Vài Suy nghĩ về một bài toán tối ưu trong ℝ2

Nguyễn Kiều Linh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 85 - 89

85

VÀI SUY NGHĨ VỀ MỘT BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ℝ2

Nguyễn Kiều Linh

Trường Đại học Khoa học - ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Bài báo này đề cập tới bài toán tối ưu, thường gặp trong ứng dụng thực tiễn: Tìm trên đường tròn

đã cho một điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểm cho trước ở ngoài đường tròn là nhỏ

nhất? Bài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng việc tìm lời giải cho nó bằng giải tích hay hình học thực

không dễ. Nó là một mở rộng trực tiếp của bài toán quen biết sau đây, nhưng đơn giản hơn và đã

có lời giải đẹp: Tìm trên đường thẳng cho trước một điểm sao cho tổng khoảng cách từ nó tới hai

điểm đã cho ở ngoài đường thẳng là nhỏ nhất? Trong bài viết này chúng tôi trình bày hai cách tiếp

cận bài toán dựa trên kiến thức tối ưu và các tính chất hình học của ellipse.

Từ khóa: Bài toán tối ưu, cách tiếp cận giải tích, cách tiếp cận hình học….

NỘI DUNG BÀI TOÁN VÀ Ý NGHĨA

THỰC TẾ

*

Xét bài toán tối ưu sau đây trong mặt phẳng:

Bài toán. Tìm trên đường tròn đã cho một điểm

sao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểm

cho trước ở ngoài đường tròn là nhỏ nhất?

Bài toán này là một mở rộng của bài toán

quen biết sau đây: Tìm trên đường thẳng cho

trước một điểm sao cho tổng khoảng cách từ

nó tới hai điểm đã cho ở ngoài đường thẳng

là nhỏ nhất?

Có thể giải thích ý nghĩa của bài toán đặt ra

theo một số cách như sau:

a. Giả sử điện lưới được truyền dọc theo

tuyến đường H đến một ngã ba trung tâm, sau

khi cấp điện chiếu sáng và sinh hoạt cho vòng

tròn trung tâm, nguồn điện cần được chuyển

tiếp tới hai tuyến đường tiếp theo sau ngã ba,

bắt đầu ở A và B (xem Hình 1). Vấn đề đặt ra

là cần tìm một vị trí D trên vòng tròn trung

tâm để từ đó đặt hai đường cáp ngầm chạy

thẳng tới A và B sao cho tổng khoảng cách từ

vị trí được chọn (trên vòng tròn trung tâm) tới

A và B là nhỏ nhất (tức là tốn ít công sức, vật

liệu và điện năng nhất)?

b. Giả sử có một hồ nước hình tròn (tâm I,

bán kính r). Có hai cánh đồng mà A và B là

nguồn cấp nước cho mỗi cánh đồng. Cần đặt

một trạm bơm ở ven hồ và các đường mương

(hoặc ống) dẫn nước thẳng từ đó tới A và B

sao cho đỡ tốn đường dẫn nhất?

*

Tel: 0985 059646, Email: [email protected]

Bài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng hàm chứa

nội dung toán học sâu sắc, bởi vì việc tìm lời

giải cho nó bằng giải tích hay hình học thực

không dễ. Trong bài viết này chúng tôi xin

nêu một vài suy nghĩ về bài toán đặt ra, mong

được trao đổi với bạn đọc và đồng nghiệp có

quan tâm tới bài toán.

Hình 1. Minh họa bài toán:

Tìm D cấp điện cho A và B

TRƯỜNG HỢP DỄ GIẢI

Cách giải bài toán tùy thuộc vào vị trí tương

đối của đường tròn và hai điểm đã cho (ký

hiệu A và B). Sau đây là một số trường hợp

dễ giải khác nhau.

a. Đoạn thẳng AB tiếp xúc với đường tròn

(tiếp điểm nằm trong AB). Khi đó tiếp điểm

chính là điểm cần tìm và khoảng cách ngắn

nhất bằng độ dài đoạn AB (xem Hình 2a).

Lưu ý: nếu đường thẳng qua A, B tiếp xúc với

đường tròn ở ngoài đoạn AB thì tiếp điểm

không là lời giải (xem cách giải cho trường

hợp tổng quát).