Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không giãn

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

NGUY™N SONG H€

X‡P XŸ NGHI›M CHO B‡T NG THÙC

BIN PH…N VÎI HÅ VÆ H„N CC NH X„

KHÆNG GI‚N

Ng nh: To¡n gi£i t½ch

M¢ sè: 9460102

LUŠN N TIN Sž TON HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC

GS.TS. Nguy¹n B÷íng

THI NGUYN - 2018

ii

LÍI CAM OAN

C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi, ÷ñc

ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. C¡c k¸t qu£ tr¼nh

b y trong luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh cõa

ng÷íi kh¡c. Tæi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cõa m¼nh.

Th¡i Nguy¶n, ng y ... th¡ng 8 n«m 2018

T¡c gi£

Nguy¹n Song H

iii

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡i

Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. T¡c gi£ xin

b y tä láng bi¸t ìn væ còng s¥u s­c tîi Th¦y gi¡o h÷îng d¨n.

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu, thæng qua c¡c b i gi£ng, c¡c buêi

sinh ho¤t chuy¶n mæn, seminar v  c¡c hëi th£o khoa håc trong n÷îc t¡c

gi£ luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  nhúng þ ki¸n âng gâp quþ

b¡u cõa GS.TSKH. Ph¤m Ký Anh, GS.TSKH. L¶ Dông M÷u, GS.TSKH.

Nguy¹n Xu¥n T§n, GS.TSKH. Nguy¹n æng Y¶n, PGS.TS. Cung Th¸ Anh,

PGS.TS. Ph¤m Hi¸n B¬ng, PGS.TS. é V«n L÷u, PGS.TS. H  Tr¦n Ph÷ìng,

PGS.TS. T¤ Duy Ph÷ñng, PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy, TS. L¥m Thòy

D÷ìng, TS. Nguy¹n Cæng i·u, TS. Bòi Th¸ Hòng, TS.  o Thà Li¶n, TS.

Trành Thà Di»p Linh, TS. Nguy¹n Thà Ng¥n, TS. Nguy¹n Thanh Sìn, TS.

Tr÷ìng Minh Tuy¶n v  TS. Vô M¤nh Xu¥n. Tø ¡y láng m¼nh t¡c gi£ công

xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n c¡c Th¦y, Cæ.

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa To¡n, Pháng  o t¤o,

Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m v  Ban chõ nhi»m Khoa To¡n-Tin,

Pháng H nh ch½nh tê chùc, Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i

håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ câ thº ho n th nh

luªn ¡n cõa m¼nh.

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o trong Bë mæn Gi£i t½ch,

Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m v  c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa To¡n￾Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n còng to n thº c¡c

nghi¶n cùu sinh chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch, b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn

quan t¥m, ëng vi¶n, trao êi v  âng gâp nhúng þ ki¸n x¡c ¡ng cho t¡c gi£

trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu, seminar v  ho n th nh luªn ¡n.

T¡c gi£ xin k½nh t°ng gia ¼nh ni·m vinh h¤nh to lîn n y.

T¡c gi£

Nguy¹n Song H

Möc löc

Trang b¼a phö i

Líi cam oan ii

Möc löc iv

Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t vi

Danh s¡ch b£ng viii

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 8

1.1. Khæng gian Banach v  giîi h¤n Banach . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. nh x¤ li¶n töc Lipschitz v  ¡nh x¤ j-ìn i»u . . . . . . . . . 17

1.3. Mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 Mæ h¼nh b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t . . . . . . . . . 21

K¸t luªn ch÷ìng 1 32

Ch÷ìng 2. C¡c ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i

to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 33

2.1. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ S˜

k . . . . 33

2.1.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ Sˆ

k . . . . 51

iv

2.2.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ S

k

. . . . 59

2.3.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . 60

2.3.3 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

K¸t luªn ch÷ìng 2 73

Ch÷ìng 3. Mët b i to¡n thüc t¸ v  k¸t qu£ t½nh to¡n sè 74

3.1. B i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2. V½ dö sè minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

K¸t luªn ch÷ìng 3 91

K¸t luªn chung v  · nghà 92

Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n 93

T i li»u tham kh£o 94

Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t

H khæng gian Hilbert thüc

E khæng gian Banach thüc

E

∗

khæng gian èi ng¨u cõa E

SE m°t c¦u ìn và cõa E

E

∗∗ khæng gian èi ng¨u thù hai cõa E

l

∞ khæng gian c¡c d¢y sè bà ch°n

l

p

(1 ≤ p < ∞) khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p

c khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö

c0 khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö v· 0

L

p

[a, b] (1 ≤ p < ∞) khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n [a, b]

C[a, b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b]

