Xấp xỉ nghiệm của một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân ba cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN BA CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017

ii

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tuyên.

Qua thời gian nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học, Đại học

Thái Nguyên tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành phục vụ

cho công tác giảng dạy và nghiên cứu của bản thân.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn TS.

Trương Minh Tuyên đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và chỉ bảo tác giả trong

suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong Ban giám hiệu, các

thầy cô của khoa Toán - Tin và các phòng chức năng của trường Đại học Khoa

học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian

học tập tại trường.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong lớp K9HY, bạn bè và

người thân trong gia đình đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 10

1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . 18

1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2 Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân ba

cấp 23

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banach

h., .i tích vô hướng trên H

k.k chuẩn trên H

∪ phép hợp

∩ phép giao

R+ tập các số thực không âm

I toán tử đồng nhất

∅ tập rỗng

∀x với mọi x

∃x tồn tại x

αn & α0 dãy số thực {αn} hội tụ giảm về α0

xn −→ x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

1

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên

cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,

bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán ... Bài

toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman P.và Stampacchia G. vào năm

1966 trong tài liệu [6]. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu

hạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu

khá chi tiết trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and

Their Applications" của D.Kinderlehrer và Stampacchia G. xuất bản năm 1980

[7].

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến

phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Có nhiều phương pháp giải đã được

đề suất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm

bất động ...

Bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng: Tìm một phần tử x

∗ ∈ C, sao cho

hF(x

∗

), x − x

∗

i ≥ 0, ∀x ∈ C,

trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó, C là

tập con lồi và đóng trong H. Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải

bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấp

nhận lồi nổi tiếng. Khi tập chấp nhận được C là tập nghiệm của một bài toán

khác (tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, tập không điểm của toán tử

đơn điệu, tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân khác ...) thì bài toán

trên còn được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Trong trường hợp

bấy kỳ ta có thể xem C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric PC từ H lên

C, do đó bài toán trên luôn có thể xem như bài toán bất đẳng thức biến phân