Ứng dụng tích có hướng và tích vô hướng của hai vectơ trong giải toán hình học.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ BÁ HUY

ỨNG DỤNG TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27

tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Một trong các phương pháp phát triển năng lực tư duy sáng

tạo trong giải toán là rèn luyện kỹ năng phát hiện những ứng dụng

của các kiến thức được học. Đồng thời việc đi sâu nghiên cứu, mở

rộng phạm vi lý thuyết để giải toán luôn là điều cần thiết đối với cả

học sinh và giáo viên. Việc sử dụng vectơ trong giải toán hình học,

mà trong đó tích có hướng (TCH), tích vô hướng (TVH) của hai

vectơ được đặt thành một trọng tâm, là một vấn đề quan trọng.

Trong chương trình hình học phổ thông, học sinh được làm

quen với TCH và TVH. Các sách giáo khoa (SGK) cũng nêu một vài

ứng dụng của TCH và TVH vào việc giải toán hình học, chẳng hạn:

chứng minh tính vuông góc, xác định góc giữa các đối tượng, tính độ

dài hay tìm tập điểm… Tuy nhiên, do thời lượng của chương trình

dành cho nội dung này không nhiều, hơn nữa SGK cũng không chỉ ra

việc định hướng áp dụng TCH, TVH vào giải toán và cũng chưa chú

trọng nhiều đến việc rèn luyện kỹ năng này. Đồng thời trong các đề

thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi môn toán, thường có những

bài toán được giải bằng TCH, TVH của hai vectơ.

Vì những lý do trên, cùng với sự định hướng của TS. Nguyễn

Ngọc Châu tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình, là:

“Ứng dụng tích có hướng và tích vô hướng của hai vectơ trong

giải toán hình học”

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu TCH, TVH và các nội dung liên quan.

- Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán có thể giải được

bằng cách dùng TCH và TVH.

- Đưa ra quy trình và định hướng giải cho từng lớp bài toán.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- TCH, TVH và tích hỗn hợp trong bài toán giải tích.

- Các bài toán hình học có thể giải bằng TCH, TVH.

- Những ứng dụng của TCH, TVH trong hình học.

- Quy trình sử dụng TCH, TVH để giải toán.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội

dung đề tài luận văn.

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.

2

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giảng viên hướng

dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được

chia thành hai chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày tích vô hướng, tích có hướng của hai

vectơ, tích hỗn tạp của ba vectơ cùng những tính chất và kết quả liên

quan, nhằm làm cơ sở cho chương sau.

Chương 2. Ứng dụng tích có hướng, tích vô hướng trong giải toán

hình học.

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày những

ứng dụng của tích vô hướng, tích vô hướng của hai véctơ trong giải

toán hình học phổ thông.

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày tích vô hướng, tích có hướng của hai

vectơ, tích hỗn tạp của ba vectơ cùng những tính chất và kết quả liên

quan, nhằm làm cơ sở cho chương sau.

1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN.

1.1.1. Tích vô hướng của hai vectơ.

a. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ bất kì a b ,

r r

khác vectơ không. Từ một điểm

O tùy ý ta dựng OA = = a, OB b

uuur r uuur r

, thì góc AOB được gọi là góc giữa

hai vectơ a

r

và b

r

và ký hiệu (a b , )

r r

. Nếu AOB là góc vuông thì ta

nói rằng hai vectơ a

r

và b

r

vuông góc với nhau.

b. Định nghĩa

Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ a b ,

r r

là một số thực, ký hiệu a b.

r r

,

và được xác định như sau:

cos( , ), khi 0, 0

. =

0 , khi 0 0

a b a b a b

a b

a b

Ô

Ï ¹ ¹

Ì

ÔÓ = ⁄ ¹

r r r r r r r r

r r

r r r r

3

c. Hệ quả 1

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta có ngay

. a b a b = = a prr r b pr a

r r r r r

trong đó

a

pr br

r

là hình chiếu vuông góc của b

r

trên một trục cùng

hướng với a

r

, b

pr ar

r

là hình chiếu vuông góc a

r

trên một trục cùng

hướng với b

r

.

d. Hệ quả 2

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương

môđun của nó.

e. Hệ quả 3

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc với

nhau là tích vô hướng của chúng bằng 0: a ^ b ¤ = a b. 0

r r r r

.

f. Tính chất

Tính chất 1. Tích vô hướng của hai vectơ có tính chất giao

hoán: a.b = . b a

r r r r

Tính chất 2. p(a.b) = = ( pa).b a.( pb).

r r r r r r

Tính chất 3. Tích vô hướng có tính chất phân phối đối với

phép cộng vectơ: a.(b + c) = + a.b . a c

r r r r r r r

g. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ 1 2 a = (a a, )

r

,

1 2 và b = (b b, )

r

tích vô hướng của hai vectơ là: 1 1 2 2 a.b = + a b a b

r r

.

