Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 2 docx

1.4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.

c du.

´o.

i da.ng lu.

o.

.

ng gi´ac 27

T`u. d´o thu du.

o.

.

c

z2 = p2(1 + cos ϕ)

h

cos 

− ϕ

2



+ isin 

− ϕ

2

i

v`a do vˆa.y

w =

p2(1 + cos ϕ)

p2(1 + cos ϕ)

×



cos

ϕ

2 + isin ϕ

2



cos 

− ϕ

2



+ isin 

− ϕ

2



= cos ϕ + isin ϕ. N

V´ı du. 3. 1) T´ınh (√3 + i)

126

2) T´ınh acgumen cu’a sˆo´ ph´u.

c sau

w = z4 − z2 nˆe´u argz = ϕ v`a |z| = 1.

Gia’i. 1) Ta c´o √3 + i = 2

cos

π

6 + isin π

6



. T`u. d´o ´ap du.ng cˆong

th´u.

c Moivre ta thu du.

o.

.

c:

(

√

3 + i)

126 = 2126h

cos

126π

6 + isin 126π

6

i

= 2126[cos π + isin π] = −2126.

2) Ta c´o

w = z4 − z2 = cos 4ϕ + isin 4ϕ − [cos 2ϕ − isin 2ϕ]

= cos 4ϕ − cos 2ϕ + i(sin 4ϕ + sin 2ϕ)

= −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2isin 3ϕ cos ϕ

= 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ].

(i) Nˆe

´u sin 3ϕ > 0 (t´u.

c l`a khi 2kπ

3 <ϕ< (2k + 1)π

3 , k ∈ Z) th`ı

w = 2 sin 3ϕ

h

cos π

2 + ϕ



+ isin π

2 + ϕ

i.

(ii) Nˆe

´u sin 3ϕ < 0 (t´u.

c l`a khi (2k − 1)π

3 <ϕ<

2kπ

3 , k ∈ Z) th`ı

w = (−2 sin 3ϕ)[sin ϕ − i cos ϕ].

28 Chu.

o.

ng 1. Sˆo´ ph´u.

c

Ta t`ım da.ng lu.

o.

.

ng gi´ac cu’ a v = sin ϕ − i cosϕ. Hiˆe’n nhiˆen |v| = 1.

Ta t´ınh argv

argv = arctg− cosϕ

sin ϕ



= arctg(−cotgϕ)

= arctgh

− tgπ

2 − ϕ

i = arctg

tg

ϕ − π

2

i

= ϕ − π

2 ·

Nhu. vˆa.y nˆe´u sin 3ϕ < 0 th`ı

w = (−2 sin 3ϕ)

h

cos 

ϕ − π

2



+ isin 

ϕ − π

2

i.

(iii) Nˆe

´u sin 3ϕ = 0 ⇒ ϕ = kπ

3

⇒ w = 0.

Nhu. vˆa.y

argw =







π

2 + ϕ nˆe´u

2kπ

3 <ϕ< (2k + 1)π

3 ,

khˆong x´ac di

.nh nˆe

´u ϕ = kπ

3 ,

ϕ − π

2

nˆe´u (2k − 1)π

3 <ϕ<

2kπ

3 · N

V´ı du. 4. Ch´u.

ng minh r˘a`ng

1) cos π

9 + cos

3π

9 + cos

5π

9 + cos

7π

9 = 1

2

.

2) cos ϕ + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + ··· + cos(ϕ + nα)

=

sin (n + 1)α

2

cos 

ϕ +

nα

2



sin

α

2

·

Gia’i. 1) D˘a.t

S = cos

π

9 + cos

3π

9 + ··· + cos

7π

9 ,

T = sin

π

9 + sin 3π

9 + ··· + sin 7π

9 ,

z = cos

π

9 + isin

π

9

.