bài tập toán 11 HKII khá đầy đủ

Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin

I. Phương pháp chứng minh qui nạp

1.Chứng minh rằng :

a) 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n 1)

2

+

b) 12

+ 22

+ 32

+ …+ n2

=

c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2

d) 12

+ 32

+ 52

+ …+ (2n – 1)2

=

e) 13

+ 23

+ 33

+ …+ n3

= f) + + +...+ =

g) 1 + + +...+ = 1 – h) (1 – )(1 – )…(1 – ) =

i) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) =

j) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2

(n + 1) n ∈ N

k) + + +...+ =

l) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n2

(n + 1)

m) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)2

n) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) =

o) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) = p) + + +...+ =

q) + + +...+ = –

r) 1 + 3 + 6 + 10 +... + =

s) + + +...+ =

2.Chứng minh rằng :

a)n3

– n chia hết cho 6 ∀ n > 1 b) n3

+ 11n chia hết cho 6 ∀ n

c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2n+2 > 2n + 5

d) n3

+ 3n2

+ 5n chia hết cho 3 e) 4n

+ 15n – 1 chia hết cho 9

e) 3n – 1 > n ∀ n > 1 f) 3n

> 3n + 1 g) 2n

– n >

f)11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133 g) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19

g) 2n3

– 3n2

+ n chia hết cho 6 g) 3n

> n2

+ 4n + 5

f) ∀ n >1

g) ∀ n ≥ 1

h) ..… < i) 1 + + + …+ > ∀n ≥ 2

j) 1 + + + …+ < 2 ∀n ≥ 2

k) 1 + + + …+ < n

3. Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn)

4. Chứng minh rằng (1 + a)n

≥ 1 + na với a > – 1

5. Chứng minh rằng

a) sinx + sin2x + sin3x + …+ sinnx =

b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + …+ cosnx =

c) cos2

x + cos2

2x + cos2

3x + …+ cos2

nx = +

6. Cho n số thực dương x1,x2,…,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.…xn = 1

Chứng minh rằng: x1 + x2 + …+ xn ≥ n

7. Cho n số thực x1,x2,…,xn ∈ (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng:

(1 – x1)(1– x2)…(1 – xn) > 1 – x1 – x2 – …– xn

II. Dãy số

1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :

a) un = b) un = c) un = d) un =

e) un = b) un = c) un = (1 + )n

d) un =

2.Cho dãy số un =

a) Xác định 5 số hạng đầu tiên

b) số là số hạng thứ mấy của dãy số

c) số là số hạng thứ mấy của dãy số

Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 1

Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin

3. Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3

Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9 ∀ n ≥ 1

4. Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) u1 = 3 ; un +1 = un + 4 b) u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2

c) u1 = 2 ; u n +1 = un d) u1 = ; un +1 =

e) u1 = ; un +1 = f) u1 = ; un +1 =

g) u1 = 1 ; u n +1 = un + 1 h) u1 = 1 ; un +1 = un + ()n

5. Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 =

a)Chứng minh rằng: un + 1 = – un + 1

b)Xác định công thức tính un .Từ đó tính limun

6. Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un =

a)Chứng minh rằng: 2un + un–1 = 4 và un – un– 1 = 3(– )n– 2

b) Tính limun

7. Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số:

a) u1 = 1 ; u2 = – 2 ; un = 3un – 1 – 2un – 2 b) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2

8. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7 ∀ n ≥ 1

a)Tính u2, u4 và u6 b)Chứng minh rằng: un = 7n – 6 ∀n ≥ 1

9. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= – un

2

+ un + 1 ∀ n ≥ 1

a)Tính u2, u3 và u4 b)Chứng minh rằng: un = un + 3 ∀n ≥ 1

10. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 5un ∀ n ≥ 1

a)Tính u2, u4 và u6 b)Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1

∀n ≥ 1

11. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 3un + 2n – 1 ∀ n ≥ 1

Chứng minh rằng: un = 3n

– n ∀n ≥ 1

12. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= ∀ n ≥ 1

Chứng minh rằng: (un) là một dãy không đổi

13. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = và un + 1= 4un + 7 ∀ n ≥ 1

a)Tính u2, u3 và u4 b)Chứng minh rằng: un = ∀n ≥ 1

14. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

a) un = b) un = c) un = n – d) un =

15. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

a) un = b) un = n2

– 5 c) un = d) un = (– 1)n

.n e) un = 2n

f) un = g) un = h) un = i) un = n + cos2

n j) un = 1 –

16. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :

a) un = b) un = c) un = d) un =

e) un = n dấu căn f) un = 2n + cos

f) un = – 2 g) un = h) un = (– 1)n

(2n

+ 1) k) un =

l) un = 2n + m) un =

17. Cho dãy số (un) xác định bởi un = a là một số thực.Hãy xác định a để:

a) (un) là dãy số giảm b) (un) là dãy số tăng

18. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) un = b) un = c) un = d) un =

e) un = f) un = g) un = n dấu căn

19. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên:

un = + + …+

20. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : un =

21. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức: u1 = 0 và un +1 = un + 4

a)Chứng minh rằng un < 8 ∀ n

b)Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn

22. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức: u1 = 1 và un +1 =

a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số

b)Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và

bị chặn trên bởi số 3/2

23. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1=

Chứng minh rằng un < 3 ∀ n

Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 2

Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin

24. Cho dãy số (un) xác định bởi un =

a)Tìm 5 số hạng đầu tiên b)Chứng minh rằng (un) bị chặn

25. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= tăng và bị chặn trên

26. Chứng minh rằng:các dãy số sau

a) un = + + … + (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1

b) un = 1 + + + …+ tăng và bị chặn trên bởi 2

c) u1 = ;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 2

d) u1 = 1;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi

27. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un =

III. Cấp số cộng

1. Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 .Tính a7

2. Cho cấp số cộng thoả mãn







+ =

+ − =

a a 8

a a a 10

2 6

3 7 4

Tính a5 ;S9

3. Cho cấp số cộng thoả mãn







=

− =

a .a 75

a a 8

2 7

7 3

Tính a10 ;S100

4. Tìm cấp số cộng biết

a)







+ =

+ − =

a a 26

a a a 10

4 6

2 5 3

b)







+ =

+ =

a a 1170

a a 60

2

12

2

4

7 15

5. Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400. Hỏi

cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó

6. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng :

a) a2

+ 2bc = c2

+ 2ab

b) 3 số a2

+ ab + b2

; a2

+ ac + c2

; b2

+ bc + c2

cũng tạo thành 1 cấp số cộng

c) a2

+ 8bc = (2b + c)2

d) 3(a2

+ b2

+ c2

) = 6(a – b)2

+ (a + b + c)2

7. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = – 56. Tìm 4 số đó

8. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = 320. Tìm 5 số đó

9. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293.Tìm 3

số đó

10. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 5 và tích của chúng là 1140.Tìm 3 số đó

11. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12, tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó

12. Tìm các nghiệm của phương trình x3

– 15x2

+ 71x – 105 = 0 biết rằng chúng tạo thành một cấp số

cộng

13. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8, tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó

14. Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp số cộng

15. Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

a)các số a2

, b2

, c2

lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng

b)các số a,b,c lập thành 1 CSC ⇔ các số , ,

lập thành 1 cấp số cộng

16. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ tan.

tan=

17. Chứng minh rằng nếu cot, cot , cot tạo thành 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số

cộng theo thứ tự đó

18. Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành 1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết

cạnh lớn nhất là 44cm. Tính số cạnh của đa giác

Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 3