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ:

1 2 3 1 2 3 a = = (a , a , a ) và b (b , b b, )

r r

là 1 1 2 2 3 3 a.b = a b + + a b a b

r r

.

g. Hệ quả 4

Trong mặt phẳng Oxy:

2 2

1 2 a = + a a

r

Tương tự, trong không gian Oxyz:

222

1 2 3 a = aaa + +

r

h. Hệ quả 5

Gọi j là góc giữa hai vectơ a b và

r r

khác 0

r

. Từ định nghĩa

4

của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

.

os

.

a b

c

a b

j =

r r

r r

1.1.2. Tích có hướng của hai vectơ

a. Định nghĩa Trong không gian Oxyz, tích có hướng ( hay

tích vectơ ) của hai vectơ u a = ( ; b; c)

r

và v a = ( '; b'; c')

r

là một

vectơ, kí hiệu là È ˘ u v ; Î ˚

r r

(hoặc u v Ÿ

r r

), và được xác định qua tọa độ

của chúng như sau:

c a b

; = ; ;

' c' ' a' ' b'

b c a

u v

b c a

Ê ˆ È ˘ Á ˜ Î ˚ Ë ¯

r r

.

= (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b)

b. Hệ quả 4

Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tích

có hướng của chúng bằng vectơ không.

c. Hệ quả 5

Môđun của tích có hướng của hai vectơ bằng diện tích hình

bình hành tạo bởi hai vectơ ấy.

d. Tính chất

Tính chất 1. Tích có hướng có tính chất phản giao hoán,

nghĩa là: Èu; v˘ = - È ˘ v u ; Î ˚ Î ˚

r r r r

Tính chất 2. p Èu; v˘ = = È pu; v˘ È ˘ u; pv Î ˚ Î ˚ Î ˚

r r r r r r

Tính chất 3. Tích có hướng có tính chất phân phối đối với

phép cộng vectơ, nghĩa là: Èu + v; c˘ = + Èu; c˘ È ˘ v c ; , Î ˚ Î ˚ Î ˚

r r r r r r r

Èu; v + c˘ = + Èu; v˘ È ˘ u c ; Î ˚ Î ˚ Î ˚

r r r r r r r

e. Hệ quả 6

Nếu j là góc giữa hai véctơ 1 2 3 a = (a , a a, )

r

và

1 2 3 b = (b , b b, )

r

thì

2 2 2

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

sin

.

a a a a a a

b b b b b b

a a a bbb

j

+ +

= ±

+ + + +

5

1.1.3. Tích hỗn tạp của ba vectơ

a. Định nghĩa. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

abc , ,

r r r

. Nhân có hướng hai vectơ a b ,

r r

ta được vectơ È ˘ a b ; Î ˚

r r

, rồi

nhân vô hướng vectơ ấy với c

r

ta được số È ˘ a; . b c Î ˚

r r r

, gọi là tích hỗn

tạp của ba vectơ abc , ,

r r r

. Ký hiệu tích hỗn tạp của ba vectơ

abc , ,

r r r

là (a, b c , )

r r r

( hay È ˘ a; . b c Î ˚

r r r

). Vậy: (a, b, c) = È ˘ a; . b c Î ˚

r r r rrr

b. Ý nghĩa hình học của tích hỗn tạp. Cho ba vectơ không

đồng phẳng abc , ,

r r r

. Ta có:

;

( , , ) ; . ;

a b

a b c a b c a b pr c È ˘ Î ˚

= = È ˘ È ˘ Î ˚ Î ˚ r r

r r r r r r r r r

.

Nếu các vectơ abc , ,

r r r

tạo nên một tam diện (h. 1.2) thì góc giữa

vectơ c

r

và vectơ È ˘ a b ; Î ˚

r r

là một góc nhọn và

a b ;

pr c È ˘ Î ˚

r r

r

là một số

dương bằng đường cao h của hình hộp dựng trên các vectơ abc , ,

r r r

.

Ta đã biết È ˘ a; b S =

Î ˚

r r

, với S là diện tích đáy của hình hộp ấy.