R tªp hñp c¡c sè thüc

R+ tªp hñp c¡c sè thüc khæng ¥m

R

n

khæng gian Euclide thüc n chi·u

N tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n

∅ tªp hñp réng

∀ vîi måi

∩ ho°c \

ph²p giao

d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C

PC ph²p chi¸u m¶tric tø E (ho°c H) l¶n C

I ¡nh x¤ ìn và

hx, x∗

i gi¡ trà cõa x

∗ ∈ E

∗

t¤i iºm x ∈ E

hx, yi t½ch væ h÷îng cõa x ∈ H v  y ∈ H

x

T

chuyºn và cõa v²ctì x

vi

J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c

j ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà

sgn h m d§u

µ giîi h¤n Banach

∇ϕ(x) gradient cõa h m ϕ(x)

R(F) mi·n £nh cõa ¡nh x¤ F

D(F) mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ F

Fix(T) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

VIP∗

(F, C) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n

C := \∞

i=1

Fix(Ti) vîi F : E → E

Sol(VIP∗

(F, C)) tªp nghi»m cõa b i to¡n VIP∗

(F, C)

A

−1

¡nh x¤ ng÷ñc cõa ¡nh x¤ A

J

A

r

to¡n tû gi£i cõa ¡nh x¤ A vîi J

A

r

:= (I + rA)

−1

J

A

to¡n tû gi£i cõa ¡nh x¤ A t÷ìng ùng vîi r = 1

Zer(A) tªp c¡c khæng iºm cõa ¡nh x¤ A

lim sup

k→∞

xk giîi h¤n tr¶n cõa d¢y {xk}

lim inf

k→∞

xk giîi h¤n d÷îi cõa d¢y {xk}

xk → x0 {xk} hëi tö m¤nh tîi x0

o(λk) væ còng b² bªc cao hìn λk

Danh s¡ch b£ng

3.1 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (2.1) . . . . . . . . . . . . 82

3.2 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.7) vîi ρ = 1/20 . . . . 84

3.3 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.7) vîi ρ = 1/3 . . . . . 84

3.4 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.8) vîi γk = 1/100 . . . 85

3.5 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.8) vîi γk = 1/1000 . . 85

3.6 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (2.25) . . . . . . . . . . . 88

3.7 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (2.31) . . . . . . . . . . . 90

viii

Mð ¦u

B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t v o nhúng n«m ¦u cõa

thªp ni¶n 60 th¸ k¿ XX, g­n li·n vîi nhúng nghi¶n cùu cõa Lions, Stampacchia

v  cëng sü [42], [66], [67]. Tø â ¸n nay, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n luæn l 

mët chõ · nghi¶n cùu mang t½nh thíi sü v  thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa

nhi·u nh  khoa håc trong v  ngo i n÷îc. Nhi·u b i to¡n nh÷: b i to¡n cüc

trà [59], [100]; b i to¡n iºm b§t ëng [1], [59]; b i to¡n c¥n b¬ng [36], [37],

[60]; b i to¡n bò [35], [59]; ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u [2]; b i to¡n

bi¶n câ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng [15], [59] . . . câ thº quy v· mæ

h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d÷îi c¡c gi£ thi¸t th½ch hñp. V¼ th¸

b i to¡n n y l  mët cæng cö m¤nh v  thèng nh§t trong nghi¶n cùu nhi·u mæ

h¼nh b i to¡n l½ thuy¸t v  ùng döng thüc t¸.

Ð Vi»t Nam, theo nhi·u con ÷íng ti¸p cªn kh¡c nhau, c¡c nh  khoa

håc câ nhúng âng gâp quan trång cho b i to¡n n y câ thº kº ¸n nh÷

c¡c nhâm nghi¶n cùu cõa GS.TSKH. Ph¤m Ký Anh v  TS. °ng V«n Hi¸u

[4], [5]; GS.TSKH. Phan Quèc Kh¡nh v  TS. Tr÷ìng Quèc B£o [16], [17];

GS.TSKH. inh Th¸ Löc [33], [54], [69]; GS.TSKH. L¶ Dông M÷u v  PGS.TS.

Ph¤m Ngåc Anh [6], [7], [8], [9], [10], [11]; GS.TSKH. Ph¤m Húu S¡ch v  TS.

L¶ Anh Tu§n [78], [90]; GS.TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n [13], [83]; GS.TSKH.

Nguy¹n æng Y¶n v  PGS.TS. Nguy¹n N«ng T¥m [62], [84]; GS.TS. Nguy¹n

B÷íng [22], [23], [25], [26]; PGS.TS. Nguy¹n Quang Huy [45]; PGS.TS. Nguy¹n

Thà Thu Thõy [88] v  TS. Bòi Trång Ki¶n [56], [57] . . . B¶n c¤nh â, b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n v  mët sè b i to¡n li¶n quan công ¢ v  ang l  · t i

nghi¶n cùu cõa nhi·u t¡c gi£ l  ti¸n s¾ v  nghi¶n cùu sinh trong n÷îc nh÷

Ph¤m Thanh Hi¸u [43]; Nguy¹n Thà Thu H÷ìng [44]; Ph¤m Duy Kh¡nh [53];

Nguy¹n Thà Hçng Ph÷ìng [24]; D÷ìng Vi»t Thæng [87]; L¶ Quang Thõy [12],

[89] v  Tr÷ìng Minh Tuy¶n [58], [91], [92].

