ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY pps

http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí ­ [email protected]  1 

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ  TRÒN XOAY  1) DẠNG 1:

Hình phẳng

( )

( )

: 

y f x 

S x a  x b a b

Ï =

Ô Ì =

Ô = Ó p

quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :

( )

2  b 

a  V = p f x dx Ú

Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 

sau : y = xln x, y = 0, x =1; x = e

Giải : Ta có thê tích vật thể là :

( ) ( )

2 2  2 

1 1 

ln ln 

e e  V = p x x dx = p x x dx Ú Ú

Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần 

Đặt ( )

2  ( )

3  2 

2 ln  ln 

3 

dx  du x 

u x  x 

dv x dx  x 

v

Ï =

Ï = Ô Ô

Ì fi Ì Ô Ó = Ô =

Ô Ó

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có :

( )

3 3 

2  2 2 

1 

1 1 

2 2

ln ln ln

3 3 3 3 

e e  x e  e  V x x xdx x xdx

p p

p

È ˘ = - = - Í ˙ Î ˚ Ú Ú

Tiếp tục PP từng phân ta có : 

Đặt : 

1 

1 

2 3 

1 

1 

ln 

3 

dx  du  u x  x 

dv x dx x 

v

Ï =

Ï = Ô

Ì fi Ì Ó = Ô =

Ô Ó

Vậy : 

3 3 

2 

1 

1 

2 ln 1

3 3 3 3 

e  e x x e    V x dx

p p È ˘ = - - Í ˙ Î ˚ Ú

( )

3 3 3 

3 

1 1 

2 ln

5 3

3 3 3 9 27 

e x x e x e    V e

p p È ˘ p

= = - - = - Í ˙ Î ˚  Ví dụ  2:

2  3 2

:

0 

y x x  S 

y

Ï = - + Ì Ó = quay quanh trục Ox 

( Dạng 1 , nhưng khuyết  x = a và x = b )

Hoành độ giao điểm của đồ thị  với trục hoành :  2  1 

3 2 0 

2 

x 

x x 

x

È =

- + = ¤ Í Î = Vậy : ( ) ( )

2 2 

2  2 4 2 3 2 

1 1 

V = p x -3x+1 dx = p x + 9x +1- 6x + 2x - 6 x dx Ú Ú

( )

2  5 

4 3 2 4 3 2 2 

1 

1 

3 11

6 11 6 1 3 1

5 2 3 

x  p x x x x dx p x x x

Ê ˆ = - + - + = - + - + = Á ˜ Ë ¯ Ú  Bài tâp : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox 

a)  , 0, 1; 2  x  y = xe y = x = x = b) tan ; 0; ; 3  y x y x o x

p

= = = =

c)  4 4  1 sin cos , 0; , 2  y x x y x x

p = + + = = = p d) , 0, 0, 1  x  y = xe y = x = x =