Như vậy

;

( , , ) ; . ; .

a b

a b c a b c a b pr c S h V È ˘ Î ˚

= È ˘ = È ˘ = = Î ˚ Î ˚ r r

r r r r r r r r r

: là

thể tích hình hộp nói trên.

c. Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ

Điều kiện cần và đủ để ba véctơ đồng phẳng là tích hỗn tạp

của chúng bằng 0.

1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ

HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

1.2.1. Cho hai véctơ khác không a b ,

r r

và j là góc tạo bởi

hai véctơ a b ,

r r

.

· a.b c < 0 ¤ osj j < fi0

r r

: góc tù.

· a.b c > 0 ¤ osj j > fi0

r r

: góc nhọn.

· a.b c = 0 ¤ osj j = fi0

r r

: góc vuông.

· a + b £ + a b

r r r r

. Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi a

r

cùng

chiều với b

r

hay a = > kb k( 0)

r r

.

6

· a.b = £ a b cosj a b

r r r r r r

. Dấu " " = xảy ra khi và chỉ

khi a b ,

r r

cùng phương.

1.2.2. Diện tích của tam giác

1

,

2

ABC SD = È ˘ AB AC Î ˚

uuur uuur

1.2.3. Diện tích hình bình hành ABCD , ABCD S = È ˘ AB AD Î ˚

uuur uuur

.

1.2.4. Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C D' '

. ' ' ' ' , . ' VABCD A B C D = È ˘ AB AD AA Î ˚

uuur uuur uuur

.

1.2.5. Thể tích khối tứ diện ABCD

1

, .

6

VABCD = È ˘ AB AC AD Î ˚

uuur uuur uuur

.

1.2.6. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi

È ˘ AB, AC . 0 AD =

Î ˚

uuur uuur uuur

.

1.2.7. Trong tam giác ABC, ta có

· Diện tích tam giác:

1 1

,

2 2 ABC a S AB AC ah D = = È ˘ Î ˚

uuur uuur

.

= pr = p( p - a)( p - - b)( ) p c

· Các góc của tam giác xác định bởi:

.

.

cos os( , ) , sin

AB AC AB AC A c AB AC A

AB AC AB AC

È ˘ Î ˚

= = =

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur uuur uuur .

· Trực tâm H của tam giác ABC thỏa mãn

. 0

. 0

( )

, . 0

AH BC AH BC

BH CA BH CA

H ABC AB AC AH

Ï ^ = Ï

Ô

Ô Ô Ì Ì ^ ¤ =

Ô Ô Ó Œ È ˘ = ÔÓÎ ˚

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur uuur

· Tâm I đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC thỏa mãn:

7

( )

, . 0

AI BI AI BI

AI CI AI CI

I ABC AB AC AI

Ï =

Ï = Ô

Ô Ô Ì Ì = ¤ =

Ô Ô Ó Œ

ÔÈ ˘ =

ÓÎ ˚

uur uur

uur uur

uuur uuur uur

1.2.8. Xét tứ diện ABCD

· A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện khi và chỉ khi

È ˘ AB, AC . 0 AD ¹

Î ˚

uuur uuur uuur

.

· Thể tích tứ diện:

1 1

, . ( ,( )).

6 3

VABCD AB AC AD BCD = = È ˘ d A BCD S Î ˚

uuur uuur uuur

.

1.2.9. Góc giữa hai mặt phẳng 1 2 (a a ), ( ) là:

1 2

1 2

1 2

1 2

.

os(( ), ( )) os( , )

n n

c c n n

n n

a a

a a

a a

a a = =

r r

r r

r r

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

1 2 n n a a . 0 =

r r

.

1.2.10. Một số kết quả giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng D1

, D2

· D1

và D2

chéo nhau khi và chỉ khi:

1 2 1 2 È ˘ u , 0 u M M ¹

Î ˚

uur uur uuuuuur

.

· D1

và D2

đồng phẳng khi và chỉ khi

1 2 1 2 È ˘ u , 0 u M M =

Î ˚

ur uur uuuuuur

.

· D1

và D2

cắt nhau khi và chỉ khi

1 2 1 2

1 2

, 0

, 0

u u M M

u u

ÏÈ ˘ =

ÔÎ ˚ Ì

ÔÈ ˘ ¹

ÓÎ ˚

uur uur uuuuuur

uur uur r .

· D1

và D2

song song khi và chỉ khi

1 2

1 2 , 0

M

u u

Ï œD Ô

Ì

È ˘ = ÔÓÎ ˚

uur uur r .