Tài liệu TRƯỜNG ĐIỆN TỪ docx

Tài liệu

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

1

Mục lục

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Số tiết: 45

Tài liệu tham khảo

1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006

2

2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995

3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

1. Vector

{ } x y z x y z

a a ,a ,a ia ja ka

   

= = + +

{ } x y z x y z

b b ,b ,b ib jb kb

   

= = + +

{ } x y z x y z

c c ,c ,c ic jc kc

   

= = + +

• x x y y z z

a.b = a b + a b + a b

 

• ( ) ( ) ( ) y z z y z x x z x y y x

x y z

x y z

i a b a b j a b a b k a b a b

b b b

a a a

i j k

a × b = = − + − + −

  

  

 

• a.b a b cos(a,b)

     

=

• a b c

  

× =

Phương: c (a,b)

  

⊥

Chiều: theo qui tắc vặn nút chai

Độ lớn: c a b sin(a,b)

    

=

• a (b c) b.( a.c) c.(a.b)

        

× × = −

2. Toán tử nabla













∂

∂

∂

∂

∂

∂

∇ =

z

,

y

,

x

3. Gradient

z

U

k

y

U

j

x

U

gradU .U i

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

= ∇ =

  

4. Divergence

3

z

a

y

a

x

a

diva .a

x y z

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

= ∇ =

 

5. Rotary

















∂

∂

−

∂

∂

 +











∂

∂

−

∂

∂

+















∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∇× =

y

a

x

a

k

x

a

z

a

j

z

a

y

a

i

a a a

x y z

i j k

rota a

z y x z y x

x y z

  

  

 

Số phức

Hàm mũ

e e e ( cos y isin y)

z x iy x

= = +

+

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có

e cos 2k isin 2k 1

2k i

= π + π =

π

Suy ra

z 2k i z 2k i z

e = e .e = e

+ π π

Công thức Euler

e

iy = cosy +isiny

Khi đó số phức z = r eiϕ

= r(cosϕ +isinϕ)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

y a y a y f(x) ′′ + 1

′ + 2 = (1)

Trong đó:

a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a1, a2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

4

y a y a y 0 ′′ + 1

′ + 2 = (2)

a1, a2 là các hàm của biến x

Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2

(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.

Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi ( )

( )

const

y x

y x

2

1 ≠ , ngược lại là phụ

thuộc tuyến tính

Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi

phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2

hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.

Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ

trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của

phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

y a y a y f (x) ′′ + 1

′ + 2 = (3)

Trong đó:

a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0

Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm

riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).

Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất

y a y a y f (x) f (x)

1 + 2 = 1 + 2

′′ + ′ (4)

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình

y a y a y f (x)

1 + 2 = 1

′′ + ′ (5)

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình

y a y a y f (x)

1 + 2 = 2

′′ + ′ (6)

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

5

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

y′′ + py′ + qy = 0 (7)

p, q là các hằng số

Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng

kx y = e (8)

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định

Suy ra

kx y′ = ke ,

2 kx y′′ = k e (9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

e (k pk q) 0

kx 2

+ + = (10)

Vì ekx ≠ 0 nên

k pk q 0

2

+ + = (11)

Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi

phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

phân (7)

Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1

và k2 như sau

- k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình

vi phân (7) là

k x

1

1 y = e ,

k x

2

2 y = e (12)

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì

( ) e const

y

y k k x

2

1 1 2 = ≠

−

(13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

k x

2

k x

1 2 1

1 2 y = y + y = C e + C e (14)

- k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: k x

1

1 y = e ,

k x

2

1 y = xe

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

6

( )

k x

1 2

k x

2

k x

1

1 1 1 y = C e + C xe = C + C x e (15)

- k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 = α + iβ và k2 = α - iβ

Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

( )

( i ) x x i x

2

i x x i x

1

y e e e

y e e e

α− β α − β

•

α+ β α β

•

= =

= =

(16)

Theo công thức Euler ta có

e cos x isin x

e cos x isin x

i x

i x

= β − β

= β + β

− β

β

(17)

Suy ra

( )

y e e e ( cos x isin x)

y e e e cos x isin x

x i x x

2

x i x x

1

= = β − β

= = β + β

α − β α

•

α β α

•

(18)

Nếu •

1

y và

•

2

y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm

e sin x

2i

y y

y

e cos x

2

y y

y

1 2 x

2

1 2 x

1

= β

+

=

= β

+

=

α

• •

α

• •

(19)

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì

tg x const

y

y

2

1 = β ≠ (20)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

y C e cos x C e sin x e (C cos x C sin x) 1 2

x x

2

x

= 1 β + β = β + β

α α α

(21)

7

Chương 1

CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1. Vector cường độ điện trường

• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện

trường

F qE

 

= (1.1)

Hay:

q

F

E





=

(1.2)

• Cđđt E



tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số

bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó

• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q

2

0

0

r

r

4

Qq F





πεε

=

(1.3)

- 8,854.10 F/ m

12

0

−

ε = - hằng số điện

- ε - độ điện thẩm tương đối

- 0

r



- vector đơn vị chỉ phương

• Hệ đt điểm 1 2 n

q ,q ,...,q

∑ ∑ = πεε =

= =

n

i 1

2

i

i 0i

0

n

i 1

i

r

q r

4

1

E E



  (1.4)

0i

r



- các vector đơn vị chỉ phương

• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:

∫

ρ

πεε

=

l

l 2

0

l

r

r

dl

4

1

E



 (1.5)

∫

ρ

πεε

=

S

S 2

0

S

r

r

dS

4

1

E



 (1.6)

8

∫

ρ

πεε

=

V

V 2

0

V

r

r

dV

4

1

E



 (1.7)

1.1.2. Vector điện cảm

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector điện cảm D



D 0E

 

= εε (1.8)

1.1.3. Vector từ cảm

• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển

động hay dòng điện theo định luật Lorentz

F qv B

  

= × (1.9)

• Từ trường do phần tử dòng điện Idl



tạo ra được xác định bởi định luật thực

nghiệm BVL

(Idl r)

4 r

dB 2



0

 

×

π

µµ

=

(1.10)

- 4 .10 1,257.10 H / m

7 6

0

− −

µ = π = - hằng số từ

- µ - độ từ thẩm tương đối

• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l

∫

×

π

µµ

=

l

2

0

r

Idl r

4

B

 

 (1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector cường độ từ trường H



0

B

H

µµ

=



 (1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân

9

• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện

tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dq I = −

(1.13)

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn

điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

J n0

ev v E

   

= = ρ = σ (1.14)

dạng vi phân của định luật Ohm

- n0 - mật độ hạt điện có điện tích e

- ρ - mật độ điện khối

- v



- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện

- σ - điện dẫn suất

• Dòng điện qua mặt S được tính theo

∫ ∫ ∫

= = = σ

S S S

I dI JdS EdS

   

(1.15)

• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp

U, ta có

(lưu ý: áp dụng c/t S = L2

và S L

L

R

ρ

= ρ = )

R

U

I EdS ES ( L)(EL) LU

S

= σ = σ = σ = σ = ∫

(1.16)

dạng thông thường của định luật Ohm

Vì E



và dS



cùng chiều, đặt

RL

1

σ =

(1.17)

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm

1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích

10