1

2

Mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cê iºn câ d¤ng:

T¼m x∗ ∈ C sao cho: hF(x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1)

trong â C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v 

F : H → H l  ¡nh x¤ x¡c ành tr¶n H.

Trong tr÷íng hñp tªp C cõa b i to¡n (0.1) ÷ñc cho d÷îi d¤ng ©n l  tªp

iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n

th¼ b i to¡n (0.1) câ li¶n h» vîi nhi·u b i to¡n thüc ti¹n nh÷ b i to¡n khæi

phöc t½n hi»u [32], b i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng [47], [49], [50], kiºm so¡t

n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA [48] v  k¾ thuªt xû l½ t½n

hi»u b«ng t¦n [79].

º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v o thüc ti¹n, ái häi

ph£i câ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y. V¼ l³ â, mët

trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quan trång hi»n nay d nh ÷ñc sü quan t¥m

cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc â l  vi»c · xu§t c¡c ph÷ìng

ph¡p mîi t¼m nghi»m cõa b i to¡n (0.1) ho°c c£i ti¸n hi»u qu£ cõa nhi·u

ph÷ìng ph¡p ¢ câ. Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢ thi¸t lªp ÷ñc nhi·u k¾ thuªt

gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n düa tr¶n ph÷ìng ph¡p chi¸u cõa Goldstein [39],

Polyak [40], [64], [74], ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cõa Martinet [70], Rokaffellar

[76], nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen [29], ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh d¤ng

Browder-Tikhonov [20], [86], ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nh cõa Lehdili

v  Moudafi [63], Ryazantseva [77] v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh do

Alvarez v  Attouch [3] · xu§t ho°c düa tr¶n mët sè k¾ thuªt t¼m iºm b§t

ëng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Krasnosel'skii-Mann [61], [71], ph÷ìng ph¡p l°p

Halpern [41] v  ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m [72].

Ph÷ìng ph¡p l°p iºn h¼nh º gi£i b i to¡n (0.1) l  ph÷ìng ph¡p chi¸u

gradient [39], [100] ÷ñc mæ t£ nh÷ sau:







x0 ∈ C,

xk+1 = PC(I − ρF)(xk), k = 0, 1, 2, . . .

(0.2)

trong â PC l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C, I l  ¡nh x¤ ìn và tr¶n H v  ρ

l  mët h¬ng sè d÷ìng cè ành. Sü hëi tö cõa thuªt to¡n ÷ñc ph¡t biºu trong

ành l½ d÷îi ¥y.

3

ành l½ 0.1. (ành l½ 46C, trang 369, [100])

Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa H v  F : H → H l  ¡nh x¤ x¡c

ành tr¶n H. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:

i) F l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η-ìn i»u m¤nh,

ii) ρ ∈ (0, 2η/L2

).

Khi â, d¢y l°p (0.2) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1)

v  câ ÷îc l÷ñng sai sè

kxk − x∗k ≤ β

k

(1 − β)

−1

kx1 − x0k,

ð ¥y β =

p

1 − 2ηρ − L2ρ

2

.

Ph÷ìng ph¡p (0.2) câ c§u tróc ìn gi£n n¶n vi»c vªn döng trong nhúng t¼nh

huèng cö thº kh¡ thuªn ti»n. Ph÷ìng ph¡p n y l  sü k¸t hñp giúa vi»c sû döng

trüc ti¸p d¤ng âng cõa ph²p chi¸u PC v  ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t.

Nhí câ nhúng ti¸n bë ¡ng kº trong l½ thuy¸t iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤

khæng gi¢n ([1], [38] v  c¡c t i li»u d¨n) ð th¸ k¿ XX, ph÷ìng ph¡p lai gh²p

÷íng dèc nh§t ÷ñc Yamada v  cëng sü [34], [96] · xu§t nh÷ l  mët bi¸n

thº cõa ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t º t¼m cüc tiºu cõa mët h m lçi tr¶n

tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. °c iºm ch½nh cõa

ph÷ìng ph¡p n y l  dòng d¤ng âng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n b§t k¼ m  tªp

iºm b§t ëng chung cõa nâ l  tªp r ng buëc cõa b i to¡n. M°t kh¡c, nhi·u

b i to¡n thüc t¸ nh÷ b i to¡n xû l½ t½n hi»u [46], kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho

h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA [48] ho°c ph¥n phèi b«ng thæng [50] . . .

câ thº ÷a v· b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp

iºm b§t ëng cõa mët ho°c mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Hìn núa, chóng

ta bi¸t r¬ng, måi tªp con lçi âng ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng giao ¸m

÷ñc cõa c¡c nûa khæng gian, do â l  giao ¸m ÷ñc cõa tªp iºm b§t ëng

c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n l  c¡c to¡n tû chi¸u l¶n nhúng nûa khæng gian n y.

V¼ th¸ b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) tr¶n mët tªp

con lçi âng câ thº quy v· vi»c t¼m nghi»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp

iºm b§t ëng chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â, mët v§n

· °t ra l  x¡c ành ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng