x
x x x
x c x x x x
x
x
2 2
2 2 0 0
1 os2 1 cos3 1 lim cos ( )( lim cos cos2 ( ) 1 cos 1 cos
9 1 1.2.2 1.1. .2 1 4 9 14
2
x x
c x x x x
x x x
x x x x
7.
3
2 0
cos cos lim
x sin
x x
x
3
2 2 0
cos 1 cos 1 lim ( )
x sin sin
x x
x x
0 0 2 2 2 3 3
cos 1 (cos 1) lim lim
sin ( cos 1) sin ( cos cos 1) x x
x x
x x x x x
2 2
2 2 0 0 3 2 3
2 2
cos 1 cos 1
lim lim
sin sin ( cos 1) ( cos cos 1)
1 1 1
4 6 12
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
8. 3 0
1 t anx 1 sinx lim
x x
3 0
3 0
2 0
t anx sinx lim
( 1 t anx 1 sinx )
t anx(1- cos ) lim
( 1 t anx 1 sinx )
t anx (1- cos ) 1 lim
( 1 t anx 1 sinx )
1 1 1 1. .
2 2 4
x
x
x
x
x
x
x
x x
14
9.
0
1 t anx 1 tanx lim
x sin 2x
0
0
2 tan lim
sin 2 ( 1 t anx 1 t anx)
2 t anx 1 lim
sin 2 ( 1 t anx 1 t anx)
1
2
x
x
x
x
x
x x
Giới hạn dạng 1 , biến đổi đưa về công thức giới hạn số e.
Xét
0
( ) lim ( ) v x
x x
u x
với
0
lim ( ) 1
x x
u x
;
0
lim ( )
x x
v x
Ta viết:
0 0
( ( ) 1) ( ) 1
( ) lim ( ) lim 1 ( ) 1 ( ) 1
u x v x
v x
u x
x x x x
u x u x
= 0
lim ( ( ) 1) ( )
x x u x v x
e
Do đó khi gặp giới hạn dạng 1 ta có thể áp dụng công thức:
0
0
lim ( ( ) 1) ( )
( ) lim ( ) x x
u x v x
v x
x x
u x e
Áp dụng để tính các giới hạn sau:
10. Đặt 2 3 1 lim ( ) 2 1
x J
x
x
e
x
Trong đó:
2 3 2 2 lim ( 1)( 1) lim ( ) 1
x x 2 1 2 1
x x J x
x x
Vậy 2 3 1 1 lim ( ) 2 1
x
x
x
e e
x
.
11.
3
2
1
2
3 1 lim ( )
3 1
x
J x
x
x x
e
x x
Trong đó:
2 3 4
2 2
3 1 2 lim ( 1) lim
x x 3 1 (3 1)(1 ) 1
x x x x J
x x x x x x
Vậy
3
2
1
2
3 1 lim ( )
3 1
x
x
x
x x
e
x x
.